| L(s) = 1 | − 16·2-s + 36·3-s + 160·4-s + 70·5-s − 576·6-s + 196·7-s − 1.28e3·8-s + 810·9-s − 1.12e3·10-s + 484·11-s + 5.76e3·12-s + 54·13-s − 3.13e3·14-s + 2.52e3·15-s + 8.96e3·16-s + 208·17-s − 1.29e4·18-s + 2.15e3·19-s + 1.12e4·20-s + 7.05e3·21-s − 7.74e3·22-s − 112·23-s − 4.60e4·24-s − 2.89e3·25-s − 864·26-s + 1.45e4·27-s + 3.13e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.82·2-s + 2.30·3-s + 5·4-s + 1.25·5-s − 6.53·6-s + 1.51·7-s − 7.07·8-s + 10/3·9-s − 3.54·10-s + 1.20·11-s + 11.5·12-s + 0.0886·13-s − 4.27·14-s + 2.89·15-s + 35/4·16-s + 0.174·17-s − 9.42·18-s + 1.37·19-s + 6.26·20-s + 3.49·21-s − 3.41·22-s − 0.0441·23-s − 16.3·24-s − 0.925·25-s − 0.250·26-s + 3.84·27-s + 7.55·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 7^{4} \cdot 11^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 7^{4} \cdot 11^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(24.87952777\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(24.87952777\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| 7 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| 11 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| good | 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 14 p T + 7793 T^{2} - 90006 p T^{3} + 28734756 T^{4} - 90006 p^{6} T^{5} + 7793 p^{10} T^{6} - 14 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 54 T + 418753 T^{2} + 337356778 T^{3} + 50939801676 T^{4} + 337356778 p^{5} T^{5} + 418753 p^{10} T^{6} - 54 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 208 T + 2388716 T^{2} + 91896144 T^{3} + 2845493437734 T^{4} + 91896144 p^{5} T^{5} + 2388716 p^{10} T^{6} - 208 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 2158 T + 5846725 T^{2} - 11133366710 T^{3} + 21057077635076 T^{4} - 11133366710 p^{5} T^{5} + 5846725 p^{10} T^{6} - 2158 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 112 T + 5992004 T^{2} + 6329077104 T^{3} + 164242155798 T^{4} + 6329077104 p^{5} T^{5} + 5992004 p^{10} T^{6} + 112 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5886 T + 85428857 T^{2} - 12296910726 p T^{3} + 2663297378785212 T^{4} - 12296910726 p^{6} T^{5} + 85428857 p^{10} T^{6} - 5886 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5988 T + 88889344 T^{2} - 331135958996 T^{3} + 3248966592390942 T^{4} - 331135958996 p^{5} T^{5} + 88889344 p^{10} T^{6} - 5988 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 10470 T + 184908361 T^{2} - 1990318038590 T^{3} + 17292783948894540 T^{4} - 1990318038590 p^{5} T^{5} + 184908361 p^{10} T^{6} - 10470 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 396 p T + 343539968 T^{2} - 4214931175620 T^{3} + 50588032635520158 T^{4} - 4214931175620 p^{5} T^{5} + 343539968 p^{10} T^{6} - 396 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 616 p T + 533363524 T^{2} - 9392871342968 T^{3} + 122515753608575270 T^{4} - 9392871342968 p^{5} T^{5} + 533363524 p^{10} T^{6} - 616 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1458 T + 111647933 T^{2} - 676531811610 T^{3} + 88209837947890380 T^{4} - 676531811610 p^{5} T^{5} + 111647933 p^{10} T^{6} - 1458 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 12724 T + 1400960192 T^{2} - 12060275055276 T^{3} + 815395369935168366 T^{4} - 12060275055276 p^{5} T^{5} + 1400960192 p^{10} T^{6} - 12724 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 9354 T + 1576369589 T^{2} - 1753466300946 T^{3} + 1188293895113990988 T^{4} - 1753466300946 p^{5} T^{5} + 1576369589 p^{10} T^{6} - 9354 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 25408 T + 2750972044 T^{2} - 45344006410304 T^{3} + 3108307787941853558 T^{4} - 45344006410304 p^{5} T^{5} + 2750972044 p^{10} T^{6} - 25408 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 70006 T + 3976598917 T^{2} - 132103557852686 T^{3} + 4911635974215115868 T^{4} - 132103557852686 p^{5} T^{5} + 3976598917 p^{10} T^{6} - 70006 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 27792 T + 5306806940 T^{2} - 127558638635472 T^{3} + 13541933454713751462 T^{4} - 127558638635472 p^{5} T^{5} + 5306806940 p^{10} T^{6} - 27792 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 33870 T + 48552793 p T^{2} + 122137893480550 T^{3} + 8505487775629228956 T^{4} + 122137893480550 p^{5} T^{5} + 48552793 p^{11} T^{6} + 33870 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 46000 T + 10566650044 T^{2} + 361423453008880 T^{3} + 46586709053744509510 T^{4} + 361423453008880 p^{5} T^{5} + 10566650044 p^{10} T^{6} + 46000 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 2036 T + 8326440800 T^{2} - 272697428550900 T^{3} + 33143081399489918478 T^{4} - 272697428550900 p^{5} T^{5} + 8326440800 p^{10} T^{6} - 2036 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 177424 T + 22280349404 T^{2} + 2069060887689456 T^{3} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( T^{4} + 2069060887689456 p^{5} T^{5} + 22280349404 p^{10} T^{6} + 177424 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 141196 T + 27376652704 T^{2} - 2692516828929572 T^{3} + \)\(33\!\cdots\!50\)\( T^{4} - 2692516828929572 p^{5} T^{5} + 27376652704 p^{10} T^{6} - 141196 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.57113261421615388038172447115, −7.00286940019357639944771677670, −6.76097047003766812852545794507, −6.69617551177837480351560438127, −6.64591326368395442653518639674, −5.77916278798352219046881297460, −5.70807442216358247327812208589, −5.65664757399091293131154640103, −5.58975766755886693506405401874, −4.61075512544200839878941239949, −4.38611463333489393071178698136, −4.25417172205799788830979873280, −4.17986115396981440930176490878, −3.32172409263404671984003832120, −3.19650001632135658715197411782, −3.04554335708665697187499172030, −2.69657004507745936312297756780, −2.15454274872417911811691434864, −1.95726275474324577766465642938, −1.94311111672174806479512054716, −1.88672812051403395622807864322, −0.976973009120481295602414520373, −0.927418320881172753836594218559, −0.893632146835288898303737953636, −0.66959743088157491939817927842,
0.66959743088157491939817927842, 0.893632146835288898303737953636, 0.927418320881172753836594218559, 0.976973009120481295602414520373, 1.88672812051403395622807864322, 1.94311111672174806479512054716, 1.95726275474324577766465642938, 2.15454274872417911811691434864, 2.69657004507745936312297756780, 3.04554335708665697187499172030, 3.19650001632135658715197411782, 3.32172409263404671984003832120, 4.17986115396981440930176490878, 4.25417172205799788830979873280, 4.38611463333489393071178698136, 4.61075512544200839878941239949, 5.58975766755886693506405401874, 5.65664757399091293131154640103, 5.70807442216358247327812208589, 5.77916278798352219046881297460, 6.64591326368395442653518639674, 6.69617551177837480351560438127, 6.76097047003766812852545794507, 7.00286940019357639944771677670, 7.57113261421615388038172447115
