↑

Properties

Label 8-136e4-1.1-c5e4-0-2
Degree $8$
Conductor $342102016$
Sign $1$
Analytic cond. $226359.$
Root an. cond. $4.67035$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $4$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2·3-s + 80·5-s − 262·7-s − 452·9-s − 350·11-s − 516·13-s − 160·15-s + 1.15e3·17-s − 3.78e3·19-s + 524·21-s − 70·23-s − 5.54e3·25-s − 538·27-s − 2.88e3·29-s − 8.26e3·31-s + 700·33-s − 2.09e4·35-s − 1.27e4·37-s + 1.03e3·39-s − 1.43e4·41-s − 3.57e4·43-s − 3.61e4·45-s − 3.80e4·47-s + 492·49-s − 2.31e3·51-s + 2.55e4·53-s − 2.80e4·55-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.128·3-s + 1.43·5-s − 2.02·7-s − 1.86·9-s − 0.872·11-s − 0.846·13-s − 0.183·15-s + 0.970·17-s − 2.40·19-s + 0.259·21-s − 0.0275·23-s − 1.77·25-s − 0.142·27-s − 0.635·29-s − 1.54·31-s + 0.111·33-s − 2.89·35-s − 1.52·37-s + 0.108·39-s − 1.33·41-s − 2.95·43-s − 2.66·45-s − 2.51·47-s + 0.0292·49-s − 0.124·51-s + 1.24·53-s − 1.24·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 17^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 17^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(8\)
Conductor: \(2^{12} \cdot 17^{4}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(226359.\)
Root analytic conductor: \(4.67035\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(4\)
Selberg data: \((8,\ 2^{12} \cdot 17^{4} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
17$C_1$ \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \)
good3$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 2 T + 152 p T^{2} + 2354 T^{3} + 103486 T^{4} + 2354 p^{5} T^{5} + 152 p^{11} T^{6} + 2 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
5$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 16 p T + 11948 T^{2} - 129584 p T^{3} + 55117526 T^{4} - 129584 p^{6} T^{5} + 11948 p^{10} T^{6} - 16 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
7$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 262 T + 9736 p T^{2} + 9650558 T^{3} + 1540091918 T^{4} + 9650558 p^{5} T^{5} + 9736 p^{11} T^{6} + 262 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
11$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 350 T + 237608 T^{2} + 102867582 T^{3} + 67158688158 T^{4} + 102867582 p^{5} T^{5} + 237608 p^{10} T^{6} + 350 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
13$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 516 T + 851620 T^{2} + 484071436 T^{3} + 425665210950 T^{4} + 484071436 p^{5} T^{5} + 851620 p^{10} T^{6} + 516 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
19$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 3788 T + 10356844 T^{2} + 16564576236 T^{3} + 78561222150 p^{2} T^{4} + 16564576236 p^{5} T^{5} + 10356844 p^{10} T^{6} + 3788 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
23$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 70 T + 6135608 T^{2} + 1853489694 T^{3} + 41499077208654 T^{4} + 1853489694 p^{5} T^{5} + 6135608 p^{10} T^{6} + 70 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
29$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 2880 T + 65872556 T^{2} + 105784560448 T^{3} + 1789339663044534 T^{4} + 105784560448 p^{5} T^{5} + 65872556 p^{10} T^{6} + 2880 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
31$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 8266 T + 35633080 T^{2} - 163230310622 T^{3} - 1406437808572562 T^{4} - 163230310622 p^{5} T^{5} + 35633080 p^{10} T^{6} + 8266 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
37$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 344 p T + 259562620 T^{2} + 2460318445032 T^{3} + 26244833732445750 T^{4} + 2460318445032 p^{5} T^{5} + 259562620 p^{10} T^{6} + 344 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
41$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 14376 T + 11921404 p T^{2} + 4833465394008 T^{3} + 86545919977322598 T^{4} + 4833465394008 p^{5} T^{5} + 11921404 p^{11} T^{6} + 14376 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
43$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 35780 T + 827675116 T^{2} + 13670128535492 T^{3} + 183607881371671702 T^{4} + 13670128535492 p^{5} T^{5} + 827675116 p^{10} T^{6} + 35780 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
47$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 38072 T + 1244710268 T^{2} + 24184238112600 T^{3} + 439848707502360390 T^{4} + 24184238112600 p^{5} T^{5} + 1244710268 p^{10} T^{6} + 38072 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
