| L(s) = 1 | − 18·3-s + 90·5-s + 81·9-s − 566·11-s + 1.87e3·13-s − 1.62e3·15-s − 558·17-s − 324·19-s + 2.86e3·23-s + 5.63e3·25-s + 1.45e3·27-s − 8.91e3·29-s − 1.11e3·31-s + 1.01e4·33-s + 2.37e4·37-s − 3.36e4·39-s − 4.31e4·41-s + 7.50e3·43-s + 7.29e3·45-s + 2.16e3·47-s + 1.00e4·51-s − 5.35e4·53-s − 5.09e4·55-s + 5.83e3·57-s − 1.43e4·59-s − 1.78e4·61-s + 1.68e5·65-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.15·3-s + 1.60·5-s + 1/3·9-s − 1.41·11-s + 3.07·13-s − 1.85·15-s − 0.468·17-s − 0.205·19-s + 1.12·23-s + 1.80·25-s + 0.384·27-s − 1.96·29-s − 0.208·31-s + 1.62·33-s + 2.84·37-s − 3.54·39-s − 4.01·41-s + 0.618·43-s + 0.536·45-s + 0.142·47-s + 0.540·51-s − 2.61·53-s − 2.27·55-s + 0.237·57-s − 0.535·59-s − 0.613·61-s + 4.94·65-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(1.127175970\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(1.127175970\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | $C_2$ | \( ( 1 + p^{2} T + p^{4} T^{2} )^{2} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 5 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 18 p T + 2466 T^{2} + 11088 p T^{3} - 3336169 T^{4} + 11088 p^{6} T^{5} + 2466 p^{10} T^{6} - 18 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 566 T + 132086 T^{2} - 75748912 T^{3} - 42085485857 T^{4} - 75748912 p^{5} T^{5} + 132086 p^{10} T^{6} + 566 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 72 p T + 792586 T^{2} - 72 p^{6} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 17 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 558 T + 15874 p T^{2} - 1561400064 T^{3} - 2456363507361 T^{4} - 1561400064 p^{5} T^{5} + 15874 p^{11} T^{6} + 558 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 324 T - 3595222 T^{2} - 405648000 T^{3} + 7300468012779 T^{4} - 405648000 p^{5} T^{5} - 3595222 p^{10} T^{6} + 324 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 2862 T + 7094 p^{2} T^{2} + 24139161216 T^{3} - 74448213256617 T^{4} + 24139161216 p^{5} T^{5} + 7094 p^{12} T^{6} - 2862 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 4456 T + 38285126 T^{2} + 4456 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 31 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 36 p T - 8902414 T^{2} - 1695975552 p T^{3} - 752305369331757 T^{4} - 1695975552 p^{6} T^{5} - 8902414 p^{10} T^{6} + 36 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 23712 T + 290707450 T^{2} - 3150461208960 T^{3} + 29942369485612779 T^{4} - 3150461208960 p^{5} T^{5} + 290707450 p^{10} T^{6} - 23712 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 21582 T + 330830482 T^{2} + 21582 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 43 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 3752 T + 78481158 T^{2} - 3752 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 47 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 2160 T - 411920670 T^{2} + 90944087040 T^{3} + 119874956052023651 T^{4} + 90944087040 p^{5} T^{5} - 411920670 p^{10} T^{6} - 2160 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 53528 T + 1320245258 T^{2} + 37930504985120 T^{3} + 1013908953575271115 T^{4} + 37930504985120 p^{5} T^{5} + 1320245258 p^{10} T^{6} + 53528 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 14328 T - 1208270310 T^{2} - 233355894912 T^{3} + 1340272533086426219 T^{4} - 233355894912 p^{5} T^{5} - 1208270310 p^{10} T^{6} + 14328 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 17820 T - 1112547178 T^{2} - 4617037687680 T^{3} + 1063638308919223083 T^{4} - 4617037687680 p^{5} T^{5} - 1112547178 p^{10} T^{6} + 17820 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 812 T - 2698900022 T^{2} - 560968576 T^{3} + 5463892769118010699 T^{4} - 560968576 p^{5} T^{5} - 2698900022 p^{10} T^{6} + 812 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 59846 T + 4108304702 T^{2} - 59846 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 73 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 141444 T + 10884024830 T^{2} + 703858883201280 T^{3} + 37445486452102194339 T^{4} + 703858883201280 p^{5} T^{5} + 10884024830 p^{10} T^{6} + 141444 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 22988 T - 3169332590 T^{2} - 56466161487232 T^{3} + 2579241531079858099 T^{4} - 56466161487232 p^{5} T^{5} - 3169332590 p^{10} T^{6} + 22988 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 17640 T + 5984377750 T^{2} + 17640 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 89 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 227394 T + 27637753698 T^{2} + 2933873461784160 T^{3} + \)\(25\!\cdots\!79\)\( T^{4} + 2933873461784160 p^{5} T^{5} + 27637753698 p^{10} T^{6} + 227394 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 4500 T - 2101680350 T^{2} + 4500 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.71897629492152640817660761687, −6.58349785322110624009326115302, −6.53935802012355949372777958728, −5.90048281993121371540585012880, −5.81859782907067363437735560424, −5.81274295094769446396065972992, −5.77144421911097723586021623090, −5.04812317711258514115644674730, −5.03829758285118149698768675051, −4.97682392887469048212382873486, −4.60874584822970672990223963841, −4.08043886184070123937452972345, −3.93038723621104434216466081208, −3.52678588711694396282924451067, −3.46469222267719158340105835282, −2.88031988085381440231445763770, −2.65027710115770587717027144774, −2.61467855822044244080536802031, −2.11122929362203776944155870938, −1.47299364515494627764172170945, −1.39843049706441096924226273159, −1.38199314076074619207557439609, −1.11791852343256181328585960884, −0.27853016942015547246516929312, −0.21088160449774527037640047312,
0.21088160449774527037640047312, 0.27853016942015547246516929312, 1.11791852343256181328585960884, 1.38199314076074619207557439609, 1.39843049706441096924226273159, 1.47299364515494627764172170945, 2.11122929362203776944155870938, 2.61467855822044244080536802031, 2.65027710115770587717027144774, 2.88031988085381440231445763770, 3.46469222267719158340105835282, 3.52678588711694396282924451067, 3.93038723621104434216466081208, 4.08043886184070123937452972345, 4.60874584822970672990223963841, 4.97682392887469048212382873486, 5.03829758285118149698768675051, 5.04812317711258514115644674730, 5.77144421911097723586021623090, 5.81274295094769446396065972992, 5.81859782907067363437735560424, 5.90048281993121371540585012880, 6.53935802012355949372777958728, 6.58349785322110624009326115302, 6.71897629492152640817660761687
