| L(s) = 1 | − 6·2-s + 26·3-s + 26·4-s − 75·5-s − 156·6-s + 147·7-s − 60·8-s + 218·9-s + 450·10-s − 194·11-s + 676·12-s + 1.89e3·13-s − 882·14-s − 1.95e3·15-s − 436·16-s − 184·17-s − 1.30e3·18-s + 1.21e3·19-s − 1.95e3·20-s + 3.82e3·21-s + 1.16e3·22-s + 3.18e3·23-s − 1.56e3·24-s + 3.75e3·25-s − 1.13e4·26-s + 340·27-s + 3.82e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.06·2-s + 1.66·3-s + 0.812·4-s − 1.34·5-s − 1.76·6-s + 1.13·7-s − 0.331·8-s + 0.897·9-s + 1.42·10-s − 0.483·11-s + 1.35·12-s + 3.10·13-s − 1.20·14-s − 2.23·15-s − 0.425·16-s − 0.154·17-s − 0.951·18-s + 0.770·19-s − 1.09·20-s + 1.89·21-s + 0.512·22-s + 1.25·23-s − 0.552·24-s + 6/5·25-s − 3.29·26-s + 0.0897·27-s + 0.921·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 42875 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 42875 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(2.844344801\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(2.844344801\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 7 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 2 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3 p T + 5 p T^{2} - 9 p^{2} T^{3} + 5 p^{6} T^{4} + 3 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 26 T + 458 T^{2} - 6580 T^{3} + 458 p^{5} T^{4} - 26 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 194 T + 467570 T^{2} + 59343320 T^{3} + 467570 p^{5} T^{4} + 194 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1892 T + 2201380 T^{2} - 1576044642 T^{3} + 2201380 p^{5} T^{4} - 1892 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 184 T + 3362968 T^{2} + 655224238 T^{3} + 3362968 p^{5} T^{4} + 184 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1212 T + 5059117 T^{2} - 6142323016 T^{3} + 5059117 p^{5} T^{4} - 1212 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3188 T + 17832457 T^{2} - 40912698584 T^{3} + 17832457 p^{5} T^{4} - 3188 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 11332 T + 103735252 T^{2} + 516534281986 T^{3} + 103735252 p^{5} T^{4} + 11332 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 9200 T + 105170221 T^{2} - 517958085024 T^{3} + 105170221 p^{5} T^{4} - 9200 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6042 T + 17475547 T^{2} + 205942270820 T^{3} + 17475547 p^{5} T^{4} - 6042 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10442 T - 57000581 T^{2} + 56808109004 p T^{3} - 57000581 p^{5} T^{4} - 10442 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 28112 T + 341799685 T^{2} - 3501414997872 T^{3} + 341799685 p^{5} T^{4} - 28112 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2330 T + 350119694 T^{2} - 2141058166004 T^{3} + 350119694 p^{5} T^{4} - 2330 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7190 T + 886217231 T^{2} - 5498148535868 T^{3} + 886217231 p^{5} T^{4} - 7190 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 23760 T + 1782045217 T^{2} - 26972581939680 T^{3} + 1782045217 p^{5} T^{4} - 23760 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8722 T + 2048748359 T^{2} - 16323927488596 T^{3} + 2048748359 p^{5} T^{4} - 8722 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 97572 T + 6989995401 T^{2} + 290063947898392 T^{3} + 6989995401 p^{5} T^{4} + 97572 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 52816 T + 4015281077 T^{2} + 113061643027552 T^{3} + 4015281077 p^{5} T^{4} + 52816 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 34870 T + 2359773831 T^{2} - 133025577319188 T^{3} + 2359773831 p^{5} T^{4} - 34870 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 71546 T + 8951915502 T^{2} + 399703392100308 T^{3} + 8951915502 p^{5} T^{4} + 71546 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 20920 T + 9119981081 T^{2} + 164280086250832 T^{3} + 9119981081 p^{5} T^{4} + 20920 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 192622 T + 24833946187 T^{2} + 2119564435111516 T^{3} + 24833946187 p^{5} T^{4} + 192622 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 116320 T + 18288918864 T^{2} - 1880364769603314 T^{3} + 18288918864 p^{5} T^{4} - 116320 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−14.10123988759601133171469416168, −13.50478003827753772307817116974, −13.21079023549181287334414907098, −12.94124877014136021941133912820, −12.14326984075404618029475103325, −11.43076421324612234543409220125, −11.28966154749385903590000620552, −11.05028075719653888740093359956, −10.70076278139340885042628623751, −9.999171450478228112567988881366, −9.065478249107606372137347148100, −8.910048728507906840925167122442, −8.797476269090148059454076248012, −8.196252933971707704212009836238, −7.88318914689567097397983394317, −7.43451404251766750846190762537, −7.14063555233709744784124230755, −6.05743112285759524621893863763, −5.58565587756984507262052215154, −4.34848426983384825448730978396, −4.02159212380100377408792884699, −3.22037114632486168490624076771, −2.66426719738050585453327304590, −1.50248395223322097181713024545, −0.852884046253631437727049846964,
0.852884046253631437727049846964, 1.50248395223322097181713024545, 2.66426719738050585453327304590, 3.22037114632486168490624076771, 4.02159212380100377408792884699, 4.34848426983384825448730978396, 5.58565587756984507262052215154, 6.05743112285759524621893863763, 7.14063555233709744784124230755, 7.43451404251766750846190762537, 7.88318914689567097397983394317, 8.196252933971707704212009836238, 8.797476269090148059454076248012, 8.910048728507906840925167122442, 9.065478249107606372137347148100, 9.999171450478228112567988881366, 10.70076278139340885042628623751, 11.05028075719653888740093359956, 11.28966154749385903590000620552, 11.43076421324612234543409220125, 12.14326984075404618029475103325, 12.94124877014136021941133912820, 13.21079023549181287334414907098, 13.50478003827753772307817116974, 14.10123988759601133171469416168
