LMFDB - L-function 8-3e8-1.1-c45e4-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 7.01e6·2^-s + 8.30e12·4^-s + 2.88e15·5^-s − 3.36e18·7^-s − 4.92e19·8^-s + 2.02e22·10^-s + 1.97e23·11^-s + 2.01e25·13^-s − 2.36e25·14^-s − 3.67e26·16^-s + 1.00e28·17^-s − 2.65e28·19^-s + 2.39e28·20^-s + 1.38e30·22^-s − 3.08e30·23^-s − 2.49e31·25^-s + 1.41e32·26^-s − 2.79e31·28^-s + 1.57e33·29^-s + 8.56e33·31^-s + 6.32e32·32^-s + 7.05e34·34^-s − 9.70e33·35^-s + 1.89e35·37^-s − 1.86e35·38^-s − 1.42e35·40^-s + 5.40e36·41^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.18·2^-s + 0.236·4^-s + 0.541·5^-s − 0.325·7^-s − 0.236·8^-s + 0.640·10^-s + 0.730·11^-s + 1.74·13^-s − 0.384·14^-s − 0.296·16^-s + 2.07·17^-s − 0.448·19^-s + 0.127·20^-s + 0.864·22^-s − 0.708·23^-s − 0.879·25^-s + 2.05·26^-s − 0.0767·28^-s + 1.96·29^-s + 2.38·31^-s + 0.0861·32^-s + 2.45·34^-s − 0.175·35^-s + 0.985·37^-s − 0.530·38^-s − 0.127·40^-s + 2.78·41^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 6561 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(46-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 6561 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+45/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$8$
Conductor:	$6561$ = $3^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.77532\times 10^{8}$
Root analytic conductor:	$10.7438$
Motivic weight:	$45$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(8,\ 6561,\ (\ :45/2, 45/2, 45/2, 45/2),\ 1)$

Particular Values

$L(23)$	$\approx$	$16.67031854$
$L(\frac12)$	$\approx$	$16.67031854$
$L(\frac{47}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3		$ 1 $
good	2	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 1754883 p^{2} T + 160036278965 p^{8} T^{2} - 343343004958161 p^{19} T^{3} + 110022224514169413 p^{33} T^{4} - 343343004958161 p^{64} T^{5} + 160036278965 p^{98} T^{6} - 1754883 p^{137} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	5	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 115413641985096 p^{2} T + $$53\!\cdots\!72$$ p^{4} T^{2} - $$15\!\cdots\!36$$ p^{6} T^{3} + $$45\!\cdots\!22$$ p^{12} T^{4} - $$15\!\cdots\!36$$ p^{51} T^{5} + $$53\!\cdots\!72$$ p^{94} T^{6} - 115413641985096 p^{137} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	7	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + 480427684723734592 p T + $$53\!\cdots\!28$$ p^{2} T^{2} + $$55\!\cdots\!56$$ p^{6} T^{3} + $$11\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{4} + $$55\!\cdots\!56$$ p^{51} T^{5} + $$53\!\cdots\!28$$ p^{92} T^{6} + 480427684723734592 p^{136} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	11	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$17\!\cdots\!24$$ p T + $$90\!\cdots\!92$$ p^{3} T^{2} - $$17\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{3} + $$39\!\cdots\!26$$ p^{7} T^{4} - $$17\!\cdots\!60$$ p^{51} T^{5} + $$90\!\cdots\!92$$ p^{93} T^{6} - $$17\!\cdots\!24$$ p^{136} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	13	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$20\!\cdots\!52$$ T + $$47\!\cdots\!68$$ p T^{2} - $$37\!\cdots\!52$$ p^{3} T^{3} + $$27\!\cdots\!50$$ p^{6} T^{4} - $$37\!\cdots\!52$$ p^{48} T^{5} + $$47\!\cdots\!68$$ p^{91} T^{6} - $$20\!\cdots\!52$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	17	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$10\!\cdots\!48$$ T + $$27\!\cdots\!76$$ p T^{2} - $$80\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$15\!\cdots\!06$$ p^{4} T^{4} - $$80\!\cdots\!80$$ p^{47} T^{5} + $$27\!\cdots\!76$$ p^{91} T^{6} - $$10\!\cdots\!48$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	19	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$26\!\cdots\!72$$ T + $$60\!\cdots\!08$$ p T^{2} + $$34\!\cdots\!16$$ p^{3} T^{3} + $$23\!\cdots\!06$$ p^{5} T^{4} + $$34\!