# Properties

 Label 8-435e4-1.1-c1e4-0-7 Degree $8$ Conductor $35806100625$ Sign $1$ Analytic cond. $145.567$ Root an. cond. $1.86373$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 3·2-s − 4·3-s + 3·4-s − 4·5-s + 12·6-s + 2·7-s − 2·8-s + 10·9-s + 12·10-s − 2·11-s − 12·12-s − 8·13-s − 6·14-s + 16·15-s + 4·16-s − 10·17-s − 30·18-s − 2·19-s − 12·20-s − 8·21-s + 6·22-s − 12·23-s + 8·24-s + 10·25-s + 24·26-s − 20·27-s + 6·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.12·2-s − 2.30·3-s + 3/2·4-s − 1.78·5-s + 4.89·6-s + 0.755·7-s − 0.707·8-s + 10/3·9-s + 3.79·10-s − 0.603·11-s − 3.46·12-s − 2.21·13-s − 1.60·14-s + 4.13·15-s + 16-s − 2.42·17-s − 7.07·18-s − 0.458·19-s − 2.68·20-s − 1.74·21-s + 1.27·22-s − 2.50·23-s + 1.63·24-s + 2·25-s + 4.70·26-s − 3.84·27-s + 1.13·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 29^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 29^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 29^{4}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$145.567$$ Root analytic conductor: $$1.86373$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 29^{4} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
5$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
29$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
good2$C_4\wr C_2$ $$1 + 3 T + 3 p T^{2} + 11 T^{3} + 17 T^{4} + 11 p T^{5} + 3 p^{3} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 2 T + 13 T^{2} - 46 T^{3} + 88 T^{4} - 46 p T^{5} + 13 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 2 T + 29 T^{2} + 70 T^{3} + 400 T^{4} + 70 p T^{5} + 29 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 8 T + 55 T^{2} + 220 T^{3} + 928 T^{4} + 220 p T^{5} + 55 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 10 T + 89 T^{2} + 470 T^{3} + 2332 T^{4} + 470 p T^{5} + 89 p^{2} T^{6} + 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 2 T + 36 T^{2} + 58 T^{3} + 630 T^{4} + 58 p T^{5} + 36 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 12 T + 80 T^{2} + 380 T^{3} + 1598 T^{4} + 380 p T^{5} + 80 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 64 T^{2} + 404 T^{3} + 2110 T^{4} + 404 p T^{5} + 64 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 16 T + 160 T^{2} + 1040 T^{3} + 6478 T^{4} + 1040 p T^{5} + 160 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 12 T + 84 T^{2} + 340 T^{3} + 1910 T^{4} + 340 p T^{5} + 84 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 2 T + 56 T^{2} - 66 T^{3} + 2334 T^{4} - 66 p T^{5} + 56 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 12 T + 187 T^{2} + 1620 T^{3} + 13096 T^{4} + 1620 p T^{5} + 187 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 10 T + 132 T^{2} + 990 T^{3} + 8774 T^{4} + 990 p T^{5} + 132 p^{2} T^{6} + 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 2 T + 24 T^{2} - 226 T^{3} + 6366 T^{4} - 226 p T^{5} + 24 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 26 T + 316 T^{2} + 2622 T^{3} + 19766 T^{4} + 2622 p T^{5} + 316 p^{2} T^{6} + 26 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 2 T + 161 T^{2} - 694 T^{3} + 12472 T^{4} - 694 p T^{5} + 161 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 10 T + 240 T^{2} + 1810 T^{3} + 24062 T^{4} + 1810 p T^{5} + 240 p^{2} T^{6} + 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 208 T^{2} + 320 T^{3} + 19454 T^{4} + 320 p T^{5} + 208 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 22 T + 324 T^{2} - 3926 T^{3} + 41126 T^{4} - 3926 p T^{5} + 324 p^{2} T^{6} - 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 10 T + 196 T^{2} + 2690 T^{3} + 18742 T^{4} + 2690 p T^{5} + 196 p^{2} T^{6} + 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 67 T^{2} + 32 T^{3} + 6240 T^{4} + 32 p T^{5} + 67 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 22 T + 348 T^{2} + 4586 T^{3} + 51078 T^{4} + 4586 p T^{5} + 348 p^{2} T^{6} + 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$