| L(s) = 1 | − 3·2-s − 25·4-s + 75·8-s − 402·11-s − 462·13-s + 599·16-s + 276·17-s − 510·19-s + 1.20e3·22-s − 6.90e3·23-s − 4.84e3·25-s + 1.38e3·26-s − 540·29-s + 6.41e3·31-s − 4.06e3·32-s − 828·34-s + 1.52e4·37-s + 1.53e3·38-s + 4.30e3·41-s + 2.91e4·43-s + 1.00e4·44-s + 2.07e4·46-s − 1.50e4·47-s + 1.45e4·50-s + 1.15e4·52-s − 1.36e4·53-s + 1.62e3·58-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.530·2-s − 0.781·4-s + 0.414·8-s − 1.00·11-s − 0.758·13-s + 0.584·16-s + 0.231·17-s − 0.324·19-s + 0.531·22-s − 2.71·23-s − 1.54·25-s + 0.402·26-s − 0.119·29-s + 1.19·31-s − 0.701·32-s − 0.122·34-s + 1.83·37-s + 0.171·38-s + 0.400·41-s + 2.40·43-s + 0.782·44-s + 1.44·46-s − 0.994·47-s + 0.821·50-s + 0.592·52-s − 0.669·53-s + 0.0632·58-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 3 | | \( 1 \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 3 T + 17 p T^{2} + 51 p T^{3} + 83 p^{2} T^{4} + 51 p^{6} T^{5} + 17 p^{11} T^{6} + 3 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 4843 T^{2} + 12108 p^{2} T^{3} + 7549256 T^{4} + 12108 p^{7} T^{5} + 4843 p^{10} T^{6} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 402 T + 405841 T^{2} + 93416934 T^{3} + 77165216456 T^{4} + 93416934 p^{5} T^{5} + 405841 p^{10} T^{6} + 402 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 462 T + 336749 T^{2} - 500754 T^{3} + 123849672672 T^{4} - 500754 p^{5} T^{5} + 336749 p^{10} T^{6} + 462 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 276 T + 4084676 T^{2} - 280763388 T^{3} + 7517219673798 T^{4} - 280763388 p^{5} T^{5} + 4084676 p^{10} T^{6} - 276 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 510 T + 4007525 T^{2} + 2990607690 T^{3} + 14975063190924 T^{4} + 2990607690 p^{5} T^{5} + 4007525 p^{10} T^{6} + 510 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 300 p T + 32867228 T^{2} + 116109363780 T^{3} + 343244422915686 T^{4} + 116109363780 p^{5} T^{5} + 32867228 p^{10} T^{6} + 300 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 540 T + 29394199 T^{2} - 29299685892 T^{3} + 772430149366772 T^{4} - 29299685892 p^{5} T^{5} + 29394199 p^{10} T^{6} + 540 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 6410 T + 96802736 T^{2} - 491920044696 T^{3} + 3990219807562217 T^{4} - 491920044696 p^{5} T^{5} + 96802736 p^{10} T^{6} - 6410 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 15250 T + 230519621 T^{2} - 1675418532570 T^{3} + 17310190338885440 T^{4} - 1675418532570 p^{5} T^{5} + 230519621 p^{10} T^{6} - 15250 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 4308 T + 270683560 T^{2} - 2598901038204 T^{3} + 34018560333944366 T^{4} - 2598901038204 p^{5} T^{5} + 270683560 p^{10} T^{6} - 4308 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 29198 T + 787995265 T^{2} - 13076978932730 T^{3} + 187469286625894360 T^{4} - 13076978932730 p^{5} T^{5} + 787995265 p^{10} T^{6} - 29198 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 15060 T + 968029772 T^{2} + 10316869428852 T^{3} + 338556639544077654 T^{4} + 10316869428852 p^{5} T^{5} + 968029772 p^{10} T^{6} + 15060 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 13692 T + 1174874543 T^{2} + 9138918677148 T^{3} + 624374053991775828 T^{4} + 9138918677148 p^{5} T^{5} + 1174874543 p^{10} T^{6} + 13692 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 34830 T + 3047953637 T^{2} - 74240819598150 T^{3} + 3333299875817266188 T^{4} - 74240819598150 