| L(s) = 1 | − 4·2-s − 20·3-s − 32·4-s − 58·5-s + 80·6-s − 282·7-s + 72·8-s − 104·9-s + 232·10-s + 136·11-s + 640·12-s − 1.11e3·13-s + 1.12e3·14-s + 1.16e3·15-s + 704·16-s − 896·17-s + 416·18-s + 1.65e3·19-s + 1.85e3·20-s + 5.64e3·21-s − 544·22-s − 1.58e3·23-s − 1.44e3·24-s − 6.67e3·25-s + 4.46e3·26-s + 2.80e3·27-s + 9.02e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.707·2-s − 1.28·3-s − 4-s − 1.03·5-s + 0.907·6-s − 2.17·7-s + 0.397·8-s − 0.427·9-s + 0.733·10-s + 0.338·11-s + 1.28·12-s − 1.83·13-s + 1.53·14-s + 1.33·15-s + 0.687·16-s − 0.751·17-s + 0.302·18-s + 1.05·19-s + 1.03·20-s + 2.79·21-s − 0.239·22-s − 0.625·23-s − 0.510·24-s − 2.13·25-s + 1.29·26-s + 0.739·27-s + 2.17·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 12167 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 12167 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 23 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 2 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + p^{2} T + 3 p^{4} T^{2} + 31 p^{3} T^{3} + 3 p^{9} T^{4} + p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 20 T + 56 p^{2} T^{2} + 1040 p^{2} T^{3} + 56 p^{7} T^{4} + 20 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 58 T + 10043 T^{2} + 358996 T^{3} + 10043 p^{5} T^{4} + 58 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 282 T + 63529 T^{2} + 9596092 T^{3} + 63529 p^{5} T^{4} + 282 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 136 T + 439465 T^{2} - 42965720 T^{3} + 439465 p^{5} T^{4} - 136 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1116 T + 1042356 T^{2} + 573110874 T^{3} + 1042356 p^{5} T^{4} + 1116 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 896 T + 2749843 T^{2} + 2765102152 T^{3} + 2749843 p^{5} T^{4} + 896 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1654 T + 5574869 T^{2} - 7730163724 T^{3} + 5574869 p^{5} T^{4} - 1654 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 844 T + 33097884 T^{2} + 833596054 T^{3} + 33097884 p^{5} T^{4} + 844 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3020 T + 49960668 T^{2} + 55281159160 T^{3} + 49960668 p^{5} T^{4} + 3020 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8938 T + 87433179 T^{2} - 191510543988 T^{3} + 87433179 p^{5} T^{4} - 8938 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 312 p T + 223704916 T^{2} + 1399120996898 T^{3} + 223704916 p^{5} T^{4} + 312 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 16730 T + 335202129 T^{2} + 4823586598780 T^{3} + 335202129 p^{5} T^{4} + 16730 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 22500 T + 740995396 T^{2} - 9404516875560 T^{3} + 740995396 p^{5} T^{4} - 22500 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 17108 T + 179392187 T^{2} - 6459306692984 T^{3} + 179392187 p^{5} T^{4} - 17108 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 54176 T + 2767766369 T^{2} - 79188490092416 T^{3} + 2767766369 p^{5} T^{4} - 54176 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 71324 T + 4138586555 T^{2} + 131919880610200 T^{3} + 4138586555 p^{5} T^{4} + 71324 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 62960 T + 3985690161 T^{2} + 158036042094600 T^{3} + 3985690161 p^{5} T^{4} + 62960 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 98400 T + 8366655808 T^{2} - 379910096971840 T^{3} + 8366655808 p^{5} T^{4} - 98400 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 81772 T + 7890807372 T^{2} + 346237499109546 T^{3} + 7890807372 p^{5} T^{4} + 81772 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 58224 T + 5175309649 T^{2} - 122626594538384 T^{3} + 5175309649 p^{5} T^{4} - 58224 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 9892 T + 2470220897 T^{2} - 374959262842816 T^{3} + 2470220897 p^{5} T^{4} - 9892 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 27542 T + 145694795 p T^{2} - 181793008347820 T^{3} + 145694795 p^{6} T^{4} - 27542 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 273672 T + 50016565899 T^{2} + 5393984325146152 T^{3} + 50016565899 p^{5} T^{4} + 273672 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−16.19095312274660929696368495159, −15.37947389080488218696688756904, −14.97426113238234915340638152515, −14.82994923139838765169869162226, −13.64776901001646144077118082941, −13.61784875165198485825219203222, −13.31973432665316582166657565741, −12.34386286650814691422551255976, −12.07487836008074491234570662027, −11.96117264130566752377549293114, −11.49103225239884902223432946200, −10.83507658233044476865893056574, −10.07161753068757523632361854977, −9.663283700016518715810819299042, −9.426206077462713453649794813770, −9.144695026783762343558798641703, −8.054824913865107838436730598268, −7.926176168376805307324222843550, −6.93201305117522424877228949487, −6.54469224639957625151710339711, −5.63300935067018173421652806968, −5.49408981938770963276211415011, −4.31223549562239653015692499360, −3.71137790019432399643875222060, −2.77232553239567056013537377254, 0, 0, 0,
2.77232553239567056013537377254, 3.71137790019432399643875222060, 4.31223549562239653015692499360, 5.49408981938770963276211415011, 5.63300935067018173421652806968, 6.54469224639957625151710339711, 6.93201305117522424877228949487, 7.926176168376805307324222843550, 8.054824913865107838436730598268, 9.144695026783762343558798641703, 9.426206077462713453649794813770, 9.663283700016518715810819299042, 10.07161753068757523632361854977, 10.83507658233044476865893056574, 11.49103225239884902223432946200, 11.96117264130566752377549293114, 12.07487836008074491234570662027, 12.34386286650814691422551255976, 13.31973432665316582166657565741, 13.61784875165198485825219203222, 13.64776901001646144077118082941, 14.82994923139838765169869162226, 14.97426113238234915340638152515, 15.37947389080488218696688756904, 16.19095312274660929696368495159
