LMFDB - L-function 8-3e8-1.1-c53e4-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 6.84e7·2^-s − 1.17e16·4^-s + 4.56e18·5^-s − 2.24e20·7^-s − 1.16e24·8^-s + 3.12e26·10^-s − 2.48e27·11^-s + 3.88e28·13^-s − 1.53e28·14^-s − 7.29e30·16^-s + 8.69e32·17^-s − 2.55e34·19^-s − 5.36e34·20^-s − 1.69e35·22^-s − 6.92e35·23^-s + 6.45e36·25^-s + 2.66e36·26^-s + 2.64e36·28^-s + 1.40e39·29^-s − 3.96e39·31^-s + 4.65e39·32^-s + 5.95e40·34^-s − 1.02e39·35^-s − 2.83e41·37^-s − 1.75e42·38^-s − 5.31e42·40^-s − 8.16e41·41^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.721·2^-s − 1.30·4^-s + 1.36·5^-s − 0.00905·7^-s − 1.36·8^-s + 0.988·10^-s − 0.627·11^-s + 0.117·13^-s − 0.00653·14^-s − 0.0899·16^-s + 2.14·17^-s − 3.31·19^-s − 1.78·20^-s − 0.453·22^-s − 0.568·23^-s + 0.581·25^-s + 0.0847·26^-s + 0.0118·28^-s + 2.47·29^-s − 1.19·31^-s + 0.604·32^-s + 1.55·34^-s − 0.0123·35^-s − 0.786·37^-s − 2.39·38^-s − 1.86·40^-s − 0.148·41^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 6561 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(54-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 6561 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+53/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$8$
Conductor:	$6561$ = $3^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.57210\times 10^{8}$
Root analytic conductor:	$12.6535$
Motivic weight:	$53$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(8,\ 6561,\ (\ :53/2, 53/2, 53/2, 53/2),\ 1)$

