# Properties

 Label 6-7098e3-1.1-c1e3-0-4 Degree $6$ Conductor $357608625192$ Sign $1$ Analytic cond. $182070.$ Root an. cond. $7.52846$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 3·2-s + 3·3-s + 6·4-s + 8·5-s − 9·6-s − 3·7-s − 10·8-s + 6·9-s − 24·10-s + 5·11-s + 18·12-s + 9·14-s + 24·15-s + 15·16-s − 3·17-s − 18·18-s + 5·19-s + 48·20-s − 9·21-s − 15·22-s − 7·23-s − 30·24-s + 30·25-s + 10·27-s − 18·28-s − 4·29-s − 72·30-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.12·2-s + 1.73·3-s + 3·4-s + 3.57·5-s − 3.67·6-s − 1.13·7-s − 3.53·8-s + 2·9-s − 7.58·10-s + 1.50·11-s + 5.19·12-s + 2.40·14-s + 6.19·15-s + 15/4·16-s − 0.727·17-s − 4.24·18-s + 1.14·19-s + 10.7·20-s − 1.96·21-s − 3.19·22-s − 1.45·23-s − 6.12·24-s + 6·25-s + 1.92·27-s − 3.40·28-s − 0.742·29-s − 13.1·30-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$182070.$$ Root analytic conductor: $$7.52846$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{7098} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(6,\ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$12.45798882$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$12.45798882$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ $$( 1 + T )^{3}$$
3$C_1$ $$( 1 - T )^{3}$$
7$C_1$ $$( 1 + T )^{3}$$
13 $$1$$
good5$A_4\times C_2$ $$1 - 8 T + 34 T^{2} - 93 T^{3} + 34 p T^{4} - 8 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
11$A_4\times C_2$ $$1 - 5 T + 39 T^{2} - 111 T^{3} + 39 p T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
17$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 33 T^{2} + 89 T^{3} + 33 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
19$A_4\times C_2$ $$1 - 5 T + 49 T^{2} - 149 T^{3} + 49 p T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
23$A_4\times C_2$ $$1 + 7 T + 55 T^{2} + 315 T^{3} + 55 p T^{4} + 7 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
29$A_4\times C_2$ $$1 + 4 T + 62 T^{2} + 161 T^{3} + 62 p T^{4} + 4 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
31$A_4\times C_2$ $$1 + 4 T + 26 T^{2} + 219 T^{3} + 26 p T^{4} + 4 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
37$A_4\times C_2$ $$1 + 2 T + 82 T^{2} + 77 T^{3} + 82 p T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
41$A_4\times C_2$ $$1 - 18 T + 168 T^{2} - 1125 T^{3} + 168 p T^{4} - 18 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
43$A_4\times C_2$ $$1 - 5 T + 121 T^{2} - 389 T^{3} + 121 p T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
47$A_4\times C_2$ $$1 - 23 T + 308 T^{2} - 2539 T^{3} + 308 p T^{4} - 23 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
53$A_4\times C_2$ $$1 + 12 T + 116 T^{2} + 1175 T^{3} + 116 p T^{4} + 12 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
59$A_4\times C_2$ $$1 - 16 T + 162 T^{2} - 1425 T^{3} + 162 p T^{4} - 16 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
61$A_4\times C_2$ $$1 - 17 T + 214 T^{2} - 2033 T^{3} + 214 p T^{4} - 17 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
67$A_4\times C_2$ $$1 - 10 T + 162 T^{2} - 991 T^{3} + 162 p T^{4} - 10 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
71$A_4\times C_2$ $$1 + 14 T + 241 T^{2} + 1932 T^{3} + 241 p T^{4} + 14 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
73$A_4\times C_2$ $$1 - 23 T + 379 T^{2} - 3707 T^{3} + 379 p T^{4} - 23 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
79$A_4\times C_2$ $$1 - 4 T + 170 T^{2} - 603 T^{3} + 170 p T^{4} - 4 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
83$A_4\times C_2$ $$1 - 37 T + 689 T^{2} - 7835 T^{3} + 689 p T^{4} - 37 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
89$A_4\times C_2$ $$1 + 10 T + 186 T^{2} + 1893 T^{3} + 186 p T^{4} + 10 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
97$A_4\times C_2$ $$1 - 20 T + 338 T^{2} - 3909 T^{3} + 338 p T^{4} - 20 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$