# Properties

 Label 8-3344e4-1.1-c1e4-0-0 Degree $8$ Conductor $1.250\times 10^{14}$ Sign $1$ Analytic cond. $508362.$ Root an. cond. $5.16739$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 3-s − 3·5-s + 3·7-s − 5·9-s − 4·11-s − 5·13-s − 3·15-s − 4·19-s + 3·21-s + 8·23-s − 7·25-s − 9·27-s − 29-s + 7·31-s − 4·33-s − 9·35-s − 16·37-s − 5·39-s − 7·41-s − 5·43-s + 15·45-s + 4·47-s − 16·49-s − 18·53-s + 12·55-s − 4·57-s − 6·61-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 0.577·3-s − 1.34·5-s + 1.13·7-s − 5/3·9-s − 1.20·11-s − 1.38·13-s − 0.774·15-s − 0.917·19-s + 0.654·21-s + 1.66·23-s − 7/5·25-s − 1.73·27-s − 0.185·29-s + 1.25·31-s − 0.696·33-s − 1.52·35-s − 2.63·37-s − 0.800·39-s − 1.09·41-s − 0.762·43-s + 2.23·45-s + 0.583·47-s − 2.28·49-s − 2.47·53-s + 1.61·55-s − 0.529·57-s − 0.768·61-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 11^{4} \cdot 19^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 11^{4} \cdot 19^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$2^{16} \cdot 11^{4} \cdot 19^{4}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$508362.$$ Root analytic conductor: $$5.16739$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 2^{16} \cdot 11^{4} \cdot 19^{4} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
11$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
19$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
good3$C_2 \wr S_4$ $$1 - T + 2 p T^{2} - 2 T^{3} + 19 T^{4} - 2 p T^{5} + 2 p^{3} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
5$C_2 \wr S_4$ $$1 + 3 T + 16 T^{2} + 36 T^{3} + 23 p T^{4} + 36 p T^{5} + 16 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr S_4$ $$1 - 3 T + 25 T^{2} - 59 T^{3} + 254 T^{4} - 59 p T^{5} + 25 p^{2} T^{6} - 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 29 T^{2} + 7 p T^{3} + 322 T^{4} + 7 p^{2} T^{5} + 29 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr S_4$ $$1 + 30 T^{2} + 36 T^{3} + 642 T^{4} + 36 p T^{5} + 30 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr S_4$ $$1 - 8 T + 85 T^{2} - 382 T^{3} + 2536 T^{4} - 382 p T^{5} + 85 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + 101 T^{2} + 51 T^{3} + 4154 T^{4} + 51 p T^{5} + 101 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr S_4$ $$1 - 7 T + 118 T^{2} - 650 T^{3} + 5395 T^{4} - 650 p T^{5} + 118 p^{2} T^{6} - 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr S_4$ $$1 + 16 T + 221 T^{2} + 1896 T^{3} + 13680 T^{4} + 1896 p T^{5} + 221 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr S_4$ $$1 + 7 T + 99 T^{2} + 381 T^{3} + 4244 T^{4} + 381 p T^{5} + 99 p^{2} T^{6} + 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 153 T^{2} + 637 T^{3} + 9464 T^{4} + 637 p T^{5} + 153 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T + 76 T^{2} - 356 T^{3} + 4822 T^{4} - 356 p T^{5} + 76 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr S_4$ $$1 + 18 T + 304 T^{2} + 2958 T^{3} + 26542 T^{4} + 2958 p T^{5} + 304 p^{2} T^{6} + 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr S_4$ $$1 + 213 T^{2} - 48 T^{3} + 18156 T^{4} - 48 p T^{5} + 213 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr S_4$ $$1 + 6 T + 106 T^{2} + 746 T^{3} + 10106 T^{4} + 746 p T^{5} + 106 p^{2} T^{6} + 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + 188 T^{2} - 34 T^{3} + 16225 T^{4} - 34 p T^{5} + 188 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr S_4$ $$1 - T + 48 T^{2} - 306 T^{3} - 2731 T^{4} - 306 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr S_4$ $$1 + 6 T + 176 T^{2} + 1186 T^{3} + 15006 T^{4} + 1186 p T^{5} + 176 p^{2} T^{6} + 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T + 238 T^{2} - 680 T^{3} + 24922 T^{4} - 680 p T^{5} + 238 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr S_4$ $$1 - 25 T + 433 T^{2} - 5021 T^{3} + 50710 T^{4} - 5021 p T^{5} + 433 p^{2} T^{6} - 25 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr S_4$ $$1 + 14 T + 341 T^{2} + 3364 T^{3} + 45484 T^{4} + 3364 p T^{5} + 341 p^{2} T^{6} + 14 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr S_4$ $$1 + 36 T + 841 T^{2} + 12772 T^{3} + 148064 T^{4} + 12772 p T^{5} + 841 p^{2} T^{6} + 36 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$