Particular Values

$L(27)$	$\approx$	$0.4418363117$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.4418363117$
$L(\frac{55}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3		$ 1 $
good	2	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 2139885 p^{5} T + 1003667114255 p^{14} T^{2} - 22859181486091845 p^{25} T^{3} + 78860968145917904739 p^{41} T^{4} - 22859181486091845 p^{78} T^{5} + 1003667114255 p^{120} T^{6} - 2139885 p^{164} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	5	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 36511166346354504 p^{3} T + $$36\!\cdots\!52$$ p^{8} T^{2} - $$32\!\cdots\!12$$ p^{14} T^{3} + $$21\!\cdots\!74$$ p^{21} T^{4} - $$32\!\cdots\!12$$ p^{67} T^{5} + $$36\!\cdots\!52$$ p^{114} T^{6} - 36511166346354504 p^{162} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	7	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + 32120252964063632800 p T + $$50\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{2} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{3} + $$10\!\cdots\!14$$ p^{13} T^{4} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{61} T^{5} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{110} T^{6} + 32120252964063632800 p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	11	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$22\!\cdots\!48$$ p T + $$37\!\cdots\!08$$ p^{2} T^{2} + $$57\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{3} + $$40\!\cdots\!70$$ p^{9} T^{4} + $$57\!\cdots\!76$$ p^{58} T^{5} + $$37\!\cdots\!08$$ p^{108} T^{6} + $$22\!\cdots\!48$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	13	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$29\!\cdots\!80$$ p T + $$55\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{2} + $$40\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{3} + $$19\!\cdots\!54$$ p^{7} T^{4} + $$40\!\cdots\!60$$ p^{58} T^{5} + $$55\!\cdots\!80$$ p^{110} T^{6} - $$29\!\cdots\!80$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	17	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$51\!\cdots\!80$$ p T + $$10\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{2} - $$14\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{3} + $$21\!\cdots\!06$$ p^{7} T^{4} - $$14\!\cdots\!60$$ p^{58} T^{5} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{109} T^{6} - $$51\!\cdots\!80$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	19	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$25\!\cdots\!60$$ T + $$19\!\cdots\!44$$ p T^{2} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$23\!\cdots\!66$$ p^{4} T^{4} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{55} T^{5} + $$19\!\cdots\!44$$ p^{107} T^{6} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	23	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$30\!\cdots\!20$$ p T + $$95\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{2} + $$98\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{3} + $$73\!\cdots\!02$$ p^{6} T^{4} + $$98\!\cdots\!80$$ p^{57} T^{5} + $$95\!\cdots\!80$$ p^{108} T^{6} + $$30\!\cdots\!20$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	29	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$14\!\cdots\!40$$ T + $$64\!\cdots\!64$$ p T^{2} - $$17\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$41\!\cdots\!34$$ p^{3} T^{4} - $$17\!\cdots\!80$$ p^{55} T^{5} + $$64\!\cdots\!64$$ p^{107} T^{6} - $$14\!\cdots\!40$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	31	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$39\!\cdots\!32$$ T + $$33\!\cdots\!48$$ T^{2} + $$32\!\cdots\!64$$ p T^{3} + $$55\!\cdots\!70$$ p^{2} T^{4} + $$32\!\cdots\!64$$ p^{54} T^{5} + $$33\!\cdots\!48$$ p^{106} T^{6} + $$39\!\cdots\!32$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	37	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$28\!\cdots\!80$$ T + $$97\!\cdots\!40$$ p T^{2} + $$88\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$11\!\cdots\!06$$ p^{3} T^{4} + $$88\!\cdots\!40$$ p^{55} T^{5} + $$97\!\cdots\!40$$ p^{107} T^{6} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	41	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$19\!\cdots\!68$$ p T + $$40\!\cdots\!48$$ p^{2} T^{2} - $$12\!\cdots\!84$$ p^{3} T^{3} + $$79\!\cdots\!70$$ p^{4} T^{4} - $$12\!\cdots\!84$$ p^{56} T^{5} + $$40\!\cdots\!48$$ p^{108} T^{6} + $$19\!\cdots\!68$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	43	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$45\!\cdots\!00$$ T + $$51\!\cdots\!00$$ p T^{2} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$17\!\cdots\!14$$ p^{3} T^{4} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{55} T^{5} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{107} T^{6} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	47	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$95\!\cdots\!20$$ p T + $$98\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{2} - $$55\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$30\!\cdots\!18$$ p^{4} T^{4} - $$55\!\cdots\!60$$ p^{56} T^{5} + $$98\!\cdots\!60$$ p^{108} T^{6} - $$95\!\cdots\!20$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	53	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$38\!\cdots\!20$$ T + $$13\!\cdots\!80$$ p T^{2} + $$16\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$16\!\cdots\!60$$ p^{53} T^{5} + $$13\!\cdots\!80$$ p^{107} T^{6} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	59	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$27\!\cdots\!80$$ p T + $$23\!\cdots\!16$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!46$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!40$$ p^{53} T^{5} + $$23\!\cdots\!16$$ p^{106} T^{6} + $$27\!\cdots\!80$$ p^{160} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	61	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$65\!\cdots\!28$$ T + $$79\!\cdots\!68$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!76$$ T^{3} + $$33\!\cdots\!70$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!76$$ p^{53} T^{5} + $$79\!\cdots\!68$$ p^{106} T^{6} - $$65\!\cdots\!28$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	67	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$11\!\cdots\!60$$ T + $$16\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!38$$ T^{4} + $$27\!\cdots\!20$$ p^{53} T^{5} + $$16\!\cdots\!60$$ p^{106} T^{6} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	71	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$35\!\cdots\!48$$ T + $$37\!\cdots\!08$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!96$$ T^{3} + $$65\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!96$$ p^{53} T^{5} + $$37\!\cdots\!08$$ p^{106} T^{6} + $$35\!\cdots\!48$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	73	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$70\!\cdots\!40$$ T + $$40\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$41\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{53} T^{5} + $$40\!\cdots\!20$$ p^{106} T^{6} + $$70\!\cdots\!40$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	79	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$15\!\cdots\!40$$ T + $$10\!\cdots\!56$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$51\!\cdots\!26$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!80$$ p^{53} T^{5} + $$10\!\cdots\!56$$ p^{106} T^{6} + $$15\!\cdots\!40$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	83	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$26\!\cdots\!20$$ T + $$41\!\cdots\!60$$ T^{2} - $$45\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$37\!\cdots\!38$$ T^{4} - $$45\!\cdots\!60$$ p^{53} T^{5} + $$41\!\cdots\!60$$ p^{106} T^{6} - $$26\!\cdots\!20$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	89	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$37\!\cdots\!20$$ T + $$51\!\cdots\!76$$ T^{2} - $$97\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!66$$ T^{4} - $$97\!\cdots\!40$$ p^{53} T^{5} + $$51\!\cdots\!76$$ p^{106} T^{6} - $$37\!\cdots\!20$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
	97	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$10\!\cdots\!60$$ T + $$42\!\cdots\!40$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!20$$ p^{53} T^{5} + $$42\!\cdots\!40$$ p^{106} T^{6} - $$10\!\cdots\!60$$ p^{159} T^{7} + p^{212} T^{8} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.74308917507019553787097860677, −7.18373549629462894850122178628, −6.69746116334745315905757930045, −6.46525570296664056593121828561, −6.10812911061220154577098985483, −6.05805023967609180906027137215, −5.53582223784712490224594473316, −5.41148448624736301893829136437, −5.23051646392683366194434766174, −4.59998039066223024258027999339, −4.37485700499628250526917750948, −4.31291217417657242813698804956, −4.21284327395293408716484861441, −3.51033530198580412451447884616, −3.18378357527140460056120898021, −3.14797181150811246454786598208, −2.52581552368784280696691274886, −2.36578763858190566093550449557, −2.14580143326305783526536347033, −1.64050772309603176775524115711, −1.49221624870308509646434754778, −1.15270042929802031175863120315, −0.62938678507884257757601191047, −0.49740985635580862300538866179, −0.06916080605691617163504235389, 0.06916080605691617163504235389, 0.49740985635580862300538866179, 0.62938678507884257757601191047, 1.15270042929802031175863120315, 1.49221624870308509646434754778, 1.64050772309603176775524115711, 2.14580143326305783526536347033, 2.36578763858190566093550449557, 2.52581552368784280696691274886, 3.14797181150811246454786598208, 3.18378357527140460056120898021, 3.51033530198580412451447884616, 4.21284327395293408716484861441, 4.31291217417657242813698804956, 4.37485700499628250526917750948, 4.59998039066223024258027999339, 5.23051646392683366194434766174, 5.41148448624736301893829136437, 5.53582223784712490224594473316, 6.05805023967609180906027137215, 6.10812911061220154577098985483, 6.46525570296664056593121828561, 6.69746116334745315905757930045, 7.18373549629462894850122178628, 7.74308917507019553787097860677

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(27)\)	\(\approx\)	\(0.4418363117\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.4418363117\)
\(L(\frac{55}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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