\cdots\!16$$ p^{48} T^{5} + $$60\!\cdots\!08$$ p^{91} T^{6} + $$26\!\cdots\!72$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	23	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$30\!\cdots\!48$$ T + $$38\!\cdots\!28$$ T^{2} - $$72\!\cdots\!56$$ p T^{3} + $$95\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{4} - $$72\!\cdots\!56$$ p^{46} T^{5} + $$38\!\cdots\!28$$ p^{90} T^{6} + $$30\!\cdots\!48$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	29	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$15\!\cdots\!64$$ T + $$25\!\cdots\!40$$ T^{2} - $$71\!\cdots\!12$$ p T^{3} + $$24\!\cdots\!98$$ p^{2} T^{4} - $$71\!\cdots\!12$$ p^{46} T^{5} + $$25\!\cdots\!40$$ p^{90} T^{6} - $$15\!\cdots\!64$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	31	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$85\!\cdots\!44$$ T + $$18\!\cdots\!48$$ p T^{2} - $$26\!\cdots\!12$$ p^{2} T^{3} + $$34\!\cdots\!14$$ p^{3} T^{4} - $$26\!\cdots\!12$$ p^{47} T^{5} + $$18\!\cdots\!48$$ p^{91} T^{6} - $$85\!\cdots\!44$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	37	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$18\!\cdots\!36$$ T + $$27\!\cdots\!76$$ p T^{2} - $$10\!\cdots\!44$$ p^{2} T^{3} + $$91\!\cdots\!90$$ p^{3} T^{4} - $$10\!\cdots\!44$$ p^{47} T^{5} + $$27\!\cdots\!76$$ p^{91} T^{6} - $$18\!\cdots\!36$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	41	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$54\!\cdots\!16$$ T + $$44\!\cdots\!08$$ p T^{2} - $$29\!\cdots\!88$$ p^{2} T^{3} + $$15\!\cdots\!74$$ p^{3} T^{4} - $$29\!\cdots\!88$$ p^{47} T^{5} + $$44\!\cdots\!08$$ p^{91} T^{6} - $$54\!\cdots\!16$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	43	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$18\!\cdots\!20$$ p T + $$55\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{2} + $$73\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$13\!\cdots\!98$$ p^{4} T^{4} + $$73\!\cdots\!40$$ p^{48} T^{5} + $$55\!\cdots\!80$$ p^{92} T^{6} + $$18\!\cdots\!20$$ p^{136} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	47	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$73\!\cdots\!20$$ T + $$81\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$38\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$22\!\cdots\!98$$ T^{4} - $$38\!\cdots\!40$$ p^{45} T^{5} + $$81\!\cdots\!20$$ p^{90} T^{6} - $$73\!\cdots\!20$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	53	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$18\!\cdots\!32$$ T + $$40\!\cdots\!88$$ T^{2} - $$25\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$86\!\cdots\!70$$ T^{4} - $$25\!\cdots\!88$$ p^{45} T^{5} + $$40\!\cdots\!88$$ p^{90} T^{6} - $$18\!\cdots\!32$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	59	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$18\!\cdots\!72$$ T + $$29\!\cdots\!92$$ T^{2} + $$28\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!14$$ T^{4} + $$28\!\cdots\!84$$ p^{45} T^{5} + $$29\!\cdots\!92$$ p^{90} T^{6} + $$18\!\cdots\!72$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	61	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$27\!\cdots\!40$$ T + $$87\!\cdots\!96$$ T^{2} - $$25\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$29\!\cdots\!06$$ T^{4} - $$25\!\cdots\!60$$ p^{46} T^{5} + $$87\!\cdots\!96$$ p^{90} T^{6} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	67	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$15\!\cdots\!08$$ T + $$32\!\cdots\!52$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$39\!\cdots\!46$$ T^{4} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{45} T^{5} + $$32\!\cdots\!52$$ p^{90} T^{6} + $$15\!\cdots\!08$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	71	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$15\!\cdots\!08$$ T + $$52\!