Properties

 Label 8-1805e4-1.1-c1e4-0-1 Degree $8$ Conductor $1.061\times 10^{13}$ Sign $1$ Analytic cond. $43153.6$ Root an. cond. $3.79644$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

Origins of factors

Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2·2-s − 2·3-s + 2·4-s − 4·5-s − 4·6-s + 4·7-s + 4·8-s − 8·10-s + 4·11-s − 4·12-s − 2·13-s + 8·14-s + 8·15-s + 3·16-s + 4·17-s − 8·20-s − 8·21-s + 8·22-s − 8·23-s − 8·24-s + 10·25-s − 4·26-s + 6·27-s + 8·28-s − 4·29-s + 16·30-s − 4·31-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.41·2-s − 1.15·3-s + 4-s − 1.78·5-s − 1.63·6-s + 1.51·7-s + 1.41·8-s − 2.52·10-s + 1.20·11-s − 1.15·12-s − 0.554·13-s + 2.13·14-s + 2.06·15-s + 3/4·16-s + 0.970·17-s − 1.78·20-s − 1.74·21-s + 1.70·22-s − 1.66·23-s − 1.63·24-s + 2·25-s − 0.784·26-s + 1.15·27-s + 1.51·28-s − 0.742·29-s + 2.92·30-s − 0.718·31-s + ⋯

Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{4} \cdot 19^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{4} \cdot 19^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$5^{4} \cdot 19^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$43153.6$$ Root analytic conductor: $$3.79644$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(8,\ 5^{4} \cdot 19^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$4.421061030$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$4.421061030$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad5$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
19 $$1$$
good2$C_2 \wr S_4$ $$1 - p T + p T^{2} - p^{2} T^{3} + 9 T^{4} - p^{3} T^{5} + p^{3} T^{6} - p^{4} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
3$C_2 \wr S_4$ $$1 + 2 T + 4 T^{2} + 2 T^{3} + 2 T^{4} + 2 p T^{5} + 4 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$S_4\times C_2$ $$1 - 4 T + 12 T^{2} - 36 T^{3} + 102 T^{4} - 36 p T^{5} + 12 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$\textrm{GL(2,3)}$ $$1 - 4 T + 28 T^{2} - 100 T^{3} + 422 T^{4} - 100 p T^{5} + 28 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr S_4$ $$1 + 2 T + 28 T^{2} + 46 T^{3} + 410 T^{4} + 46 p T^{5} + 28 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T + 36 T^{2} - 188 T^{3} + 694 T^{4} - 188 p T^{5} + 36 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr S_4$ $$1 + 8 T + 68 T^{2} + 376 T^{3} + 2358 T^{4} + 376 p T^{5} + 68 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$\textrm{GL(2,3)}$ $$1 + 4 T + 84 T^{2} + 332 T^{3} + 3238 T^{4} + 332 p T^{5} + 84 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr S_4$ $$1 + 4 T + 44 T^{2} - 140 T^{3} + 166 T^{4} - 140 p T^{5} + 44 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr S_4$ $$1 - 6 T + 124 T^{2} - 626 T^{3} + 6442 T^{4} - 626 p T^{5} + 124 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr S_4$ $$1 + 16 T + 220 T^{2} + 1936 T^{3} + 14438 T^{4} + 1936 p T^{5} + 220 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T + 156 T^{2} - 468 T^{3} + 9750 T^{4} - 468 p T^{5} + 156 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr S_4$ $$1 + 12 T + 124 T^{2} + 1036 T^{3} + 8294 T^{4} + 1036 p T^{5} + 124 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr S_4$ $$1 - 10 T + 4 p T^{2} - 1406 T^{3} + 16506 T^{4} - 1406 p T^{5} + 4 p^{3} T^{6} - 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr S_4$ $$1 + 172 T^{2} + 224 T^{3} + 13142 T^{4} + 224 p T^{5} + 172 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr S_4$ $$1 - 20 T + 300 T^{2} - 2972 T^{3} + 26502 T^{4} - 2972 p T^{5} + 300 p^{2} T^{6} - 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr S_4$ $$1 - 18 T + 276 T^{2} - 3130 T^{3} + 26930 T^{4} - 3130 p T^{5} + 276 p^{2} T^{6} - 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr S_4$ $$1 - 20 T + 316 T^{2} - 3236 T^{3} + 30566 T^{4} - 3236 p T^{5} + 316 p^{2} T^{6} - 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr S_4$ $$1 - 28 T + 548 T^{2} - 6916 T^{3} + 69526 T^{4} - 6916 p T^{5} + 548 p^{2} T^{6} - 28 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr S_4$ $$1 - 16 T + 348 T^{2} - 3312 T^{3} + 40646 T^{4} - 3312 p T^{5} + 348 p^{2} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr S_4$ $$1 + 260 T^{2} - 112 T^{3} + 29862 T^{4} - 112 p T^{5} + 260 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr S_4$ $$1 + 4 T + 212 T^{2} + 1244 T^{3} + 22134 T^{4} + 1244 p T^{5} + 212 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr S_4$ $$1 + 30 T + 612 T^{2} + 8738 T^{3} + 98522 T^{4} + 8738 p T^{5} + 612 p^{2} T^{6} + 30 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$