| L(s) = 1 | + 5·2-s − 21·4-s − 100·5-s + 90·7-s − 155·8-s − 475·9-s − 500·10-s − 820·13-s + 450·14-s − 1.02e3·16-s + 3.80e3·17-s − 2.37e3·18-s + 3.39e3·19-s + 2.10e3·20-s − 3.02e3·23-s + 6.25e3·25-s − 4.10e3·26-s + 1.80e3·27-s − 1.89e3·28-s + 5.24e3·29-s + 4.73e3·31-s − 6.63e3·32-s + 1.90e4·34-s − 9.00e3·35-s + 9.97e3·36-s + 1.02e4·37-s + 1.69e4·38-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.883·2-s − 0.656·4-s − 1.78·5-s + 0.694·7-s − 0.856·8-s − 1.95·9-s − 1.58·10-s − 1.34·13-s + 0.613·14-s − 1.00·16-s + 3.18·17-s − 1.72·18-s + 2.15·19-s + 1.17·20-s − 1.19·23-s + 2·25-s − 1.18·26-s + 0.475·27-s − 0.455·28-s + 1.15·29-s + 0.884·31-s − 1.14·32-s + 2.81·34-s − 1.24·35-s + 1.28·36-s + 1.22·37-s + 1.90·38-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(5.533137821\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(5.533137821\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 11 | | \( 1 \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5 T + 23 p T^{2} - 45 p^{2} T^{3} + 265 p^{3} T^{4} - 45 p^{7} T^{5} + 23 p^{11} T^{6} - 5 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 475 T^{2} - 200 p^{2} T^{3} + 144856 T^{4} - 200 p^{7} T^{5} + 475 p^{10} T^{6} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 90 T + 3627 p T^{2} + 89470 p T^{3} + 229065672 T^{4} + 89470 p^{6} T^{5} + 3627 p^{11} T^{6} - 90 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 820 T + 1282272 T^{2} + 714676780 T^{3} + 671592391694 T^{4} + 714676780 p^{5} T^{5} + 1282272 p^{10} T^{6} + 820 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3800 T + 9659155 T^{2} - 16711093200 T^{3} + 22897224473516 T^{4} - 16711093200 p^{5} T^{5} + 9659155 p^{10} T^{6} - 3800 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3394 T + 13363997 T^{2} - 26478891042 T^{3} + 54042088934620 T^{4} - 26478891042 p^{5} T^{5} + 13363997 p^{10} T^{6} - 3394 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 3020 T + 9781560 T^{2} + 918428220 T^{3} + 17051675824846 T^{4} + 918428220 p^{5} T^{5} + 9781560 p^{10} T^{6} + 3020 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5248 T + 39000379 T^{2} - 187477494324 T^{3} + 1321999939285496 T^{4} - 187477494324 p^{5} T^{5} + 39000379 p^{10} T^{6} - 5248 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 4732 T + 118023359 T^{2} - 400970802780 T^{3} + 5116274856632960 T^{4} - 400970802780 p^{5} T^{5} + 118023359 p^{10} T^{6} - 4732 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 10210 T + 262192965 T^{2} - 2101916693890 T^{3} + 26767783263095636 T^{4} - 2101916693890 p^{5} T^{5} + 262192965 p^{10} T^{6} - 10210 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 21068 T + 380218132 T^{2} - 4807939200852 T^{3} + 62995930496947958 T^{4} - 4807939200852 p^{5} T^{5} + 380218132 p^{10} T^{6} - 21068 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 12140 T + 451977168 T^{2} - 5413872294380 T^{3} + 90225035523150254 T^{4} - 5413872294380 p^{5} T^{5} + 451977168 p^{10} T^{6} - 12140 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 4720 T + 635901120 T^{2} - 2163925140240 T^{3} + 198462732407138398 T^{4} - 2163925140240 p^{5} T^{5} + 635901120 p^{10} T^{6} - 4720 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 21670 T + 1341191245 T^{2} + 25127588850150 T^{3} + 793079863276266116 T^{4} + 25127588850150 p^{5} T^{5} + 1341191245 p^{10} T^{6} + 21670 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 69068 T + 2959259616 T^{2} + 93684394769772 