| L(s) = 1 | − 12·2-s + 27·3-s + 96·4-s − 117·5-s − 324·6-s − 147·7-s − 640·8-s + 486·9-s + 1.40e3·10-s − 632·11-s + 2.59e3·12-s − 507·13-s + 1.76e3·14-s − 3.15e3·15-s + 3.84e3·16-s + 722·17-s − 5.83e3·18-s − 1.90e3·19-s − 1.12e4·20-s − 3.96e3·21-s + 7.58e3·22-s − 871·23-s − 1.72e4·24-s + 2.02e3·25-s + 6.08e3·26-s + 7.29e3·27-s − 1.41e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s + 1.73·3-s + 3·4-s − 2.09·5-s − 3.67·6-s − 1.13·7-s − 3.53·8-s + 2·9-s + 4.43·10-s − 1.57·11-s + 5.19·12-s − 0.832·13-s + 2.40·14-s − 3.62·15-s + 15/4·16-s + 0.605·17-s − 4.24·18-s − 1.21·19-s − 6.27·20-s − 1.96·21-s + 3.34·22-s − 0.343·23-s − 6.12·24-s + 0.648·25-s + 1.76·26-s + 1.92·27-s − 3.40·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(0.8827197368\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(0.8827197368\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 7 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 13 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 117 T + 11661 T^{2} + 146554 p T^{3} + 11661 p^{5} T^{4} + 117 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 632 T + 524509 T^{2} + 193666256 T^{3} + 524509 p^{5} T^{4} + 632 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 722 T + 1502427 T^{2} + 17003932 T^{3} + 1502427 p^{5} T^{4} - 722 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1907 T + 3625233 T^{2} + 8353945138 T^{3} + 3625233 p^{5} T^{4} + 1907 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 871 T + 9573799 T^{2} + 12944666914 T^{3} + 9573799 p^{5} T^{4} + 871 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2323 T + 2841863 T^{2} + 105343796886 T^{3} + 2841863 p^{5} T^{4} - 2323 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 9255 T + 89759553 T^{2} + 452824333010 T^{3} + 89759553 p^{5} T^{4} + 9255 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 20168 T + 289534467 T^{2} + 2677828665280 T^{3} + 289534467 p^{5} T^{4} + 20168 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1160 T + 2436495 p T^{2} - 601097968 p^{2} T^{3} + 2436495 p^{6} T^{4} + 1160 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4205 T + 342574601 T^{2} + 1184897868302 T^{3} + 342574601 p^{5} T^{4} + 4205 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 16491 T + 769034673 T^{2} - 7688752370222 T^{3} + 769034673 p^{5} T^{4} - 16491 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 62739 T + 2021417811 T^{2} - 45387199621026 T^{3} + 2021417811 p^{5} T^{4} - 62739 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 37736 T + 1894106317 T^{2} - 46030330066928 T^{3} + 1894106317 p^{5} T^{4} - 37736 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 29274 T + 1626602403 T^{2} - 38863887666748 T^{3} + 1626602403 p^{5} T^{4} - 29274 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 52246 T + 4172728025 T^{2} - 140070625335844 T^{3} + 4172728025 p^{5} T^{4} - 52246 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5406 T + 2210113965 T^{2} - 29696106013220 T^{3} + 2210113965 p^{5} T^{4} - 5406 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 21689 T + 5272085359 T^{2} + 75129727279054 T^{3} + 5272085359 p^{5} T^{4} + 21689 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3377 T + 4694095117 T^{2} + 28353926419390 T^{3} + 4694095117 p^{5} T^{4} + 3377 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 64975 T + 5224114521 T^{2} - 232029153477382 T^{3} + 5224114521 p^{5} T^{4} - 64975 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 28631 T + 6393846357 T^{2} + 473403603817046 T^{3} + 6393846357 p^{5} T^{4} + 28631 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 177961 T + 31763743691 T^{2} + 3113210419374022 T^{3} + 31763743691 p^{5} T^{4} + 177961 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−8.849043670808067754187233323364, −8.359228416187299483522467556884, −8.297071462681003636500199474183, −8.179081235473908876315449744705, −7.60305227721567277405705636340, −7.49345426279299389048490208515, −7.44144010029590827037447855546, −6.89364654559888695669693514136, −6.76221149054170914984337564676, −6.56900556897769924366788331469, −5.57013461122047975131995919333, −5.41706449605704875497704990300, −5.36862382518592944455246238080, −4.19938862479628619959384540754, −4.09892057702306202863249116126, −3.94817401379445850515429870706, −3.32041573561132716761096907991, −3.05972802341072577001257036765, −2.93959612322580861447235946276, −2.12717590374634144445923045149, −1.98145643090763062755847695737, −1.96359917108642123306863593604, −0.70809202344405922392379476572, −0.50005295277016989732518118615, −0.36626278998711995900889735900,
0.36626278998711995900889735900, 0.50005295277016989732518118615, 0.70809202344405922392379476572, 1.96359917108642123306863593604, 1.98145643090763062755847695737, 2.12717590374634144445923045149, 2.93959612322580861447235946276, 3.05972802341072577001257036765, 3.32041573561132716761096907991, 3.94817401379445850515429870706, 4.09892057702306202863249116126, 4.19938862479628619959384540754, 5.36862382518592944455246238080, 5.41706449605704875497704990300, 5.57013461122047975131995919333, 6.56900556897769924366788331469, 6.76221149054170914984337564676, 6.89364654559888695669693514136, 7.44144010029590827037447855546, 7.49345426279299389048490208515, 7.60305227721567277405705636340, 8.179081235473908876315449744705, 8.297071462681003636500199474183, 8.359228416187299483522467556884, 8.849043670808067754187233323364
