# Properties

 Label 8-2200e4-1.1-c1e4-0-7 Degree $8$ Conductor $2.343\times 10^{13}$ Sign $1$ Analytic cond. $95235.5$ Root an. cond. $4.19131$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 3-s − 7-s − 2·9-s + 4·11-s − 16·13-s − 7·17-s − 9·19-s + 21-s − 6·23-s − 27-s + 3·29-s − 15·31-s − 4·33-s − 5·37-s + 16·39-s + 10·41-s − 8·43-s + 10·47-s − 9·49-s + 7·51-s − 5·53-s + 9·57-s + 6·59-s + 29·61-s + 2·63-s − 6·67-s + 6·69-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 0.577·3-s − 0.377·7-s − 2/3·9-s + 1.20·11-s − 4.43·13-s − 1.69·17-s − 2.06·19-s + 0.218·21-s − 1.25·23-s − 0.192·27-s + 0.557·29-s − 2.69·31-s − 0.696·33-s − 0.821·37-s + 2.56·39-s + 1.56·41-s − 1.21·43-s + 1.45·47-s − 9/7·49-s + 0.980·51-s − 0.686·53-s + 1.19·57-s + 0.781·59-s + 3.71·61-s + 0.251·63-s − 0.733·67-s + 0.722·69-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 5^{8} \cdot 11^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 5^{8} \cdot 11^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$2^{12} \cdot 5^{8} \cdot 11^{4}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$95235.5$$ Root analytic conductor: $$4.19131$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 2^{12} \cdot 5^{8} \cdot 11^{4} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
5 $$1$$
11$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
good3$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + p T^{2} + 2 p T^{3} + 2 T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + 10 T^{2} + 9 T^{3} + 50 T^{4} + 9 p T^{5} + 10 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2$ $$( 1 + 4 T + p T^{2} )^{4}$$
17$C_2 \wr S_4$ $$1 + 7 T + 24 T^{2} + 65 T^{3} + 270 T^{4} + 65 p T^{5} + 24 p^{2} T^{6} + 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr S_4$ $$1 + 9 T + 56 T^{2} + 257 T^{3} + 1278 T^{4} + 257 p T^{5} + 56 p^{2} T^{6} + 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr S_4$ $$1 + 6 T + 33 T^{2} + 196 T^{3} + 1316 T^{4} + 196 p T^{5} + 33 p^{2} T^{6} + 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr S_4$ $$1 - 3 T + 78 T^{2} - 9 p T^{3} + 2874 T^{4} - 9 p^{2} T^{5} + 78 p^{2} T^{6} - 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr S_4$ $$1 + 15 T + 167 T^{2} + 1312 T^{3} + 8448 T^{4} + 1312 p T^{5} + 167 p^{2} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 93 T^{2} + 364 T^{3} + 108 p T^{4} + 364 p T^{5} + 93 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr S_4$ $$1 - 10 T + 116 T^{2} - 654 T^{3} + 5126 T^{4} - 654 p T^{5} + 116 p^{2} T^{6} - 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr S_4$ $$1 + 8 T + 108 T^{2} + 808 T^{3} + 6726 T^{4} + 808 p T^{5} + 108 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr S_4$ $$1 - 10 T + 176 T^{2} - 1098 T^{3} + 11486 T^{4} - 1098 p T^{5} + 176 p^{2} T^{6} - 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 136 T^{2} + 667 T^{3} + 10078 T^{4} + 667 p T^{5} + 136 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr S_4$ $$1 - 6 T + 189 T^{2} - 1138 T^{3} + 15308 T^{4} - 1138 p T^{5} + 189 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr S_4$ $$1 - 29 T + 518 T^{2} - 6171 T^{3} + 55914 T^{4} - 6171 p T^{5} + 518 p^{2} T^{6} - 29 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr S_4$ $$1 + 6 T + 185 T^{2} + 908 T^{3} + 16380 T^{4} + 908 p T^{5} + 185 p^{2} T^{6} + 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + 147 T^{2} - 652 T^{3} + 9456 T^{4} - 652 p T^{5} + 147 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr S_4$ $$1 + 18 T + 340 T^{2} + 3622 T^{3} + 37958 T^{4} + 3622 p T^{5} + 340 p^{2} T^{6} + 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr S_4$ $$1 + 20 T + 224 T^{2} + 868 T^{3} + 3454 T^{4} + 868 p T^{5} + 224 p^{2} T^{6} + 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr S_4$ $$1 + 26 T + 408 T^{2} + 4754 T^{3} + 47774 T^{4} + 4754 p T^{5} + 408 p^{2} T^{6} + 26 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr S_4$ $$1 - 21 T + 477 T^{2} - 5682 T^{3} + 68718 T^{4} - 5682 p T^{5} + 477 p^{2} T^{6} - 21 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T + 241 T^{2} - 384 T^{3} + 28448 T^{4} - 384 p T^{5} + 241 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$