p^{5} T^{5} + 3047953637 p^{10} T^{6} - 34830 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5364 T + 2845789028 T^{2} - 10211521644252 T^{3} + 3398342140250230278 T^{4} - 10211521644252 p^{5} T^{5} + 2845789028 p^{10} T^{6} - 5364 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 5994 T + 2554505537 T^{2} + 29219705413074 T^{3} + 3802215802346578704 T^{4} + 29219705413074 p^{5} T^{5} + 2554505537 p^{10} T^{6} + 5994 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 89268 T + 8738662172 T^{2} + 466802240277492 T^{3} + 25044546792022133910 T^{4} + 466802240277492 p^{5} T^{5} + 8738662172 p^{10} T^{6} + 89268 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 59638 T + 8655226553 T^{2} + 350574157952982 T^{3} + 27168426643986231860 T^{4} + 350574157952982 p^{5} T^{5} + 8655226553 p^{10} T^{6} + 59638 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 44062 T + 8526420688 T^{2} + 421600841789848 T^{3} + 33701233575740693881 T^{4} + 421600841789848 p^{5} T^{5} + 8526420688 p^{10} T^{6} + 44062 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 208446 T + 23363412401 T^{2} + 1724627286611514 T^{3} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{4} + 1724627286611514 p^{5} T^{5} + 23363412401 p^{10} T^{6} + 208446 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 77520 T + 5530024288 T^{2} - 567577230261264 T^{3} - 47925515398937104546 T^{4} - 567577230261264 p^{5} T^{5} + 5530024288 p^{10} T^{6} + 77520 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 188630 T + 43620869129 T^{2} - 4760435860011510 T^{3} + \)\(59\!\cdots\!64\)\( T^{4} - 4760435860011510 p^{5} T^{5} + 43620869129 p^{10} T^{6} - 188630 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.72121912494408954143639425238, −7.50895927152370996995303921914, −7.38046833451289787343816891545, −7.22255520395233278894163117450, −6.68421161297924410988121168967, −6.31797236858046959301266317514, −6.09784844830540217938381989389, −5.89309023293528381147225084958, −5.86817796235396990768105935545, −5.52798761132708362481698385447, −5.21125311203068628245798626791, −4.85330066359067638199896035220, −4.55920285638697618747448853154, −4.28791827756779133440895583200, −4.11481551694585313546619323136, −4.03539989750450303791068809674, −3.51955514777056648256563898116, −3.22640783069150147566908736188, −2.73874295827328832711034695184, −2.52086279512322530676495609164, −2.20733745248386650151350549160, −2.20264704818747660435119816144, −1.32702551446145088059849825613, −1.23082071052071592121052213364, −1.04608194738643787076831740605, 0, 0, 0, 0,
1.04608194738643787076831740605, 1.23082071052071592121052213364, 1.32702551446145088059849825613, 2.20264704818747660435119816144, 2.20733745248386650151350549160, 2.52086279512322530676495609164, 2.73874295827328832711034695184, 3.22640783069150147566908736188, 3.51955514777056648256563898116, 4.03539989750450303791068809674, 4.11481551694585313546619323136, 4.28791827756779133440895583200, 4.55920285638697618747448853154, 4.85330066359067638199896035220, 5.21125311203068628245798626791, 5.52798761132708362481698385447, 5.86817796235396990768105935545, 5.89309023293528381147225084958, 6.09784844830540217938381989389, 6.31797236858046959301266317514, 6.68421161297924410988121168967, 7.22255520395233278894163117450, 7.38046833451289787343816891545, 7.50895927152370996995303921914, 7.72121912494408954143639425238
