# Properties

 Label 8-4002e4-1.1-c1e4-0-2 Degree $8$ Conductor $2.565\times 10^{14}$ Sign $1$ Analytic cond. $1.04283\times 10^{6}$ Root an. cond. $5.65297$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 4·2-s + 4·3-s + 10·4-s − 3·5-s − 16·6-s − 2·7-s − 20·8-s + 10·9-s + 12·10-s − 11·11-s + 40·12-s − 13-s + 8·14-s − 12·15-s + 35·16-s + 2·17-s − 40·18-s + 8·19-s − 30·20-s − 8·21-s + 44·22-s + 4·23-s − 80·24-s − 4·25-s + 4·26-s + 20·27-s − 20·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.82·2-s + 2.30·3-s + 5·4-s − 1.34·5-s − 6.53·6-s − 0.755·7-s − 7.07·8-s + 10/3·9-s + 3.79·10-s − 3.31·11-s + 11.5·12-s − 0.277·13-s + 2.13·14-s − 3.09·15-s + 35/4·16-s + 0.485·17-s − 9.42·18-s + 1.83·19-s − 6.70·20-s − 1.74·21-s + 9.38·22-s + 0.834·23-s − 16.3·24-s − 4/5·25-s + 0.784·26-s + 3.84·27-s − 3.77·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 23^{4} \cdot 29^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 23^{4} \cdot 29^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 23^{4} \cdot 29^{4}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$1.04283\times 10^{6}$$ Root analytic conductor: $$5.65297$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 23^{4} \cdot 29^{4} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
3$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
23$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
29$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
good5$C_2 \wr S_4$ $$1 + 3 T + 13 T^{2} + 36 T^{3} + 94 T^{4} + 36 p T^{5} + 13 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr S_4$ $$1 + 2 T + 8 T^{2} + 38 T^{3} + 78 T^{4} + 38 p T^{5} + 8 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$C_2 \wr S_4$ $$1 + p T + 83 T^{2} + 408 T^{3} + 1586 T^{4} + 408 p T^{5} + 83 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + 29 T^{2} + 66 T^{3} + 438 T^{4} + 66 p T^{5} + 29 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr S_4$ $$1 - 2 T + 48 T^{2} - 98 T^{3} + 1118 T^{4} - 98 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr S_4$ $$1 - 8 T + 44 T^{2} - 236 T^{3} + 1182 T^{4} - 236 p T^{5} + 44 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr S_4$ $$1 + 17 T + 215 T^{2} + 1724 T^{3} + 11352 T^{4} + 1724 p T^{5} + 215 p^{2} T^{6} + 17 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr S_4$ $$1 - 15 T + 137 T^{2} - 826 T^{3} + 4728 T^{4} - 826 p T^{5} + 137 p^{2} T^{6} - 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr S_4$ $$1 - T + 89 T^{2} + 42 T^{3} + 4370 T^{4} + 42 p T^{5} + 89 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T - 36 T^{2} - 20 T^{3} + 3558 T^{4} - 20 p T^{5} - 36 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr S_4$ $$1 - 6 T + 148 T^{2} - 810 T^{3} + 9670 T^{4} - 810 p T^{5} + 148 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr S_4$ $$1 - 2 T + 104 T^{2} - 258 T^{3} + 5462 T^{4} - 258 p T^{5} + 104 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr S_4$ $$1 + 13 T + 219 T^{2} + 1544 T^{3} + 16476 T^{4} + 1544 p T^{5} + 219 p^{2} T^{6} + 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr S_4$ $$1 + 13 T + 301 T^{2} + 2478 T^{3} + 29336 T^{4} + 2478 p T^{5} + 301 p^{2} T^{6} + 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr S_4$ $$1 + 13 T + 143 T^{2} + 2 p T^{3} + 916 T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + 143 p^{2} T^{6} + 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr S_4$ $$1 + 15 T + 215 T^{2} + 1804 T^{3} + 16664 T^{4} + 1804 p T^{5} + 215 p^{2} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr S_4$ $$1 + 22 T + 388 T^{2} + 4710 T^{3} + 45518 T^{4} + 4710 p T^{5} + 388 p^{2} T^{6} + 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr S_4$ $$1 + 26 T + 516 T^{2} + 6574 T^{3} + 69294 T^{4} + 6574 p T^{5} + 516 p^{2} T^{6} + 26 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr S_4$ $$1 + 22 T + 336 T^{2} + 3246 T^{3} + 31406 T^{4} + 3246 p T^{5} + 336 p^{2} T^{6} + 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr S_4$ $$1 + 24 T + 312 T^{2} + 3412 T^{3} + 35918 T^{4} + 3412 p T^{5} + 312 p^{2} T^{6} + 24 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr S_4$ $$1 + 8 T + 152 T^{2} + 580 T^{3} + 16894 T^{4} + 580 p T^{5} + 152 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$