\cdots\!28$$ T^{2} - $$53\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!70$$ T^{4} - $$53\!\cdots\!44$$ p^{45} T^{5} + $$52\!\cdots\!28$$ p^{90} T^{6} + $$15\!\cdots\!08$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	73	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$19\!\cdots\!12$$ T + $$32\!\cdots\!68$$ T^{2} + $$39\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$48\!\cdots\!50$$ p T^{4} + $$39\!\cdots\!08$$ p^{45} T^{5} + $$32\!\cdots\!68$$ p^{90} T^{6} + $$19\!\cdots\!12$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	79	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$13\!\cdots\!40$$ T + $$19\!\cdots\!24$$ p T^{2} - $$10\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$63\!\cdots\!06$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{5} + $$19\!\cdots\!24$$ p^{91} T^{6} - $$13\!\cdots\!40$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	83	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$31\!\cdots\!16$$ T + $$89\!\cdots\!40$$ T^{2} - $$15\!\cdots\!96$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{45} T^{5} + $$89\!\cdots\!40$$ p^{90} T^{6} - $$31\!\cdots\!16$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	89	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$42\!\cdots\!72$$ p T + $$13\!\cdots\!72$$ T^{2} + $$47\!\cdots\!16$$ T^{3} + $$90\!\cdots\!54$$ T^{4} + $$47\!\cdots\!16$$ p^{45} T^{5} + $$13\!\cdots\!72$$ p^{90} T^{6} + $$42\!\cdots\!72$$ p^{136} T^{7} + p^{180} T^{8} $
	97	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$73\!\cdots\!52$$ T + $$62\!\cdots\!92$$ T^{2} - $$31\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!26$$ T^{4} - $$31\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{5} + $$62\!\cdots\!92$$ p^{90} T^{6} - $$73\!\cdots\!52$$ p^{135} T^{7} + p^{180} T^{8} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.955779924423690824219685881465, −7.64981362939378822800007904854, −7.54929213912771290511612877217, −6.84516039502176901444485578480, −6.31488915676166531967622176539, −6.24733426686733527328001490570, −6.14851606310970860315820516991, −5.74543535301108525879119965560, −5.70974981765925257660803616352, −4.83948320222632828324968883037, −4.60113538257528553612460114474, −4.57266894849477227560287299611, −4.33415524940488086767490675379, −3.54005519619034183900678146463, −3.51794097036086522731426854938, −3.47547731198806609391353751635, −2.83501067652096323761807330225, −2.68590774477736436080132756636, −2.16472107421622660091423371853, −1.92103766316001842313479937481, −1.43252679331502422244158160674, −0.986111095410851422090604904843, −0.973715806496403575478003409506, −0.808996553903674065746909911727, −0.26018395715946803124686487114, 0.26018395715946803124686487114, 0.808996553903674065746909911727, 0.973715806496403575478003409506, 0.986111095410851422090604904843, 1.43252679331502422244158160674, 1.92103766316001842313479937481, 2.16472107421622660091423371853, 2.68590774477736436080132756636, 2.83501067652096323761807330225, 3.47547731198806609391353751635, 3.51794097036086522731426854938, 3.54005519619034183900678146463, 4.33415524940488086767490675379, 4.57266894849477227560287299611, 4.60113538257528553612460114474, 4.83948320222632828324968883037, 5.70974981765925257660803616352, 5.74543535301108525879119965560, 6.14851606310970860315820516991, 6.24733426686733527328001490570, 6.31488915676166531967622176539, 6.84516039502176901444485578480, 7.54929213912771290511612877217, 7.64981362939378822800007904854, 7.955779924423690824219685881465

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(23)\)	\(\approx\)	\(16.67031854\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(16.67031854\)
\(L(\frac{47}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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