# Properties

 Label 6-6422e3-1.1-c1e3-0-11 Degree $6$ Conductor $264856663448$ Sign $-1$ Analytic cond. $134847.$ Root an. cond. $7.16100$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 3·2-s − 2·3-s + 6·4-s + 2·5-s − 6·6-s − 7-s + 10·8-s − 2·9-s + 6·10-s − 8·11-s − 12·12-s − 3·14-s − 4·15-s + 15·16-s − 2·17-s − 6·18-s + 3·19-s + 12·20-s + 2·21-s − 24·22-s + 2·23-s − 20·24-s − 8·25-s + 9·27-s − 6·28-s − 14·29-s − 12·30-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 2.12·2-s − 1.15·3-s + 3·4-s + 0.894·5-s − 2.44·6-s − 0.377·7-s + 3.53·8-s − 2/3·9-s + 1.89·10-s − 2.41·11-s − 3.46·12-s − 0.801·14-s − 1.03·15-s + 15/4·16-s − 0.485·17-s − 1.41·18-s + 0.688·19-s + 2.68·20-s + 0.436·21-s − 5.11·22-s + 0.417·23-s − 4.08·24-s − 8/5·25-s + 1.73·27-s − 1.13·28-s − 2.59·29-s − 2.19·30-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 13^{6} \cdot 19^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 13^{6} \cdot 19^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$2^{3} \cdot 13^{6} \cdot 19^{3}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$134847.$$ Root analytic conductor: $$7.16100$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{6422} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 2^{3} \cdot 13^{6} \cdot 19^{3} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2 ),\ -1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ $$( 1 - T )^{3}$$
13 $$1$$
19$C_1$ $$( 1 - T )^{3}$$
good3$A_4\times C_2$ $$1 + 2 T + 2 p T^{2} + 7 T^{3} + 2 p^{2} T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
5$A_4\times C_2$ $$1 - 2 T + 12 T^{2} - 3 p T^{3} + 12 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
7$A_4\times C_2$ $$1 + T + 17 T^{2} + 15 T^{3} + 17 p T^{4} + p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
11$A_4\times C_2$ $$1 + 8 T + 50 T^{2} + 181 T^{3} + 50 p T^{4} + 8 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
17$A_4\times C_2$ $$1 + 2 T + 35 T^{2} + 76 T^{3} + 35 p T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
23$A_4\times C_2$ $$1 - 2 T + 40 T^{2} - 87 T^{3} + 40 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
29$A_4\times C_2$ $$1 + 14 T + 122 T^{2} + 709 T^{3} + 122 p T^{4} + 14 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
31$A_4\times C_2$ $$1 + 5 T + 45 T^{2} + 383 T^{3} + 45 p T^{4} + 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
37$A_4\times C_2$ $$1 + 59 T^{2} + 104 T^{3} + 59 p T^{4} + p^{3} T^{6}$$
41$A_4\times C_2$ $$1 - 15 T + 185 T^{2} - 1303 T^{3} + 185 p T^{4} - 15 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
43$A_4\times C_2$ $$1 + 5 T + 120 T^{2} + 425 T^{3} + 120 p T^{4} + 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
47$A_4\times C_2$ $$1 + 11 T + 125 T^{2} + 1039 T^{3} + 125 p T^{4} + 11 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
53$A_4\times C_2$ $$1 - 5 T + 111 T^{2} - 603 T^{3} + 111 p T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
59$A_4\times C_2$ $$1 + 4 T + 48 T^{2} + 471 T^{3} + 48 p T^{4} + 4 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
61$A_4\times C_2$ $$1 - 2 T + 154 T^{2} - 161 T^{3} + 154 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
67$A_4\times C_2$ $$1 - 6 T + 161 T^{2} - 812 T^{3} + 161 p T^{4} - 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
71$C_2$ $$( 1 + 3 T + p T^{2} )^{3}$$
73$A_4\times C_2$ $$1 - 15 T + 86 T^{2} - 443 T^{3} + 86 p T^{4} - 15 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
79$A_4\times C_2$ $$1 + 2 T + 130 T^{2} + 545 T^{3} + 130 p T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
83$A_4\times C_2$ $$1 - 5 T - 7 T^{2} + 995 T^{3} - 7 p T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
89$A_4\times C_2$ $$1 + 27 T + 471 T^{2} + 5119 T^{3} + 471 p T^{4} + 27 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
97$A_4\times C_2$ $$1 + 20 T + 407 T^{2} + 4080 T^{3} + 407 p T^{4} + 20 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$