| L(s) = 1 | + 7·3-s + 58·5-s + 197·7-s − 300·9-s − 476·11-s − 1.41e3·13-s + 406·15-s − 2.42e3·17-s − 1.08e3·19-s + 1.37e3·21-s + 2.40e3·23-s − 3.05e3·25-s − 49·27-s + 4.22e3·29-s − 1.06e4·31-s − 3.33e3·33-s + 1.14e4·35-s − 1.31e4·37-s − 9.91e3·39-s − 2.24e4·41-s + 8.23e3·43-s − 1.74e4·45-s + 2.66e4·47-s − 8.22e3·49-s − 1.69e4·51-s − 7.55e4·53-s − 2.76e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.449·3-s + 1.03·5-s + 1.51·7-s − 1.23·9-s − 1.18·11-s − 2.32·13-s + 0.465·15-s − 2.03·17-s − 0.688·19-s + 0.682·21-s + 0.948·23-s − 0.976·25-s − 0.0129·27-s + 0.933·29-s − 1.99·31-s − 0.532·33-s + 1.57·35-s − 1.57·37-s − 1.04·39-s − 2.08·41-s + 0.678·43-s − 1.28·45-s + 1.75·47-s − 0.489·49-s − 0.914·51-s − 3.69·53-s − 1.23·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 28094464 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 28094464 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 19 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7 T + 349 T^{2} - 1498 p T^{3} + 349 p^{5} T^{4} - 7 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 58 T + 6416 T^{2} - 14824 p^{2} T^{3} + 6416 p^{5} T^{4} - 58 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 197 T + 47036 T^{2} - 6471433 T^{3} + 47036 p^{5} T^{4} - 197 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 476 T + 268470 T^{2} + 61908790 T^{3} + 268470 p^{5} T^{4} + 476 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 109 p T + 114603 p T^{2} + 977458074 T^{3} + 114603 p^{6} T^{4} + 109 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2427 T + 253290 p T^{2} + 6364636003 T^{3} + 253290 p^{6} T^{4} + 2427 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2407 T + 5619357 T^{2} - 688399438 p T^{3} + 5619357 p^{5} T^{4} - 2407 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 4227 T + 30784795 T^{2} - 150025865922 T^{3} + 30784795 p^{5} T^{4} - 4227 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10692 T + 117292941 T^{2} + 629875815928 T^{3} + 117292941 p^{5} T^{4} + 10692 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 13130 T + 250824203 T^{2} + 1819927947548 T^{3} + 250824203 p^{5} T^{4} + 13130 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 22440 T + 384658903 T^{2} + 4078599360272 T^{3} + 384658903 p^{5} T^{4} + 22440 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8230 T + 399912738 T^{2} - 2325269516304 T^{3} + 399912738 p^{5} T^{4} - 8230 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 26630 T + 896804990 T^{2} - 12613421803884 T^{3} + 896804990 p^{5} T^{4} - 26630 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 75557 T + 3034653539 T^{2} + 76584727143746 T^{3} + 3034653539 p^{5} T^{4} + 75557 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 40877 T + 2139954225 T^{2} + 48865754168978 T^{3} + 2139954225 p^{5} T^{4} + 40877 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 24024 T + 1852951116 T^{2} - 43900654862450 T^{3} + 1852951116 p^{5} T^{4} - 24024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 93135 T + 6758563021 T^{2} - 276369407988298 T^{3} + 6758563021 p^{5} T^{4} - 93135 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 5738 T + 1778898561 T^{2} + 96999789955076 T^{3} + 1778898561 p^{5} T^{4} + 5738 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 19661 T + 67286702 p T^{2} + 91843349087353 T^{3} + 67286702 p^{6} T^{4} + 19661 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 82854 T + 8126637093 T^{2} + 362970757086932 T^{3} + 8126637093 p^{5} T^{4} + 82854 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 66886 T + 9840204041 T^{2} + 420055806417156 T^{3} + 9840204041 p^{5} T^{4} + 66886 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 92268 T + 12646153275 T^{2} - 724841989498008 T^{3} + 12646153275 p^{5} T^{4} - 92268 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 47310 T + 22490268979 T^{2} - 655935740293276 T^{3} + 22490268979 p^{5} T^{4} - 47310 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−10.24178538874259703953273803550, −9.527388963726757418398048424012, −9.474722118802220286323168578111, −9.315384143377244546666374395149, −8.589836075803208138478122286412, −8.580202132534480395357398864429, −8.352813143890082492243875121315, −7.83990455338116253341748504264, −7.57284715888828962892071690894, −7.28211138073865730844827384780, −6.81627244511201964456516808596, −6.43839705330212492101442196889, −6.24038203703812419999704644787, −5.37961295658761454235137248464, −5.30590994183718810493157030645, −5.18660611665850387173300148720, −4.70087672144991787960261490799, −4.47524117482845951291135072918, −3.87061993414887274159722144644, −2.99925970393754951816552327751, −2.98786147064374061132810360838, −2.35112775329760447209474115823, −2.00089899112474596374369767333, −1.95745552051882126084291682828, −1.32269110452056974438207407864, 0, 0, 0,
1.32269110452056974438207407864, 1.95745552051882126084291682828, 2.00089899112474596374369767333, 2.35112775329760447209474115823, 2.98786147064374061132810360838, 2.99925970393754951816552327751, 3.87061993414887274159722144644, 4.47524117482845951291135072918, 4.70087672144991787960261490799, 5.18660611665850387173300148720, 5.30590994183718810493157030645, 5.37961295658761454235137248464, 6.24038203703812419999704644787, 6.43839705330212492101442196889, 6.81627244511201964456516808596, 7.28211138073865730844827384780, 7.57284715888828962892071690894, 7.83990455338116253341748504264, 8.352813143890082492243875121315, 8.580202132534480395357398864429, 8.589836075803208138478122286412, 9.315384143377244546666374395149, 9.474722118802220286323168578111, 9.527388963726757418398048424012, 10.24178538874259703953273803550
