| L(s) = 1 | + 3·2-s + 18·3-s + 4·4-s + 33·5-s + 54·6-s − 350·7-s − 183·8-s + 81·9-s + 99·10-s + 1.13e3·11-s + 72·12-s + 1.85e3·13-s − 1.05e3·14-s + 594·15-s + 187·16-s + 324·17-s + 243·18-s − 2.31e3·19-s + 132·20-s − 6.30e3·21-s + 3.41e3·22-s − 1.59e3·23-s − 3.29e3·24-s + 3.47e3·25-s + 5.55e3·26-s − 1.45e3·27-s − 1.40e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.530·2-s + 1.15·3-s + 1/8·4-s + 0.590·5-s + 0.612·6-s − 2.69·7-s − 1.01·8-s + 1/3·9-s + 0.313·10-s + 2.83·11-s + 0.144·12-s + 3.03·13-s − 1.43·14-s + 0.681·15-s + 0.182·16-s + 0.271·17-s + 0.176·18-s − 1.46·19-s + 0.0737·20-s − 3.11·21-s + 1.50·22-s − 0.629·23-s − 1.16·24-s + 1.11·25-s + 1.61·26-s − 0.384·27-s − 0.337·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 194481 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 194481 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(4.548918973\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(4.548918973\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 3 | $C_2$ | \( ( 1 - p^{2} T + p^{4} T^{2} )^{2} \) |
| 7 | $C_2$ | \( ( 1 + 25 p T + p^{5} T^{2} )^{2} \) |
| good | 2 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 3 T + 5 T^{2} + 45 p^{2} T^{3} - 81 p^{4} T^{4} + 45 p^{7} T^{5} + 5 p^{10} T^{6} - 3 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 33 T - 2383 T^{2} + 91674 T^{3} - 1113966 T^{4} + 91674 p^{5} T^{5} - 2383 p^{10} T^{6} - 33 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 1137 T + 58867 p T^{2} - 367398810 T^{3} + 182185169004 T^{4} - 367398810 p^{5} T^{5} + 58867 p^{11} T^{6} - 1137 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 925 T + 951450 T^{2} - 925 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 17 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 324 T - 1397458 T^{2} + 433278720 T^{3} + 92263115475 T^{4} + 433278720 p^{5} T^{5} - 1397458 p^{10} T^{6} - 324 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 2311 T - 901277 T^{2} + 2980727800 T^{3} + 19607318846824 T^{4} + 2980727800 p^{5} T^{5} - 901277 p^{10} T^{6} + 2311 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 1596 T - 5056990 T^{2} - 8408494080 T^{3} + 2681805699 T^{4} - 8408494080 p^{5} T^{5} - 5056990 p^{10} T^{6} + 1596 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 2217 T + 42125014 T^{2} + 2217 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 31 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 4294 T - 6712931 T^{2} - 137867178890 T^{3} - 714913793459948 T^{4} - 137867178890 p^{5} T^{5} - 6712931 p^{10} T^{6} + 4294 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 19109 T + 180683803 T^{2} - 874851371876 T^{3} + 3899410282461118 T^{4} - 874851371876 p^{5} T^{5} + 180683803 p^{10} T^{6} - 19109 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 12858 T + 228491122 T^{2} + 12858 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 43 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 2771 T + 36114396 T^{2} + 2771 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 47 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 23160 T - 33691018 T^{2} - 2579713748640 T^{3} + 149370858967788675 T^{4} - 2579713748640 p^{5} T^{5} - 33691018 p^{10} T^{6} - 23160 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 31653 T + 105901883 T^{2} - 1887137299620 T^{3} + 208952138512710990 T^{4} - 1887137299620 p^{5} T^{5} + 105901883 p^{10} T^{6} - 31653 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 41097 T + 791968799 T^{2} - 21898700344836 T^{3} - 913998404147564592 T^{4} - 21898700344836 p^{5} T^{5} + 791968799 p^{10} T^{6} + 41097 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 42052 T + 39963442 T^{2} + 1649054882320 T^{3} + 780489396276288139 T^{4} + 1649054882320 p^{5} T^{5} + 39963442 p^{10} T^{6} + 42052 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 30763 T - 751671155 T^{2} - 30831198187070 T^{3} - 217227959819149556 T^{4} - 30831198187070 p^{5} T^{5} - 751671155 p^{10} T^{6} + 30763 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 102096 T + 6091648810 T^{2} - 102096 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 73 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 28577 T - 1819854179 T^{2} + 43141098817006 T^{3} + 960538312903836118 T^{4} + 43141098817006 p^{5} T^{5} - 1819854179 p^{10} T^{6} - 28577 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $D_4\times C_2$ | \( 1 - 18464 T - 2991126965 T^{2} + 52106636539168 T^{3} + 585228301517857816 T^{4} + 52106636539168 p^{5} T^{5} - 2991126965 p^{10} T^{6} - 18464 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $D_{4}$ | \( ( 1 - 61179 T + 8589312784 T^{2} - 61179 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| 89 | $D_4\times C_2$ | \( 1 + 29322 T - 10522232110 T^{2} + 6271767496512 T^{3} + 93567411680290480719 T^{4} + 6271767496512 p^{5} T^{5} - 10522232110 p^{10} T^{6} + 29322 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $D_{4}$ | \( ( 1 + 9791 T + 17134261944 T^{2} + 9791 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−12.76463075947576565326796439299, −12.50507141260342186601110567731, −12.21420001837697700783114851422, −11.70535350947778750669528392695, −11.32754009764430338046869657439, −10.74482382656222313337695963124, −10.58961778243552219371916689167, −9.889615855458135484476288171625, −9.429180771353673380465630164394, −9.245271005216166249143835702644, −9.135784911899209117166342890212, −8.537271723247962785380466805424, −8.526987354037956290417673156129, −7.65268311827782394120043657193, −6.73206582422545791146051674578, −6.47103772572418322098874192107, −6.26850213285840306833834006994, −6.14476899852555871958750668652, −5.53446207203124009053392215807, −3.99696766055766994802798461055, −3.70396416083621652751346224856, −3.57302174577331376974179687021, −3.05949196601917328195645533906, −1.91163078860558212956076279540, −0.847065099873545780364881394854,
0.847065099873545780364881394854, 1.91163078860558212956076279540, 3.05949196601917328195645533906, 3.57302174577331376974179687021, 3.70396416083621652751346224856, 3.99696766055766994802798461055, 5.53446207203124009053392215807, 6.14476899852555871958750668652, 6.26850213285840306833834006994, 6.47103772572418322098874192107, 6.73206582422545791146051674578, 7.65268311827782394120043657193, 8.526987354037956290417673156129, 8.537271723247962785380466805424, 9.135784911899209117166342890212, 9.245271005216166249143835702644, 9.429180771353673380465630164394, 9.889615855458135484476288171625, 10.58961778243552219371916689167, 10.74482382656222313337695963124, 11.32754009764430338046869657439, 11.70535350947778750669528392695, 12.21420001837697700783114851422, 12.50507141260342186601110567731, 12.76463075947576565326796439299
