| L(s) = 1 | + 12·2-s − 15·3-s + 96·4-s − 14·5-s − 180·6-s − 312·7-s + 640·8-s − 47·9-s − 168·10-s − 469·11-s − 1.44e3·12-s − 736·13-s − 3.74e3·14-s + 210·15-s + 3.84e3·16-s + 1.00e3·17-s − 564·18-s − 1.34e3·20-s + 4.68e3·21-s − 5.62e3·22-s + 2.16e3·23-s − 9.60e3·24-s − 2.99e3·25-s − 8.83e3·26-s + 270·27-s − 2.99e4·28-s + 1.48e3·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s − 0.962·3-s + 3·4-s − 0.250·5-s − 2.04·6-s − 2.40·7-s + 3.53·8-s − 0.193·9-s − 0.531·10-s − 1.16·11-s − 2.88·12-s − 1.20·13-s − 5.10·14-s + 0.240·15-s + 15/4·16-s + 0.839·17-s − 0.410·18-s − 0.751·20-s + 2.31·21-s − 2.47·22-s + 0.854·23-s − 3.40·24-s − 0.958·25-s − 2.56·26-s + 0.0712·27-s − 7.21·28-s + 0.328·29-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 19 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 5 p T + 272 T^{2} + 1505 p T^{3} + 272 p^{5} T^{4} + 5 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 14 T + 3192 T^{2} - 75976 T^{3} + 3192 p^{5} T^{4} + 14 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 312 T + 74357 T^{2} + 10711824 T^{3} + 74357 p^{5} T^{4} + 312 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 469 T + 549865 T^{2} + 153971518 T^{3} + 549865 p^{5} T^{4} + 469 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 736 T + 1040836 T^{2} + 526684274 T^{3} + 1040836 p^{5} T^{4} + 736 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1000 T + 3408696 T^{2} - 2907099250 T^{3} + 3408696 p^{5} T^{4} - 1000 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2168 T + 585230 p T^{2} - 29898580382 T^{3} + 585230 p^{6} T^{4} - 2168 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1486 T + 55012704 T^{2} - 58811818744 T^{3} + 55012704 p^{5} T^{4} - 1486 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 198 T + 4743581 T^{2} - 270431123436 T^{3} + 4743581 p^{5} T^{4} + 198 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10030 T + 220041227 T^{2} + 1356924175348 T^{3} + 220041227 p^{5} T^{4} + 10030 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 19551 T + 302510810 T^{2} + 4123320716079 T^{3} + 302510810 p^{5} T^{4} + 19551 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5058 T + 417541514 T^{2} - 1503531614136 T^{3} + 417541514 p^{5} T^{4} - 5058 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 158 p T + 452310238 T^{2} + 3846431686144 T^{3} + 452310238 p^{5} T^{4} + 158 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3156 T + 31722716 T^{2} - 10898628073194 T^{3} + 31722716 p^{5} T^{4} + 3156 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 325 T + 2078497884 T^{2} + 665103069805 T^{3} + 2078497884 p^{5} T^{4} + 325 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 19674 T + 2326866624 T^{2} + 32912608709428 T^{3} + 2326866624 p^{5} T^{4} + 19674 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 61837 T + 3439649220 T^{2} - 161539142271029 T^{3} + 3439649220 p^{5} T^{4} - 61837 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5760 T + 1195245218 T^{2} - 41805083149974 T^{3} + 1195245218 p^{5} T^{4} - 5760 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 18747 T + 4920511406 T^{2} + 54022836188703 T^{3} + 4920511406 p^{5} T^{4} + 18747 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 80158 T - 330987082 T^{2} + 287474408408696 T^{3} - 330987082 p^{5} T^{4} - 80158 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 167701 T + 13355547801 T^{2} + 802637191479838 T^{3} + 13355547801 p^{5} T^{4} + 167701 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 166228 T + 24766489752 T^{2} + 1969883577120694 T^{3} + 24766489752 p^{5} T^{4} + 166228 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 86615 T + 20546950130 T^{2} + 1545042942421799 T^{3} + 20546950130 p^{5} T^{4} + 86615 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.132473925240126706724507200493, −8.506226633002017103869771373075, −8.183980761931251174315860081842, −7.889774547806354475299577441152, −7.63532128753113183443714482433, −7.14872760248385204124805343476, −7.00917963221661699637789638605, −6.62520860196903034524876490361, −6.43560853255921654710282200147, −6.38062563303741718591640785211, −5.59938223714066463996888467205, −5.52154103804458900016797836767, −5.49345403830740510119513966365, −5.11713128050575624576728250036, −4.75486943878786227636085740609, −4.38194698712743230401734622686, −3.88697627403084360891388055667, −3.57559887991046195977492072349, −3.42247141138248246653883929460, −2.83346534347219228840080461800, −2.72897257909516658118080007797, −2.66140527832661670995944167913, −1.77054946330744875357101034911, −1.55288109106360802833352868708, −0.804888436192987181984362559422, 0, 0, 0,
0.804888436192987181984362559422, 1.55288109106360802833352868708, 1.77054946330744875357101034911, 2.66140527832661670995944167913, 2.72897257909516658118080007797, 2.83346534347219228840080461800, 3.42247141138248246653883929460, 3.57559887991046195977492072349, 3.88697627403084360891388055667, 4.38194698712743230401734622686, 4.75486943878786227636085740609, 5.11713128050575624576728250036, 5.49345403830740510119513966365, 5.52154103804458900016797836767, 5.59938223714066463996888467205, 6.38062563303741718591640785211, 6.43560853255921654710282200147, 6.62520860196903034524876490361, 7.00917963221661699637789638605, 7.14872760248385204124805343476, 7.63532128753113183443714482433, 7.889774547806354475299577441152, 8.183980761931251174315860081842, 8.506226633002017103869771373075, 9.132473925240126706724507200493
