| L(s) = 1 | − 12·2-s − 27·3-s + 96·4-s + 61·5-s + 324·6-s + 147·7-s − 640·8-s + 486·9-s − 732·10-s − 140·11-s − 2.59e3·12-s + 507·13-s − 1.76e3·14-s − 1.64e3·15-s + 3.84e3·16-s + 200·17-s − 5.83e3·18-s − 1.18e3·19-s + 5.85e3·20-s − 3.96e3·21-s + 1.68e3·22-s − 1.16e3·23-s + 1.72e4·24-s − 4.40e3·25-s − 6.08e3·26-s − 7.29e3·27-s + 1.41e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s − 1.73·3-s + 3·4-s + 1.09·5-s + 3.67·6-s + 1.13·7-s − 3.53·8-s + 2·9-s − 2.31·10-s − 0.348·11-s − 5.19·12-s + 0.832·13-s − 2.40·14-s − 1.89·15-s + 15/4·16-s + 0.167·17-s − 4.24·18-s − 0.750·19-s + 3.27·20-s − 1.96·21-s + 0.740·22-s − 0.457·23-s + 6.12·24-s − 1.41·25-s − 1.76·26-s − 1.92·27-s + 3.40·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 7 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 13 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 61 T + 8129 T^{2} - 335494 T^{3} + 8129 p^{5} T^{4} - 61 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 140 T + 248321 T^{2} + 69105776 T^{3} + 248321 p^{5} T^{4} + 140 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 200 T + 2392403 T^{2} - 734842448 T^{3} + 2392403 p^{5} T^{4} - 200 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1181 T + 6847821 T^{2} + 5831258142 T^{3} + 6847821 p^{5} T^{4} + 1181 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1161 T + 15748633 T^{2} + 14061549690 T^{3} + 15748633 p^{5} T^{4} + 1161 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1003 T - 3308533 T^{2} - 40554034354 T^{3} - 3308533 p^{5} T^{4} - 1003 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 17065 T + 162382125 T^{2} + 1042513085678 T^{3} + 162382125 p^{5} T^{4} + 17065 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3028 T + 117109387 T^{2} + 556240455672 T^{3} + 117109387 p^{5} T^{4} + 3028 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 11796 T + 170268643 T^{2} - 15453042432 p T^{3} + 170268643 p^{5} T^{4} - 11796 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 25277 T + 322124009 T^{2} + 3050476533806 T^{3} + 322124009 p^{5} T^{4} + 25277 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10913 T + 619472227 T^{2} + 4230029810330 T^{3} + 619472227 p^{5} T^{4} + 10913 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 41371 T + 1320413743 T^{2} - 33844596861610 T^{3} + 1320413743 p^{5} T^{4} - 41371 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 13802 T + 1672534733 T^{2} + 13150926699548 T^{3} + 1672534733 p^{5} T^{4} + 13802 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7898 T + 1600260643 T^{2} - 13159113430332 T^{3} + 1600260643 p^{5} T^{4} - 7898 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 16758 T + 3663906001 T^{2} - 41458933221988 T^{3} + 3663906001 p^{5} T^{4} - 16758 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10 p^{2} T + 1068964681 T^{2} + 20803218618836 T^{3} + 1068964681 p^{5} T^{4} - 10 p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12725 T + 3784501687 T^{2} - 71729330748726 T^{3} + 3784501687 p^{5} T^{4} - 12725 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 110051 T + 11910227689 T^{2} - 676026780670986 T^{3} + 11910227689 p^{5} T^{4} - 110051 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 88439 T + 11895206423 T^{2} - 631758395634734 T^{3} + 11895206423 p^{5} T^{4} - 88439 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 35407 T + 14369015033 T^{2} - 405958978927858 T^{3} + 14369015033 p^{5} T^{4} - 35407 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 45755 T + 10146140019 T^{2} + 1329785852242146 T^{3} + 10146140019 p^{5} T^{4} + 45755 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.475891816867458510129153052050, −8.886659757071790054547019790369, −8.876307025719887479284559508857, −8.483474876311084353855869438242, −7.86697664899508360190850262230, −7.83905298836481598263787522706, −7.76680347301623440104653189020, −7.12891306706359283244940501395, −6.88042993972096479994615058563, −6.62575708432648757147832107071, −6.12299083141712606827043962378, −6.01437769309356939218225437079, −5.83092411111841631584746606814, −5.13923746970906836325440672414, −5.09816877620543241300236032076, −5.05960634129435828012706742688, −3.80486053402122114094169687936, −3.79272489847056922296878261481, −3.74528422466468665875015202362, −2.45172301366358755254259579044, −2.25916299709560444382822183318, −2.07288358343313831329553483642, −1.47095492518943187051238154114, −1.26185727208084705328945368564, −1.05891586385444239854802676941, 0, 0, 0,
1.05891586385444239854802676941, 1.26185727208084705328945368564, 1.47095492518943187051238154114, 2.07288358343313831329553483642, 2.25916299709560444382822183318, 2.45172301366358755254259579044, 3.74528422466468665875015202362, 3.79272489847056922296878261481, 3.80486053402122114094169687936, 5.05960634129435828012706742688, 5.09816877620543241300236032076, 5.13923746970906836325440672414, 5.83092411111841631584746606814, 6.01437769309356939218225437079, 6.12299083141712606827043962378, 6.62575708432648757147832107071, 6.88042993972096479994615058563, 7.12891306706359283244940501395, 7.76680347301623440104653189020, 7.83905298836481598263787522706, 7.86697664899508360190850262230, 8.483474876311084353855869438242, 8.876307025719887479284559508857, 8.886659757071790054547019790369, 9.475891816867458510129153052050
