| L(s) = 1 | − 14·3-s + 42·5-s + 342·9-s + 716·11-s + 1.42e3·13-s − 588·15-s − 1.34e3·17-s − 1.94e3·19-s + 1.79e3·23-s + 1.86e3·25-s − 4.81e3·27-s − 2.40e3·29-s − 6.80e3·31-s − 1.00e4·33-s − 1.46e4·37-s − 1.99e4·39-s − 1.57e4·41-s + 1.04e3·43-s + 1.43e4·45-s − 1.83e4·47-s + 1.88e4·51-s − 4.51e4·53-s + 3.00e4·55-s + 2.72e4·57-s + 2.25e4·59-s − 5.28e4·61-s + 5.99e4·65-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.898·3-s + 0.751·5-s + 1.40·9-s + 1.78·11-s + 2.34·13-s − 0.674·15-s − 1.12·17-s − 1.23·19-s + 0.706·23-s + 0.597·25-s − 1.27·27-s − 0.529·29-s − 1.27·31-s − 1.60·33-s − 1.75·37-s − 2.10·39-s − 1.46·41-s + 0.0864·43-s + 1.05·45-s − 1.21·47-s + 1.01·51-s − 2.20·53-s + 1.34·55-s + 1.11·57-s + 0.844·59-s − 1.81·61-s + 1.76·65-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(2.545689870\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(2.545689870\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 14 T - 146 T^{2} - 224 p^{2} T^{3} + 127 p^{4} T^{4} - 224 p^{7} T^{5} - 146 p^{10} T^{6} + 14 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 42 T - 102 T^{2} + 184128 T^{3} - 11796169 T^{4} + 184128 p^{5} T^{5} - 102 p^{10} T^{6} - 42 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 716 T + 100218 T^{2} - 64680576 T^{3} + 61603917787 T^{4} - 64680576 p^{5} T^{5} + 100218 p^{10} T^{6} - 716 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 714 T + 814258 T^{2} - 714 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 17 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 1344 T - 922174 T^{2} - 149458176 T^{3} + 2864034105699 T^{4} - 149458176 p^{5} T^{5} - 922174 p^{10} T^{6} + 1344 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 1946 T - 442754 T^{2} - 1406039488 T^{3} + 2382263130415 T^{4} - 1406039488 p^{5} T^{5} - 442754 p^{10} T^{6} + 1946 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 1792 T - 8043246 T^{2} + 2899771392 T^{3} + 64568687558899 T^{4} + 2899771392 p^{5} T^{5} - 8043246 p^{10} T^{6} - 1792 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 1200 T - 16154090 T^{2} + 1200 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 31 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 6804 T + 15853298 T^{2} - 182464119936 T^{3} - 1218336448011693 T^{4} - 182464119936 p^{5} T^{5} + 15853298 p^{10} T^{6} + 6804 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 14640 T + 26636474 T^{2} + 717436303680 T^{3} + 15557662609006827 T^{4} + 717436303680 p^{5} T^{5} + 26636474 p^{10} T^{6} + 14640 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 7896 T + 209593854 T^{2} + 7896 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 43 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 524 T + 242298998 T^{2} - 524 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 47 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 18396 T - 97472814 T^{2} - 419509448064 T^{3} + 59783860550257139 T^{4} - 419509448064 p^{5} T^{5} - 97472814 p^{10} T^{6} + 18396 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 45132 T + 887382434 T^{2} + 14131912548528 T^{3} + 294675919449077019 T^{4} + 14131912548528 p^{5} T^{5} + 887382434 p^{10} T^{6} + 45132 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 22582 T - 1021676130 T^{2} - 2298266248992 T^{3} + 1470178509411417439 T^{4} - 2298266248992 p^{5} T^{5} - 1021676130 p^{10} T^{6} - 22582 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 52822 T + 644234138 T^{2} + 24125758855968 T^{3} + 1535108778041950631 T^{4} + 24125758855968 p^{5} T^{5} + 644234138 p^{10} T^{6} + 52822 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 9848 T - 2617828918 T^{2} + 143404685184 T^{3} + 5416427186578774907 T^{4} + 143404685184 p^{5} T^{5} - 2617828918 p^{10} T^{6} + 9848 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 840 T + 427300302 T^{2} + 840 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 73 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 122052 T + 7306150730 T^{2} + 420395516768976 T^{3} + 22436764939018791555 T^{4} + 420395516768976 p^{5} T^{5} + 7306150730 p^{10} T^{6} + 122052 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 31704 T - 5036954974 T^{2} - 3551298450432 T^{3} + 23945795693126342115 T^{4} - 3551298450432 p^{5} T^{5} - 5036954974 p^{10} T^{6} + 31704 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 36974 T + 4839605030 T^{2} + 36974 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 89 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 210588 T + 22533586202 T^{2} + 2241835748418672 T^{3} + \)\(19\!\cdots\!07\)\( T^{4} + 2241835748418672 p^{5} T^{5} + 22533586202 p^{10} T^{6} + 210588 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 44240 T + 2438219582 T^{2} - 44240 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.00264288902370642121512319030, −6.97932660174635313548751963682, −6.91658006627477802402182033268, −6.47954385666707943339723496771, −6.36025758956918400473141341184, −6.05633647402421959724450994244, −6.04072480128860762078961156192, −5.61104213530910466443930509422, −5.26173646569606810743191856565, −5.09157311404654653558856690389, −4.77968989218570865173804028144, −4.32959971510913300062754547327, −4.15883378450407530532515900227, −3.96102334675055076165089799398, −3.79505440413153516082231864169, −3.32323571263471906269810874825, −2.91003276962842405410473691899, −2.89783672499759581260733792532, −1.98290581171352384188964477430, −1.71431290194016903400674639007, −1.55946663897306316582593122177, −1.37405052981554351822529759785, −1.30918355503709733049173593979, −0.39612042339703032476153738517, −0.26850205419717432832525254104,
0.26850205419717432832525254104, 0.39612042339703032476153738517, 1.30918355503709733049173593979, 1.37405052981554351822529759785, 1.55946663897306316582593122177, 1.71431290194016903400674639007, 1.98290581171352384188964477430, 2.89783672499759581260733792532, 2.91003276962842405410473691899, 3.32323571263471906269810874825, 3.79505440413153516082231864169, 3.96102334675055076165089799398, 4.15883378450407530532515900227, 4.32959971510913300062754547327, 4.77968989218570865173804028144, 5.09157311404654653558856690389, 5.26173646569606810743191856565, 5.61104213530910466443930509422, 6.04072480128860762078961156192, 6.05633647402421959724450994244, 6.36025758956918400473141341184, 6.47954385666707943339723496771, 6.91658006627477802402182033268, 6.97932660174635313548751963682, 7.00264288902370642121512319030