T^{3} + 2606995779399147790 T^{4} + 93684394769772 p^{5} T^{5} + 2959259616 p^{10} T^{6} + 69068 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 44000 T + 1729402923 T^{2} - 18891749550500 T^{3} + 681532725443871128 T^{4} - 18891749550500 p^{5} T^{5} + 1729402923 p^{10} T^{6} - 44000 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 8720 T + 3054776916 T^{2} + 68287776246800 T^{3} + 4500917017012833062 T^{4} + 68287776246800 p^{5} T^{5} + 3054776916 p^{10} T^{6} + 8720 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 47516 T + 4006728679 T^{2} + 40944560757036 T^{3} + 4940881051181425280 T^{4} + 40944560757036 p^{5} T^{5} + 4006728679 p^{10} T^{6} + 47516 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 2480 T + 2184333096 T^{2} + 56757154413520 T^{3} + 5270406230690916302 T^{4} + 56757154413520 p^{5} T^{5} + 2184333096 p^{10} T^{6} - 2480 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 188192 T + 20762083544 T^{2} - 1543159524876096 T^{3} + 94572488766073023566 T^{4} - 1543159524876096 p^{5} T^{5} + 20762083544 p^{10} T^{6} - 188192 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 68620 T + 8565816444 T^{2} + 243114964439100 T^{3} + 28749388061066642182 T^{4} + 243114964439100 p^{5} T^{5} + 8565816444 p^{10} T^{6} + 68620 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 170266 T + 21910171273 T^{2} + 2148925719362106 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( T^{4} + 2148925719362106 p^{5} T^{5} + 21910171273 p^{10} T^{6} + 170266 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 186160 T + 38956651512 T^{2} - 4421475549787360 T^{3} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( T^{4} - 4421475549787360 p^{5} T^{5} + 38956651512 p^{10} T^{6} - 186160 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.81199438016759557304238588559, −6.57315337176407659339677751805, −6.27889669609778865954084275779, −6.00236740346807402904008456137, −5.89842577631873484568614518352, −5.45987913902599921645016655025, −5.23411303961112226660731322438, −5.19166865581397961277699678419, −4.95531130268212627103075726626, −4.67678073300255166720507201100, −4.29544872522570865616487132370, −4.18046044807616754086161375600, −4.11749504103314156394810269505, −3.36632281184492343595768238307, −3.30816119961775258030121866391, −3.28815642239942390571580646310, −2.84946332232928649030109290245, −2.59581071956584402686112531180, −2.50276639446408260070475465165, −1.83845906849806565650435669895, −1.28890654916514634472859819360, −1.15389065693642128540366040840, −0.60205100668672980087913108295, −0.48157705469417235621744734632, −0.40526408301731041585680161084,
0.40526408301731041585680161084, 0.48157705469417235621744734632, 0.60205100668672980087913108295, 1.15389065693642128540366040840, 1.28890654916514634472859819360, 1.83845906849806565650435669895, 2.50276639446408260070475465165, 2.59581071956584402686112531180, 2.84946332232928649030109290245, 3.28815642239942390571580646310, 3.30816119961775258030121866391, 3.36632281184492343595768238307, 4.11749504103314156394810269505, 4.18046044807616754086161375600, 4.29544872522570865616487132370, 4.67678073300255166720507201100, 4.95531130268212627103075726626, 5.19166865581397961277699678419, 5.23411303961112226660731322438, 5.45987913902599921645016655025, 5.89842577631873484568614518352, 6.00236740346807402904008456137, 6.27889669609778865954084275779, 6.57315337176407659339677751805, 6.81199438016759557304238588559
