| L(s) = 1 | − 12·2-s − 27·3-s + 96·4-s − 7·5-s + 324·6-s − 147·7-s − 640·8-s + 486·9-s + 84·10-s + 222·11-s − 2.59e3·12-s − 507·13-s + 1.76e3·14-s + 189·15-s + 3.84e3·16-s − 1.01e3·17-s − 5.83e3·18-s + 1.53e3·19-s − 672·20-s + 3.96e3·21-s − 2.66e3·22-s + 2.02e3·23-s + 1.72e4·24-s − 4.43e3·25-s + 6.08e3·26-s − 7.29e3·27-s − 1.41e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s − 1.73·3-s + 3·4-s − 0.125·5-s + 3.67·6-s − 1.13·7-s − 3.53·8-s + 2·9-s + 0.265·10-s + 0.553·11-s − 5.19·12-s − 0.832·13-s + 2.40·14-s + 0.216·15-s + 15/4·16-s − 0.854·17-s − 4.24·18-s + 0.976·19-s − 0.375·20-s + 1.96·21-s − 1.17·22-s + 0.798·23-s + 6.12·24-s − 1.41·25-s + 1.76·26-s − 1.92·27-s − 3.40·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 7 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 13 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 7 T + 4483 T^{2} + 20134 T^{3} + 4483 p^{5} T^{4} + 7 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 222 T + 446637 T^{2} - 64337564 T^{3} + 446637 p^{5} T^{4} - 222 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1018 T + 4023291 T^{2} + 2903203828 T^{3} + 4023291 p^{5} T^{4} + 1018 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1537 T + 4998525 T^{2} - 4150001798 T^{3} + 4998525 p^{5} T^{4} - 1537 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2025 T + 5611479 T^{2} - 10226812150 T^{3} + 5611479 p^{5} T^{4} - 2025 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 265 T + 11534563 T^{2} - 33411354842 T^{3} + 11534563 p^{5} T^{4} + 265 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 7231 T + 62512417 T^{2} + 428650556546 T^{3} + 62512417 p^{5} T^{4} + 7231 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 15052 T + 254795547 T^{2} - 2128236899528 T^{3} + 254795547 p^{5} T^{4} - 15052 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 15598 T + 389423643 T^{2} + 3589092564892 T^{3} + 389423643 p^{5} T^{4} + 15598 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6859 T + 440471153 T^{2} - 2010965868322 T^{3} + 440471153 p^{5} T^{4} - 6859 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 29389 T + 970721467 T^{2} - 14365496275606 T^{3} + 970721467 p^{5} T^{4} - 29389 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 34619 T + 1500724131 T^{2} - 27996351230642 T^{3} + 1500724131 p^{5} T^{4} - 34619 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 14806 T + 1073814617 T^{2} - 25653385627236 T^{3} + 1073814617 p^{5} T^{4} - 14806 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2094 T + 298896675 T^{2} + 28580707612532 T^{3} + 298896675 p^{5} T^{4} + 2094 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 29902 T + 2740094161 T^{2} + 82705480394900 T^{3} + 2740094161 p^{5} T^{4} + 29902 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 66460 T + 6421760953 T^{2} - 242327108426920 T^{3} + 6421760953 p^{5} T^{4} - 66460 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 79491 T + 5034404931 T^{2} - 211344111630674 T^{3} + 5034404931 p^{5} T^{4} - 79491 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1773 T + 1415507673 T^{2} + 32658272900902 T^{3} + 1415507673 p^{5} T^{4} + 1773 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 49961 T + 7456840851 T^{2} - 454252799472230 T^{3} + 7456840851 p^{5} T^{4} - 49961 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 42927 T + 14814080127 T^{2} - 470585690153070 T^{3} + 14814080127 p^{5} T^{4} - 42927 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 85265 T + 16749877435 T^{2} + 788027168443414 T^{3} + 16749877435 p^{5} T^{4} + 85265 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.534859126137764659635516039508, −8.997857688705154349387166281291, −8.846144834005096076665155549526, −8.650856368469159342772878514189, −7.84365640252114661345569424796, −7.70939860628378202039333249102, −7.60572965343263137173115270257, −7.09168030570887890923191159231, −6.84075713038045403117244074558, −6.80599743279133436118936767343, −6.28668504717498253182258449059, −5.93015314534676723858045893011, −5.91520495382118223276867343607, −5.28381487512734225328354919586, −5.11749498356422909891149844608, −4.70821276635785331079083026065, −3.89455598560874275216992480760, −3.68939867635909601860802673732, −3.67695595115738207061096408690, −2.52842969661255115854561299263, −2.46628017293077510518385145470, −2.25380468798227262138190337663, −1.32480067550784376623494466857, −1.07614256924046037708238528380, −0.922817391321547336303079844524, 0, 0, 0,
0.922817391321547336303079844524, 1.07614256924046037708238528380, 1.32480067550784376623494466857, 2.25380468798227262138190337663, 2.46628017293077510518385145470, 2.52842969661255115854561299263, 3.67695595115738207061096408690, 3.68939867635909601860802673732, 3.89455598560874275216992480760, 4.70821276635785331079083026065, 5.11749498356422909891149844608, 5.28381487512734225328354919586, 5.91520495382118223276867343607, 5.93015314534676723858045893011, 6.28668504717498253182258449059, 6.80599743279133436118936767343, 6.84075713038045403117244074558, 7.09168030570887890923191159231, 7.60572965343263137173115270257, 7.70939860628378202039333249102, 7.84365640252114661345569424796, 8.650856368469159342772878514189, 8.846144834005096076665155549526, 8.997857688705154349387166281291, 9.534859126137764659635516039508
