# Properties

 Label 6-3549e3-1.1-c1e3-0-5 Degree $6$ Conductor $44701078149$ Sign $-1$ Analytic cond. $22758.7$ Root an. cond. $5.32343$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·2-s − 3·3-s + 4-s + 6·6-s − 3·7-s + 8-s + 6·9-s − 8·11-s − 3·12-s + 6·14-s − 5·16-s + 4·17-s − 12·18-s − 7·19-s + 9·21-s + 16·22-s + 9·23-s − 3·24-s − 2·25-s − 10·27-s − 3·28-s − 7·29-s − 7·31-s + 8·32-s + 24·33-s − 8·34-s + 6·36-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.41·2-s − 1.73·3-s + 1/2·4-s + 2.44·6-s − 1.13·7-s + 0.353·8-s + 2·9-s − 2.41·11-s − 0.866·12-s + 1.60·14-s − 5/4·16-s + 0.970·17-s − 2.82·18-s − 1.60·19-s + 1.96·21-s + 3.41·22-s + 1.87·23-s − 0.612·24-s − 2/5·25-s − 1.92·27-s − 0.566·28-s − 1.29·29-s − 1.25·31-s + 1.41·32-s + 4.17·33-s − 1.37·34-s + 36-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$22758.7$$ Root analytic conductor: $$5.32343$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{3549} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 3^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{6} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2 ),\ -1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3$C_1$ $$( 1 + T )^{3}$$
7$C_1$ $$( 1 + T )^{3}$$
13 $$1$$
good2$A_4\times C_2$ $$1 + p T + 3 T^{2} + 3 T^{3} + 3 p T^{4} + p^{3} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
5$A_4\times C_2$ $$1 + 2 T^{2} + 13 T^{3} + 2 p T^{4} + p^{3} T^{6}$$
11$A_4\times C_2$ $$1 + 8 T + 50 T^{2} + 181 T^{3} + 50 p T^{4} + 8 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
17$A_4\times C_2$ $$1 - 4 T + 52 T^{2} - 135 T^{3} + 52 p T^{4} - 4 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
19$A_4\times C_2$ $$1 + 7 T + 56 T^{2} + 219 T^{3} + 56 p T^{4} + 7 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
23$A_4\times C_2$ $$1 - 9 T + 83 T^{2} - 415 T^{3} + 83 p T^{4} - 9 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
29$A_4\times C_2$ $$1 + 7 T + 73 T^{2} + 411 T^{3} + 73 p T^{4} + 7 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
31$A_4\times C_2$ $$1 + 7 T + 53 T^{2} + 153 T^{3} + 53 p T^{4} + 7 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
37$A_4\times C_2$ $$1 + 98 T^{2} - 13 T^{3} + 98 p T^{4} + p^{3} T^{6}$$
41$A_4\times C_2$ $$1 - 2 T + 55 T^{2} + 36 T^{3} + 55 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
43$A_4\times C_2$ $$1 + 19 T + 245 T^{2} + 1863 T^{3} + 245 p T^{4} + 19 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
47$A_4\times C_2$ $$1 + 17 T + 155 T^{2} + 1051 T^{3} + 155 p T^{4} + 17 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
53$A_4\times C_2$ $$1 - 13 T + 198 T^{2} - 1365 T^{3} + 198 p T^{4} - 13 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
59$A_4\times C_2$ $$1 + 3 T + 167 T^{2} + 329 T^{3} + 167 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
61$A_4\times C_2$ $$1 - 13 T + 222 T^{2} - 1573 T^{3} + 222 p T^{4} - 13 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
67$A_4\times C_2$ $$1 - 5 T + 127 T^{2} - 275 T^{3} + 127 p T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
71$A_4\times C_2$ $$1 - 8 T + 100 T^{2} - 621 T^{3} + 100 p T^{4} - 8 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
73$A_4\times C_2$ $$1 + 2 T + 138 T^{2} + 5 p T^{3} + 138 p T^{4} + 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
79$A_4\times C_2$ $$1 + T - 53 T^{2} - 179 T^{3} - 53 p T^{4} + p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
83$A_4\times C_2$ $$1 - 2 T + 64 T^{2} - 561 T^{3} + 64 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
89$A_4\times C_2$ $$1 + 19 T + 266 T^{2} + 2363 T^{3} + 266 p T^{4} + 19 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
97$A_4\times C_2$ $$1 - 27 T + 521 T^{2} - 5837 T^{3} + 521 p T^{4} - 27 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$