LMFDB - L-function 8-3e8-1.1-c49e4-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 6.10e6·2^-s − 2.50e14·4^-s + 3.06e17·5^-s + 5.24e20·7^-s + 4.27e21·8^-s + 1.87e24·10^-s + 2.36e25·11^-s − 3.83e27·13^-s + 3.20e27·14^-s + 2.01e29·16^-s − 2.85e30·17^-s + 1.72e31·19^-s − 7.67e31·20^-s + 1.44e32·22^-s + 3.56e33·23^-s + 1.25e34·25^-s − 2.34e34·26^-s − 1.31e35·28^-s + 5.80e35·29^-s + 3.33e36·31^-s + 2.71e36·32^-s − 1.74e37·34^-s + 1.60e38·35^-s − 1.71e38·37^-s + 1.05e38·38^-s + 1.31e39·40^-s − 4.54e39·41^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.257·2^-s − 0.444·4^-s + 2.30·5^-s + 1.03·7^-s + 0.320·8^-s + 0.592·10^-s + 0.723·11^-s − 1.95·13^-s + 0.266·14^-s + 0.635·16^-s − 2.03·17^-s + 0.807·19^-s − 1.02·20^-s + 0.186·22^-s + 1.54·23^-s + 0.707·25^-s − 0.504·26^-s − 0.460·28^-s + 0.861·29^-s + 0.964·31^-s + 0.361·32^-s − 0.524·34^-s + 2.38·35^-s − 0.650·37^-s + 0.207·38^-s + 0.736·40^-s − 1.39·41^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 6561 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(50-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 6561 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+49/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$8$
Conductor:	$6561$ = $3^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.50833\times 10^{8}$
Root analytic conductor:	$11.6987$
Motivic weight:	$49$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(8,\ 6561,\ (\ :49/2, 49/2, 49/2, 49/2),\ 1)$

Particular Values

$L(25)$	$\approx$	$13.76734692$
$L(\frac12)$	$\approx$	$13.76734692$
$L(\frac{51}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3		$ 1 $
good	2	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 1526877 p^{2} T + 140414134615 p^{11} T^{2} - 28840871963245023 p^{18} T^{3} - 6662818695664729347 p^{33} T^{4} - 28840871963245023 p^{67} T^{5} + 140414134615 p^{109} T^{6} - 1526877 p^{149} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	5	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 306801860530128264 T + $$65\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{2} - $$19\!\cdots\!72$$ p^{7} T^{3} + $$90\!\cdots\!86$$ p^{12} T^{4} - $$19\!\cdots\!72$$ p^{56} T^{5} + $$65\!\cdots\!28$$ p^{101} T^{6} - 306801860530128264 p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	7	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 10708290004575971456 p^{2} T + $$54\!\cdots\!36$$ p^{5} T^{2} - $$64\!\cdots\!04$$ p^{8} T^{3} + $$25\!\cdots\!30$$ p^{12} T^{4} - $$64\!\cdots\!04$$ p^{57} T^{5} + $$54\!\cdots\!36$$ p^{103} T^{6} - 10708290004575971456 p^{149} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	11	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$23\!\cdots\!84$$ T + $$13\!\cdots\!32$$ p T^{2} + $$19\!\cdots\!60$$ p^{4} T^{3} - $$58\!\cdots\!34$$ p^{8} T^{4} + $$19\!\cdots\!60$$ p^{53} T^{5} + $$13\!\cdots\!32$$ p^{99} T^{6} - $$23\!\cdots\!84$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	13	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$38\!\cdots\!32$$ T + $$86\!\cdots\!68$$ p T^{2} + $$63\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{3} + $$57\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{4} + $$63\!\cdots\!72$$ p^{52} T^{5} + $$86\!\cdots\!68$$ p^{99} T^{6} + $$38\!\cdots\!32$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	17	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$28\!\cdots\!08$$ T + $$49\!\cdots\!36$$ p T^{2} + $$57\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$30\!\cdots\!06$$ p^{4} T^{4} + $$57\!\cdots\!40$$ p^{51} T^{5} + $$49\!\cdots\!36$$ p^{99} T^{6} + $$28\!\cdots\!08$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	19	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$17\!\cdots\!08$$ T + $$10\!\cdots\!72$$ p^{2} T^{2} + $$42\!\cdots\!96$$ p^{3} T^{3} + $$87\!\cdots\!46$$ p^{5} T^{4} + $$42\!\cdots\!96$$ p^{52} T^{5} + $$10\!\cdots\!72$$ p^{100} T^{6} - $$17\!