# Properties

 Label 8-4840e4-1.1-c1e4-0-3 Degree $8$ Conductor $5.488\times 10^{14}$ Sign $1$ Analytic cond. $2.23095\times 10^{6}$ Root an. cond. $6.21671$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·3-s + 4·5-s + 7·7-s − 6·9-s − 3·13-s − 8·15-s − 11·17-s − 2·19-s − 14·21-s − 11·23-s + 10·25-s + 17·27-s − 4·29-s − 17·31-s + 28·35-s − 3·37-s + 6·39-s − 13·41-s + 7·43-s − 24·45-s − 47-s + 8·49-s + 22·51-s − 15·53-s + 4·57-s − 17·59-s − 4·61-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.15·3-s + 1.78·5-s + 2.64·7-s − 2·9-s − 0.832·13-s − 2.06·15-s − 2.66·17-s − 0.458·19-s − 3.05·21-s − 2.29·23-s + 2·25-s + 3.27·27-s − 0.742·29-s − 3.05·31-s + 4.73·35-s − 0.493·37-s + 0.960·39-s − 2.03·41-s + 1.06·43-s − 3.57·45-s − 0.145·47-s + 8/7·49-s + 3.08·51-s − 2.06·53-s + 0.529·57-s − 2.21·59-s − 0.512·61-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 5^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 5^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$2^{12} \cdot 5^{4} \cdot 11^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$2.23095\times 10^{6}$$ Root analytic conductor: $$6.21671$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 2^{12} \cdot 5^{4} \cdot 11^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
5$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
11 $$1$$
good3$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 2 T + 10 T^{2} + 5 p T^{3} + 43 T^{4} + 5 p^{2} T^{5} + 10 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - p T + 41 T^{2} - 22 p T^{3} + 477 T^{4} - 22 p^{2} T^{5} + 41 p^{2} T^{6} - p^{4} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 3 T + 31 T^{2} + 8 p T^{3} + 509 T^{4} + 8 p^{2} T^{5} + 31 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 11 T + 88 T^{2} + 499 T^{3} + 2403 T^{4} + 499 p T^{5} + 88 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 2 T + 34 T^{2} + 141 T^{3} + 671 T^{4} + 141 p T^{5} + 34 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 11 T + 134 T^{2} + 823 T^{3} + 5137 T^{4} + 823 p T^{5} + 134 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 68 T^{2} + 379 T^{3} + 2263 T^{4} + 379 p T^{5} + 68 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 17 T + 187 T^{2} + 1518 T^{3} + 9293 T^{4} + 1518 p T^{5} + 187 p^{2} T^{6} + 17 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 3 T + 48 T^{2} + 309 T^{3} + 813 T^{4} + 309 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 13 T + 158 T^{2} + 1301 T^{3} + 10135 T^{4} + 1301 p T^{5} + 158 p^{2} T^{6} + 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 7 T + 155 T^{2} - 810 T^{3} + 9693 T^{4} - 810 p T^{5} + 155 p^{2} T^{6} - 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + T + 125 T^{2} - 100 T^{3} + 7183 T^{4} - 100 p T^{5} + 125 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 15 T + 201 T^{2} + 1640 T^{3} + 14327 T^{4} + 1640 p T^{5} + 201 p^{2} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 17 T + 201 T^{2} + 1738 T^{3} + 15075 T^{4} + 1738 p T^{5} + 201 p^{2} T^{6} + 17 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 111 T^{2} + 638 T^{3} + 6911 T^{4} + 638 p T^{5} + 111 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 7 T + 176 T^{2} - 1169 T^{3} + 15037 T^{4} - 1169 p T^{5} + 176 p^{2} T^{6} - 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 15 T + 140 T^{2} + 385 T^{3} - 73 T^{4} + 385 p T^{5} + 140 p^{2} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 7 T + 2 p T^{2} + 901 T^{3} + 14409 T^{4} + 901 p T^{5} + 2 p^{3} T^{6} + 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 12 T + 244 T^{2} - 2161 T^{3} + 28451 T^{4} - 2161 p T^{5} + 244 p^{2} T^{6} - 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 9 T + 359 T^{2} + 2272 T^{3} + 45827 T^{4} + 2272 p T^{5} + 359 p^{2} T^{6} + 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 12 T + 274 T^{2} + 24 p T^{3} + 32451 T^{4} + 24 p^{2} T^{5} + 274 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 2 T + 288 T^{2} - 436 T^{3} + 39233 T^{4} - 436 p T^{5} + 288 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$