| L(s) = 1 | + 12·2-s − 34·3-s + 96·4-s + 75·5-s − 408·6-s − 121·7-s + 640·8-s + 258·9-s + 900·10-s − 502·11-s − 3.26e3·12-s + 76·13-s − 1.45e3·14-s − 2.55e3·15-s + 3.84e3·16-s − 1.16e3·17-s + 3.09e3·18-s − 1.69e3·19-s + 7.20e3·20-s + 4.11e3·21-s − 6.02e3·22-s − 1.58e3·23-s − 2.17e4·24-s + 3.75e3·25-s + 912·26-s + 5.83e3·27-s − 1.16e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s − 2.18·3-s + 3·4-s + 1.34·5-s − 4.62·6-s − 0.933·7-s + 3.53·8-s + 1.06·9-s + 2.84·10-s − 1.25·11-s − 6.54·12-s + 0.124·13-s − 1.97·14-s − 2.92·15-s + 15/4·16-s − 0.979·17-s + 2.25·18-s − 1.07·19-s + 4.02·20-s + 2.03·21-s − 2.65·22-s − 0.625·23-s − 7.71·24-s + 6/5·25-s + 0.264·26-s + 1.54·27-s − 2.80·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 12167000 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 12167000 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 23 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 34 T + 898 T^{2} + 5308 p T^{3} + 898 p^{5} T^{4} + 34 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 121 T + 45945 T^{2} + 4015058 T^{3} + 45945 p^{5} T^{4} + 121 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 502 T + 295729 T^{2} + 99372436 T^{3} + 295729 p^{5} T^{4} + 502 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 76 T + 375104 T^{2} + 67010546 T^{3} + 375104 p^{5} T^{4} - 76 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1167 T + 4168491 T^{2} + 3221269278 T^{3} + 4168491 p^{5} T^{4} + 1167 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1694 T + 5938457 T^{2} + 8537977124 T^{3} + 5938457 p^{5} T^{4} + 1694 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4999 T + 54037894 T^{2} + 166360332079 T^{3} + 54037894 p^{5} T^{4} + 4999 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 9691 T + 112236372 T^{2} + 568375461287 T^{3} + 112236372 p^{5} T^{4} + 9691 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 25 p T + 132724619 T^{2} - 332300111674 T^{3} + 132724619 p^{5} T^{4} - 25 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1513 T + 224851018 T^{2} - 233433442103 T^{3} + 224851018 p^{5} T^{4} + 1513 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 30552 T + 499810485 T^{2} + 137821394224 p T^{3} + 499810485 p^{5} T^{4} + 30552 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2070 T + 485552526 T^{2} + 241267996080 T^{3} + 485552526 p^{5} T^{4} + 2070 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 34923 T + 813930279 T^{2} + 12065873878794 T^{3} + 813930279 p^{5} T^{4} + 34923 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 36665 T + 2441769049 T^{2} + 52973055321158 T^{3} + 2441769049 p^{5} T^{4} + 36665 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 44364 T + 2129340255 T^{2} + 75583787362360 T^{3} + 2129340255 p^{5} T^{4} + 44364 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 85969 T + 5186096085 T^{2} + 236001327201086 T^{3} + 5186096085 p^{5} T^{4} + 85969 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 105817 T + 7449116344 T^{2} + 373300380164929 T^{3} + 7449116344 p^{5} T^{4} + 105817 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 71348 T + 4587135284 T^{2} + 276928872255014 T^{3} + 4587135284 p^{5} T^{4} + 71348 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12196 T + 5280056837 T^{2} - 141039295146616 T^{3} + 5280056837 p^{5} T^{4} - 12196 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 66689 T + 12498989353 T^{2} + 510549805990550 T^{3} + 12498989353 p^{5} T^{4} + 66689 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 149868 T + 21878219967 T^{2} - 1656675213179400 T^{3} + 21878219967 p^{5} T^{4} - 149868 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 215238 T + 36772117239 T^{2} - 3636766816624388 T^{3} + 36772117239 p^{5} T^{4} - 215238 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−10.91495551574699757688170150044, −10.36865201787981306942771777662, −10.15514977465976744699285886003, −9.998417840479721824567928565649, −9.259790497380393931796119843313, −8.898119418693390141976749965706, −8.750068715637185044374882517224, −7.79899926446203058446203783921, −7.73507792405756026658791796525, −7.20066353162666761944767836746, −6.62175832365235218312349647894, −6.33907244914933624976116072215, −6.30822307679827517691332951853, −5.86376162766207066881784565267, −5.68677348827185313872501447032, −5.51534308641704150199269412916, −4.71641648741731201090524816590, −4.70182674468700034858858486470, −4.63558108759149576777989468215, −3.47736711193044966067206907393, −3.20401977045866140019417786566, −3.01614939540037789422609107717, −2.15020843011848190880893202746, −1.86600890103730857219163369139, −1.49293107319338280671630371447, 0, 0, 0,
1.49293107319338280671630371447, 1.86600890103730857219163369139, 2.15020843011848190880893202746, 3.01614939540037789422609107717, 3.20401977045866140019417786566, 3.47736711193044966067206907393, 4.63558108759149576777989468215, 4.70182674468700034858858486470, 4.71641648741731201090524816590, 5.51534308641704150199269412916, 5.68677348827185313872501447032, 5.86376162766207066881784565267, 6.30822307679827517691332951853, 6.33907244914933624976116072215, 6.62175832365235218312349647894, 7.20066353162666761944767836746, 7.73507792405756026658791796525, 7.79899926446203058446203783921, 8.750068715637185044374882517224, 8.898119418693390141976749965706, 9.259790497380393931796119843313, 9.998417840479721824567928565649, 10.15514977465976744699285886003, 10.36865201787981306942771777662, 10.91495551574699757688170150044
