# Properties

 Label 6-23e3-1.1-c5e3-0-0 Degree $6$ Conductor $12167$ Sign $-1$ Analytic cond. $50.1955$ Root an. cond. $1.92063$ Motivic weight $5$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 4·2-s − 20·3-s − 32·4-s − 58·5-s + 80·6-s − 282·7-s + 72·8-s − 104·9-s + 232·10-s + 136·11-s + 640·12-s − 1.11e3·13-s + 1.12e3·14-s + 1.16e3·15-s + 704·16-s − 896·17-s + 416·18-s + 1.65e3·19-s + 1.85e3·20-s + 5.64e3·21-s − 544·22-s − 1.58e3·23-s − 1.44e3·24-s − 6.67e3·25-s + 4.46e3·26-s + 2.80e3·27-s + 9.02e3·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 0.707·2-s − 1.28·3-s − 4-s − 1.03·5-s + 0.907·6-s − 2.17·7-s + 0.397·8-s − 0.427·9-s + 0.733·10-s + 0.338·11-s + 1.28·12-s − 1.83·13-s + 1.53·14-s + 1.33·15-s + 0.687·16-s − 0.751·17-s + 0.302·18-s + 1.05·19-s + 1.03·20-s + 2.79·21-s − 0.239·22-s − 0.625·23-s − 0.510·24-s − 2.13·25-s + 1.29·26-s + 0.739·27-s + 2.17·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 12167 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 12167 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$12167$$    =    $$23^{3}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$50.1955$$ Root analytic conductor: $$1.92063$$ Motivic weight: $$5$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 12167,\ (\ :5/2, 5/2, 5/2),\ -1)$$

## Particular Values

 $$L(3)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{7}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad23$C_1$ $$( 1 + p^{2} T )^{3}$$
good2$S_4\times C_2$ $$1 + p^{2} T + 3 p^{4} T^{2} + 31 p^{3} T^{3} + 3 p^{9} T^{4} + p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
3$S_4\times C_2$ $$1 + 20 T + 56 p^{2} T^{2} + 1040 p^{2} T^{3} + 56 p^{7} T^{4} + 20 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
5$S_4\times C_2$ $$1 + 58 T + 10043 T^{2} + 358996 T^{3} + 10043 p^{5} T^{4} + 58 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
7$S_4\times C_2$ $$1 + 282 T + 63529 T^{2} + 9596092 T^{3} + 63529 p^{5} T^{4} + 282 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
11$S_4\times C_2$ $$1 - 136 T + 439465 T^{2} - 42965720 T^{3} + 439465 p^{5} T^{4} - 136 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
13$S_4\times C_2$ $$1 + 1116 T + 1042356 T^{2} + 573110874 T^{3} + 1042356 p^{5} T^{4} + 1116 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
17$S_4\times C_2$ $$1 + 896 T + 2749843 T^{2} + 2765102152 T^{3} + 2749843 p^{5} T^{4} + 896 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
19$S_4\times C_2$ $$1 - 1654 T + 5574869 T^{2} - 7730163724 T^{3} + 5574869 p^{5} T^{4} - 1654 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
29$S_4\times C_2$ $$1 + 844 T + 33097884 T^{2} + 833596054 T^{3} + 33097884 p^{5} T^{4} + 844 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
31$S_4\times C_2$ $$1 + 3020 T + 49960668 T^{2} + 55281159160 T^{3} + 49960668 p^{5} T^{4} + 3020 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
37$S_4\times C_2$ $$1 - 8938 T + 87433179 T^{2} - 191510543988 T^{3} + 87433179 p^{5} T^{4} - 8938 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
41$S_4\times C_2$ $$1 + 312 p T + 223704916 T^{2} + 1399120996898 T^{3} + 223704916 p^{5} T^{4} + 312 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
43$S_4\times C_2$ $$1 + 16730 T + 335202129 T^{2} + 4823586598780 T^{3} + 335202129 p^{5} T^{4} + 16730 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
47$S_4\times C_2$ $$1 - 22500 T + 740995396 T^{2} - 9404516875560 T^{3} + 740995396 p^{5} T^{4} - 22500 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
53$S_4\times C_2$ $$1 - 17108 T + 179392187 T^{2} - 6459306692984 T^{3} + 179392187 p^{5} T^{4} - 17108 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
59$S_4\times C_2$ $$1 - 54176 T + 2767766369 T^{2} - 79188490092416 T^{3} + 2767766369 p^{5} T^{4} - 54176 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
61$S_4\times C_2$ $$1 + 71324 T + 4138586555 T^{2} + 131919880610200 T^{3} + 4138586555 p^{5} T^{4} + 71324 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
67$S_4\times C_2$ $$1 + 62960 T + 3985690161 T^{2} + 158036042094600 T^{3} + 3985690161 p^{5} T^{4} + 62960 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
71$S_4\times C_2$ $$1 - 98400 T + 8366655808 T^{2} - 379910096971840 T^{3} + 8366655808 p^{5} T^{4} - 98400 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
73$S_4\times C_2$ $$1 + 81772 T + 7890807372 T^{2} + 346237499109546 T^{3} + 7890807372 p^{5} T^{4} + 81772 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
79$S_4\times C_2$ $$1 - 58224 T + 5175309649 T^{2} - 122626594538384 T^{3} + 5175309649 p^{5} T^{4} - 58224 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
83$S_4\times C_2$ $$1 - 9892 T + 2470220897 T^{2} - 374959262842816 T^{3} + 2470220897 p^{5} T^{4} - 9892 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
89$S_4\times C_2$ $$1 - 27542 T + 145694795 p T^{2} - 181793008347820 T^{3} + 145694795 p^{6} T^{4} - 27542 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
97$S_4\times C_2$ $$1 + 273672 T + 50016565899 T^{2} + 5393984325146152 T^{3} + 50016565899 p^{5} T^{4} + 273672 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$