# Properties

 Label 6-338e3-1.1-c3e3-0-0 Degree $6$ Conductor $38614472$ Sign $-1$ Analytic cond. $7931.37$ Root an. cond. $4.46571$ Motivic weight $3$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 6·2-s − 12·3-s + 24·4-s + 12·5-s + 72·6-s − 27·7-s − 80·8-s + 36·9-s − 72·10-s + 82·11-s − 288·12-s + 162·14-s − 144·15-s + 240·16-s − 90·17-s − 216·18-s + 130·19-s + 288·20-s + 324·21-s − 492·22-s + 19·23-s + 960·24-s − 146·25-s + 229·27-s − 648·28-s − 101·29-s + 864·30-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.12·2-s − 2.30·3-s + 3·4-s + 1.07·5-s + 4.89·6-s − 1.45·7-s − 3.53·8-s + 4/3·9-s − 2.27·10-s + 2.24·11-s − 6.92·12-s + 3.09·14-s − 2.47·15-s + 15/4·16-s − 1.28·17-s − 2.82·18-s + 1.56·19-s + 3.21·20-s + 3.36·21-s − 4.76·22-s + 0.172·23-s + 8.16·24-s − 1.16·25-s + 1.63·27-s − 4.37·28-s − 0.646·29-s + 5.25·30-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 38614472 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(4-s) \end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 38614472 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+3/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$38614472$$    =    $$2^{3} \cdot 13^{6}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$7931.37$$ Root analytic conductor: $$4.46571$$ Motivic weight: $$3$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 38614472,\ (\ :3/2, 3/2, 3/2),\ -1)$$

## Particular Values

 $$L(2)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{5}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ $$( 1 + p T )^{3}$$
13 $$1$$
good3$A_4\times C_2$ $$1 + 4 p T + 4 p^{3} T^{2} + 635 T^{3} + 4 p^{6} T^{4} + 4 p^{7} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
5$A_4\times C_2$ $$1 - 12 T + 58 p T^{2} - 2231 T^{3} + 58 p^{4} T^{4} - 12 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
7$A_4\times C_2$ $$1 + 27 T + 971 T^{2} + 18215 T^{3} + 971 p^{3} T^{4} + 27 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
11$A_4\times C_2$ $$1 - 82 T + 4832 T^{2} - 202073 T^{3} + 4832 p^{3} T^{4} - 82 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
17$A_4\times C_2$ $$1 + 90 T + 13568 T^{2} + 807173 T^{3} + 13568 p^{3} T^{4} + 90 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
19$A_4\times C_2$ $$1 - 130 T + 16408 T^{2} - 1706731 T^{3} + 16408 p^{3} T^{4} - 130 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
23$A_4\times C_2$ $$1 - 19 T + 17740 T^{2} - 1066503 T^{3} + 17740 p^{3} T^{4} - 19 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
29$A_4\times C_2$ $$1 + 101 T + 531 T^{2} + 1223229 T^{3} + 531 p^{3} T^{4} + 101 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
31$A_4\times C_2$ $$1 - 519 T + 168527 T^{2} - 34325015 T^{3} + 168527 p^{3} T^{4} - 519 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
37$A_4\times C_2$ $$1 - 84 T + 148088 T^{2} - 8540623 T^{3} + 148088 p^{3} T^{4} - 84 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
41$A_4\times C_2$ $$1 - 187 T + 53714 T^{2} - 5604107 T^{3} + 53714 p^{3} T^{4} - 187 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
43$A_4\times C_2$ $$1 + 1205 T + 720889 T^{2} + 255738323 T^{3} + 720889 p^{3} T^{4} + 1205 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
47$A_4\times C_2$ $$1 + 536 T + 236110 T^{2} + 85169985 T^{3} + 236110 p^{3} T^{4} + 536 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
53$A_4\times C_2$ $$1 + 1095 T + 839313 T^{2} + 371911379 T^{3} + 839313 p^{3} T^{4} + 1095 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
59$A_4\times C_2$ $$1 + 1413 T + 1204688 T^{2} + 653220025 T^{3} + 1204688 p^{3} T^{4} + 1413 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
61$A_4\times C_2$ $$1 + 1108 T + 1032384 T^{2} + 531367447 T^{3} + 1032384 p^{3} T^{4} + 1108 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
67$A_4\times C_2$ $$1 + 1605 T + 1665365 T^{2} + 1075938181 T^{3} + 1665365 p^{3} T^{4} + 1605 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
71$A_4\times C_2$ $$1 + 909 T + 1015113 T^{2} + 643147427 T^{3} + 1015113 p^{3} T^{4} + 909 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
73$A_4\times C_2$ $$1 - 287 T + 330383 T^{2} - 44761521 T^{3} + 330383 p^{3} T^{4} - 287 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
79$A_4\times C_2$ $$1 + 1961 T + 2641773 T^{2} + 2147763857 T^{3} + 2641773 p^{3} T^{4} + 1961 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
83$A_4\times C_2$ $$1 - 191 T + 1581331 T^{2} - 188435781 T^{3} + 1581331 p^{3} T^{4} - 191 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
89$A_4\times C_2$ $$1 - 1091 T + 2411397 T^{2} - 1548977265 T^{3} + 2411397 p^{3} T^{4} - 1091 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
97$A_4\times C_2$ $$1 + 947 T + 2081803 T^{2} + 1499759921 T^{3} + 2081803 p^{3} T^{4} + 947 p^{6} T^{5} + p^{9} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$