53$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 25512 T + 631965644 T^{2} - 6162895866104 T^{3} + 199161193054189014 T^{4} - 6162895866104 p^{5} T^{5} + 631965644 p^{10} T^{6} - 25512 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
59$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 12292 T + 842552684 T^{2} + 14866929433028 T^{3} + 190151710602322262 T^{4} + 14866929433028 p^{5} T^{5} + 842552684 p^{10} T^{6} + 12292 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
61$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 6328 T + 931665148 T^{2} - 23703453445544 T^{3} + 1061946445212305174 T^{4} - 23703453445544 p^{5} T^{5} + 931665148 p^{10} T^{6} - 6328 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
67$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 74640 T + 4556453548 T^{2} + 210487822091792 T^{3} + 9073154198196135222 T^{4} + 210487822091792 p^{5} T^{5} + 4556453548 p^{10} T^{6} + 74640 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
71$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 29994 T + 3647377064 T^{2} + 143166713051122 T^{3} + 8383021978046106798 T^{4} + 143166713051122 p^{5} T^{5} + 3647377064 p^{10} T^{6} + 29994 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
73$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 66016 T + 3814317388 T^{2} - 28844647765216 T^{3} + 1115406351078706438 T^{4} - 28844647765216 p^{5} T^{5} + 3814317388 p^{10} T^{6} - 66016 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
79$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 76750 T + 8221137064 T^{2} + 665576349372790 T^{3} + 32683176488422108366 T^{4} + 665576349372790 p^{5} T^{5} + 8221137064 p^{10} T^{6} + 76750 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
83$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 24956 T + 11353709324 T^{2} + 209266608915484 T^{3} + 58194891877488303926 T^{4} + 209266608915484 p^{5} T^{5} + 11353709324 p^{10} T^{6} + 24956 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
89$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 216060 T + 33760922276 T^{2} - 3347773533469604 T^{3} + \)\(28\!\cdots\!14\)\( T^{4} - 3347773533469604 p^{5} T^{5} + 33760922276 p^{10} T^{6} - 216060 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
97$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 247752 T + 55025498140 T^{2} - 7035226228130168 T^{3} + \)\(80\!\cdots\!90\)\( T^{4} - 7035226228130168 p^{5} T^{5} + 55025498140 p^{10} T^{6} - 247752 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−9.600291551185693609367952651165, −8.904644481601352679725593108758, −8.693851007844409848134305497275, −8.610021874317082020357973302514, −8.453558110520990141579970808587, −7.69379462899913684726409012698, −7.63593018301809496117700737364, −7.50061019483006109069592111780, −6.79107446974440517769056541938, −6.49582450802457830148574389009, −6.26748458197595908748636226795, −6.25070920151949212875175303565, −5.88651031302876411807734168617, −5.43875283603776802396103224448, −5.35197164844690281019883593897, −4.88638320163340797065433993617, −4.77043238696823141213255277487, −3.76019694862678938623923704408, −3.62173020273348416210712359725, −3.30302244695356392483771131232, −3.12861638096662111012066088801, −2.47072628296700785216854446691, −2.06692844382099212690010527492, −1.92874255329029509293712468950, −1.53839489411962820837926001098, 0, 0, 0, 0, 1.53839489411962820837926001098, 1.92874255329029509293712468950, 2.06692844382099212690010527492, 2.47072628296700785216854446691, 3.12861638096662111012066088801, 3.30302244695356392483771131232, 3.62173020273348416210712359725, 3.76019694862678938623923704408, 4.77043238696823141213255277487, 4.88638320163340797065433993617, 5.35197164844690281019883593897, 5.43875283603776802396103224448, 5.88651031302876411807734168617, 6.25070920151949212875175303565, 6.26748458197595908748636226795, 6.49582450802457830148574389009, 6.79107446974440517769056541938, 7.50061019483006109069592111780, 7.63593018301809496117700737364, 7.69379462899913684726409012698, 8.453558110520990141579970808587, 8.610021874317082020357973302514, 8.693851007844409848134305497275, 8.904644481601352679725593108758, 9.600291551185693609367952651165

Graph of the $Z$-function along the critical line