| L(s) = 1 | − 12·2-s + 15·3-s + 96·4-s − 14·5-s − 180·6-s − 312·7-s − 640·8-s − 47·9-s + 168·10-s − 469·11-s + 1.44e3·12-s + 736·13-s + 3.74e3·14-s − 210·15-s + 3.84e3·16-s + 1.00e3·17-s + 564·18-s − 1.34e3·20-s − 4.68e3·21-s + 5.62e3·22-s + 2.16e3·23-s − 9.60e3·24-s − 2.99e3·25-s − 8.83e3·26-s − 270·27-s − 2.99e4·28-s − 1.48e3·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s + 0.962·3-s + 3·4-s − 0.250·5-s − 2.04·6-s − 2.40·7-s − 3.53·8-s − 0.193·9-s + 0.531·10-s − 1.16·11-s + 2.88·12-s + 1.20·13-s + 5.10·14-s − 0.240·15-s + 15/4·16-s + 0.839·17-s + 0.410·18-s − 0.751·20-s − 2.31·21-s + 2.47·22-s + 0.854·23-s − 3.40·24-s − 0.958·25-s − 2.56·26-s − 0.0712·27-s − 7.21·28-s − 0.328·29-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 19 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5 p T + 272 T^{2} - 1505 p T^{3} + 272 p^{5} T^{4} - 5 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 14 T + 3192 T^{2} - 75976 T^{3} + 3192 p^{5} T^{4} + 14 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 312 T + 74357 T^{2} + 10711824 T^{3} + 74357 p^{5} T^{4} + 312 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 469 T + 549865 T^{2} + 153971518 T^{3} + 549865 p^{5} T^{4} + 469 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 736 T + 1040836 T^{2} - 526684274 T^{3} + 1040836 p^{5} T^{4} - 736 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1000 T + 3408696 T^{2} - 2907099250 T^{3} + 3408696 p^{5} T^{4} - 1000 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2168 T + 585230 p T^{2} - 29898580382 T^{3} + 585230 p^{6} T^{4} - 2168 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1486 T + 55012704 T^{2} + 58811818744 T^{3} + 55012704 p^{5} T^{4} + 1486 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 198 T + 4743581 T^{2} + 270431123436 T^{3} + 4743581 p^{5} T^{4} - 198 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10030 T + 220041227 T^{2} - 1356924175348 T^{3} + 220041227 p^{5} T^{4} - 10030 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 19551 T + 302510810 T^{2} - 4123320716079 T^{3} + 302510810 p^{5} T^{4} - 19551 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5058 T + 417541514 T^{2} - 1503531614136 T^{3} + 417541514 p^{5} T^{4} - 5058 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 158 p T + 452310238 T^{2} + 3846431686144 T^{3} + 452310238 p^{5} T^{4} + 158 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3156 T + 31722716 T^{2} + 10898628073194 T^{3} + 31722716 p^{5} T^{4} - 3156 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 325 T + 2078497884 T^{2} - 665103069805 T^{3} + 2078497884 p^{5} T^{4} - 325 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 19674 T + 2326866624 T^{2} + 32912608709428 T^{3} + 2326866624 p^{5} T^{4} + 19674 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 61837 T + 3439649220 T^{2} + 161539142271029 T^{3} + 3439649220 p^{5} T^{4} + 61837 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 5760 T + 1195245218 T^{2} + 41805083149974 T^{3} + 1195245218 p^{5} T^{4} + 5760 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 18747 T + 4920511406 T^{2} + 54022836188703 T^{3} + 4920511406 p^{5} T^{4} + 18747 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 80158 T - 330987082 T^{2} - 287474408408696 T^{3} - 330987082 p^{5} T^{4} + 80158 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 167701 T + 13355547801 T^{2} + 802637191479838 T^{3} + 13355547801 p^{5} T^{4} + 167701 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 166228 T + 24766489752 T^{2} - 1969883577120694 T^{3} + 24766489752 p^{5} T^{4} - 166228 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 86615 T + 20546950130 T^{2} - 1545042942421799 T^{3} + 20546950130 p^{5} T^{4} - 86615 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.028188875302365241803275874076, −8.578791321295768556432705559319, −8.464866706933413906587940007056, −8.302329453795910912671061124324, −7.61315034939908815390742865598, −7.59132035417891165086693161234, −7.51223279051996571839092919916, −7.17071431312063845565562509544, −6.51684411298183618763699728704, −6.45370174956729276141984290385, −5.93173012428167743999137727910, −5.91172979482718588468873210662, −5.84504216893315510237810834692, −4.88168418458027543817170302090, −4.81611896110837538700164550469, −3.88986837979218303067894877071, −3.65714340663915065652081365793, −3.51383911014598339305554471961, −2.94103585118636247658006185851, −2.74017769791885801973916173717, −2.63761852043718339492919310356, −2.24932271583822662577842441769, −1.31707075506040631412095174456, −1.31379567027024246227076424350, −0.849360300220650935009311190415, 0, 0, 0,
0.849360300220650935009311190415, 1.31379567027024246227076424350, 1.31707075506040631412095174456, 2.24932271583822662577842441769, 2.63761852043718339492919310356, 2.74017769791885801973916173717, 2.94103585118636247658006185851, 3.51383911014598339305554471961, 3.65714340663915065652081365793, 3.88986837979218303067894877071, 4.81611896110837538700164550469, 4.88168418458027543817170302090, 5.84504216893315510237810834692, 5.91172979482718588468873210662, 5.93173012428167743999137727910, 6.45370174956729276141984290385, 6.51684411298183618763699728704, 7.17071431312063845565562509544, 7.51223279051996571839092919916, 7.59132035417891165086693161234, 7.61315034939908815390742865598, 8.302329453795910912671061124324, 8.464866706933413906587940007056, 8.578791321295768556432705559319, 9.028188875302365241803275874076
