| L(s) = 1 | − 12·2-s − 13·3-s + 96·4-s + 81·5-s + 156·6-s + 228·7-s − 640·8-s − 162·9-s − 972·10-s + 363·11-s − 1.24e3·12-s − 501·13-s − 2.73e3·14-s − 1.05e3·15-s + 3.84e3·16-s − 1.20e3·17-s + 1.94e3·18-s + 7.77e3·20-s − 2.96e3·21-s − 4.35e3·22-s − 1.07e3·23-s + 8.32e3·24-s − 3.34e3·25-s + 6.01e3·26-s + 5.58e3·27-s + 2.18e4·28-s + 8.34e3·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s − 0.833·3-s + 3·4-s + 1.44·5-s + 1.76·6-s + 1.75·7-s − 3.53·8-s − 2/3·9-s − 3.07·10-s + 0.904·11-s − 2.50·12-s − 0.822·13-s − 3.73·14-s − 1.20·15-s + 15/4·16-s − 1.01·17-s + 1.41·18-s + 4.34·20-s − 1.46·21-s − 1.91·22-s − 0.424·23-s + 2.94·24-s − 1.07·25-s + 1.74·26-s + 1.47·27-s + 5.27·28-s + 1.84·29-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 19^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(0.6529576560\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(0.6529576560\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 19 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 13 T + 331 T^{2} + 274 p T^{3} + 331 p^{5} T^{4} + 13 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 81 T + 9909 T^{2} - 459554 T^{3} + 9909 p^{5} T^{4} - 81 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 228 T + 35568 T^{2} - 3802776 T^{3} + 35568 p^{5} T^{4} - 228 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3 p^{2} T + 49359 T^{2} + 45957094 T^{3} + 49359 p^{5} T^{4} - 3 p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 501 T + 350229 T^{2} + 278952890 T^{3} + 350229 p^{5} T^{4} + 501 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1206 T + 2771250 T^{2} + 2460853566 T^{3} + 2771250 p^{5} T^{4} + 1206 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1077 T + 6641373 T^{2} - 4780608698 T^{3} + 6641373 p^{5} T^{4} + 1077 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8349 T + 74783679 T^{2} - 327686176502 T^{3} + 74783679 p^{5} T^{4} - 8349 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7332 T + 61101597 T^{2} - 255516763064 T^{3} + 61101597 p^{5} T^{4} - 7332 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1650 T + 165941883 T^{2} - 209325534188 T^{3} + 165941883 p^{5} T^{4} - 1650 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10140 T + 325081167 T^{2} + 2185083057016 T^{3} + 325081167 p^{5} T^{4} + 10140 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3777 T + 1842699 p T^{2} - 3338955229894 T^{3} + 1842699 p^{6} T^{4} - 3777 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 33231 T + 1053777477 T^{2} - 16574372980994 T^{3} + 1053777477 p^{5} T^{4} - 33231 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 31029 T + 1192371741 T^{2} + 20622372968282 T^{3} + 1192371741 p^{5} T^{4} + 31029 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 20409 T - 343016529 T^{2} - 27176512433970 T^{3} - 343016529 p^{5} T^{4} + 20409 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 17115 T + 2252343099 T^{2} - 25812537224162 T^{3} + 2252343099 p^{5} T^{4} - 17115 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 789 T + 601630785 T^{2} + 4061691437586 T^{3} + 601630785 p^{5} T^{4} - 789 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 19164 T + 3181554489 T^{2} + 35510810109608 T^{3} + 3181554489 p^{5} T^{4} + 19164 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 76260 T + 6085343520 T^{2} + 293061463314558 T^{3} + 6085343520 p^{5} T^{4} + 76260 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 68358 T + 9600289101 T^{2} + 418395905475764 T^{3} + 9600289101 p^{5} T^{4} + 68358 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6762 T + 3337936953 T^{2} + 130668532187172 T^{3} + 3337936953 p^{5} T^{4} - 6762 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 85506 T + 7798835091 T^{2} - 891678014164068 T^{3} + 7798835091 p^{5} T^{4} - 85506 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 105024 T + 16181794191 T^{2} + 1792277878659808 T^{3} + 16181794191 p^{5} T^{4} + 105024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−8.573513298989263077764774631154, −8.415376664832453426405504034957, −7.944738788758612009396807457361, −7.80205326800178573251236667480, −7.42856886054966632933563656502, −7.09220515482133311010786080010, −6.69959260068087847119064779121, −6.48369186079539947468834122925, −6.08432440123343440999619625851, −6.01551559019239860143281797247, −5.73681222880849432058923562874, −5.11238417956817891045561475532, −5.10348591000328624646777024085, −4.60119541502126220987426759141, −4.15119889897937402477548495296, −3.97579303038038187846334564096, −2.94339686617614986764597442518, −2.67198672321242311092059188316, −2.65383375809465328789361882587, −1.91413652371373677999168919084, −1.78845572480819133051804744971, −1.45531074537598861215744930795, −1.10182041280597797866308896987, −0.62536587076815614649005570875, −0.19481398955902393082076796679,
0.19481398955902393082076796679, 0.62536587076815614649005570875, 1.10182041280597797866308896987, 1.45531074537598861215744930795, 1.78845572480819133051804744971, 1.91413652371373677999168919084, 2.65383375809465328789361882587, 2.67198672321242311092059188316, 2.94339686617614986764597442518, 3.97579303038038187846334564096, 4.15119889897937402477548495296, 4.60119541502126220987426759141, 5.10348591000328624646777024085, 5.11238417956817891045561475532, 5.73681222880849432058923562874, 6.01551559019239860143281797247, 6.08432440123343440999619625851, 6.48369186079539947468834122925, 6.69959260068087847119064779121, 7.09220515482133311010786080010, 7.42856886054966632933563656502, 7.80205326800178573251236667480, 7.944738788758612009396807457361, 8.415376664832453426405504034957, 8.573513298989263077764774631154