\cdots\!08$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	23	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$15\!\cdots\!96$$ p T + $$40\!\cdots\!72$$ p^{2} T^{2} - $$17\!\cdots\!12$$ p^{4} T^{3} + $$11\!\cdots\!50$$ p^{6} T^{4} - $$17\!\cdots\!12$$ p^{53} T^{5} + $$40\!\cdots\!72$$ p^{100} T^{6} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{148} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	29	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$58\!\cdots\!84$$ T + $$18\!\cdots\!40$$ T^{2} - $$26\!\cdots\!72$$ p T^{3} + $$15\!\cdots\!78$$ p^{2} T^{4} - $$26\!\cdots\!72$$ p^{50} T^{5} + $$18\!\cdots\!40$$ p^{98} T^{6} - $$58\!\cdots\!84$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	31	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$33\!\cdots\!64$$ T + $$11\!\cdots\!68$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!12$$ p^{2} T^{3} + $$18\!\cdots\!94$$ p^{3} T^{4} - $$13\!\cdots\!12$$ p^{51} T^{5} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{99} T^{6} - $$33\!\cdots\!64$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	37	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$17\!\cdots\!36$$ T + $$50\!\cdots\!16$$ p T^{2} + $$10\!\cdots\!84$$ p^{2} T^{3} + $$29\!\cdots\!70$$ p^{3} T^{4} + $$10\!\cdots\!84$$ p^{51} T^{5} + $$50\!\cdots\!16$$ p^{99} T^{6} + $$17\!\cdots\!36$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	41	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$45\!\cdots\!84$$ T + $$53\!\cdots\!08$$ p T^{2} + $$49\!\cdots\!52$$ p^{2} T^{3} + $$49\!\cdots\!94$$ p^{3} T^{4} + $$49\!\cdots\!52$$ p^{51} T^{5} + $$53\!\cdots\!08$$ p^{99} T^{6} + $$45\!\cdots\!84$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	43	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$28\!\cdots\!80$$ p T + $$16\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{2} + $$30\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$11\!\cdots\!98$$ p^{4} T^{4} + $$30\!\cdots\!60$$ p^{52} T^{5} + $$16\!\cdots\!60$$ p^{100} T^{6} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{148} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	47	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$17\!\cdots\!40$$ p T + $$28\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{2} - $$48\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$20\!\cdots\!38$$ p^{4} T^{4} - $$48\!\cdots\!20$$ p^{52} T^{5} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{100} T^{6} - $$17\!\cdots\!40$$ p^{148} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	53	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$26\!\cdots\!48$$ T + $$82\!\cdots\!08$$ T^{2} - $$17\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$30\!\cdots\!50$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!52$$ p^{49} T^{5} + $$82\!\cdots\!08$$ p^{98} T^{6} - $$26\!\cdots\!48$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	59	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$25\!\cdots\!48$$ T + $$13\!\cdots\!92$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!34$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!44$$ p^{49} T^{5} + $$13\!\cdots\!92$$ p^{98} T^{6} - $$25\!\cdots\!48$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	61	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$15\!\cdots\!80$$ T + $$17\!\cdots\!56$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$77\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!20$$ p^{49} T^{5} + $$17\!\cdots\!56$$ p^{98} T^{6} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	67	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$75\!\cdots\!68$$ T + $$89\!\cdots\!72$$ T^{2} - $$53\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$39\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$53\!\cdots\!40$$ p^{49} T^{5} + $$89\!\cdots\!72$$ p^{98} T^{6} - $$75\!\cdots\!68$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	71	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$55\!\cdots\!88$$ T + $$27\!\cdots\!28$$ T^{2} + $$79\!\cdots\!76$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$79\!\cdots\!76$$ p^{49} T^{5} + $$27\!\cdots\!28$$ p^{98} T^{6} + $$55\!\cdots\!88$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	73	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$46\!\cdots\!08$$ T + $$58\!\cdots\!48$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!32$$ p^{49} T^{5} + $$58\!\cdots\!48$$ p^{98} T^{6} + $$46\!\cdots\!08$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	79	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$15\!\cdots\!60$$ T + $$19\!\cdots\!76$$ T^{2} - $$36\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$17\!\cdots\!66$$ T^{4} - $$36\!\cdots\!20$$ p^{49} T^{5} + $$19\!\cdots\!76$$ p^{98} T^{6} - $$15\!\cdots\!60$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	83	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$77\!\cdots\!64$$ T + $$37\!\cdots\!60$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$57\!\cdots\!86$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!44$$ p^{49} T^{5} + $$37\!\cdots\!60$$ p^{98} T^{6} - $$77\!\cdots\!64$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	89	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$19\!\cdots\!52$$ T + $$10\!\cdots\!52$$ T^{2} - $$24\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$49\!\cdots\!66$$ p T^{4} - $$24\!\cdots\!44$$ p^{49} T^{5} + $$10\!\cdots\!52$$ p^{98} T^{6} - $$19\!\cdots\!52$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
	97	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$41\!\cdots\!88$$ T + $$32\!\cdots\!72$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$71\!\cdots\!26$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!80$$ p^{49} T^{5} + $$32\!\cdots\!72$$ p^{98} T^{6} - $$41\!\cdots\!88$$ p^{147} T^{7} + p^{196} T^{8} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.68256791263653180508770514207, −7.29795366282900073519418082137, −7.17598506712315504679910639377, −6.60341983249483406053992370418, −6.54284053112560301192861808598, −6.34484682766285805839897383708, −5.62522849998400642113439235086, −5.41672610350121697869800227824, −5.39406899495961205885361754804, −4.90567185078385308706024819716, −4.62064018434967890442954427576, −4.44393593818578896271090941324, −4.36518122476290946481755052996, −3.47067525002291802193369810435, −3.41393467405043033897734984327, −2.99537629324237113972010568824, −2.48607084454399822632369586813, −2.24312596328525163385453676309, −2.13779829084239000545730226899, −1.79090288576148683807968133805, −1.46182168077192961980182356449, −1.41329667053538569999373517215, −0.72779482633271998445349338094, −0.61722427769264993319970819082, −0.29893790606505661760392698484, 0.29893790606505661760392698484, 0.61722427769264993319970819082, 0.72779482633271998445349338094, 1.41329667053538569999373517215, 1.46182168077192961980182356449, 1.79090288576148683807968133805, 2.13779829084239000545730226899, 2.24312596328525163385453676309, 2.48607084454399822632369586813, 2.99537629324237113972010568824, 3.41393467405043033897734984327, 3.47067525002291802193369810435, 4.36518122476290946481755052996, 4.44393593818578896271090941324, 4.62064018434967890442954427576, 4.90567185078385308706024819716, 5.39406899495961205885361754804, 5.41672610350121697869800227824, 5.62522849998400642113439235086, 6.34484682766285805839897383708, 6.54284053112560301192861808598, 6.60341983249483406053992370418, 7.17598506712315504679910639377, 7.29795366282900073519418082137, 7.68256791263653180508770514207

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(25)\)	\(\approx\)	\(13.76734692\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(13.76734692\)
\(L(\frac{51}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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