# Properties

 Label 6-165e3-1.1-c5e3-0-4 Degree $6$ Conductor $4492125$ Sign $-1$ Analytic cond. $18532.4$ Root an. cond. $5.14425$ Motivic weight $5$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $3$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 7·2-s + 27·3-s − 11·4-s + 75·5-s − 189·6-s − 172·7-s + 189·8-s + 486·9-s − 525·10-s − 363·11-s − 297·12-s − 654·13-s + 1.20e3·14-s + 2.02e3·15-s − 427·16-s − 2.36e3·17-s − 3.40e3·18-s − 2.87e3·19-s − 825·20-s − 4.64e3·21-s + 2.54e3·22-s + 2.27e3·23-s + 5.10e3·24-s + 3.75e3·25-s + 4.57e3·26-s + 7.29e3·27-s + 1.89e3·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.23·2-s + 1.73·3-s − 0.343·4-s + 1.34·5-s − 2.14·6-s − 1.32·7-s + 1.04·8-s + 2·9-s − 1.66·10-s − 0.904·11-s − 0.595·12-s − 1.07·13-s + 1.64·14-s + 2.32·15-s − 0.416·16-s − 1.98·17-s − 2.47·18-s − 1.82·19-s − 0.461·20-s − 2.29·21-s + 1.11·22-s + 0.895·23-s + 1.80·24-s + 6/5·25-s + 1.32·26-s + 1.92·27-s + 0.456·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 4492125 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 4492125 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$6$$ Conductor: $$4492125$$    =    $$3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 11^{3}$$ Sign: $-1$ Analytic conductor: $$18532.4$$ Root analytic conductor: $$5.14425$$ Motivic weight: $$5$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$3$$ Selberg data: $$(6,\ 4492125,\ (\ :5/2, 5/2, 5/2),\ -1)$$

## Particular Values

 $$L(3)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{7}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3$C_1$ $$( 1 - p^{2} T )^{3}$$
5$C_1$ $$( 1 - p^{2} T )^{3}$$
11$C_1$ $$( 1 + p^{2} T )^{3}$$
good2$S_4\times C_2$ $$1 + 7 T + 15 p^{2} T^{2} + 77 p^{2} T^{3} + 15 p^{7} T^{4} + 7 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
7$S_4\times C_2$ $$1 + 172 T + 53317 T^{2} + 5399144 T^{3} + 53317 p^{5} T^{4} + 172 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
13$S_4\times C_2$ $$1 + 654 T + 555091 T^{2} + 167732852 T^{3} + 555091 p^{5} T^{4} + 654 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
17$S_4\times C_2$ $$1 + 2366 T + 4754783 T^{2} + 6580937060 T^{3} + 4754783 p^{5} T^{4} + 2366 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
19$S_4\times C_2$ $$1 + 2872 T + 9249705 T^{2} + 14234256272 T^{3} + 9249705 p^{5} T^{4} + 2872 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
23$S_4\times C_2$ $$1 - 2272 T + 18049957 T^{2} - 25539838016 T^{3} + 18049957 p^{5} T^{4} - 2272 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
29$S_4\times C_2$ $$1 + 7738 T + 75886547 T^{2} + 322651167772 T^{3} + 75886547 p^{5} T^{4} + 7738 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
31$S_4\times C_2$ $$1 - 568 T + 83955741 T^{2} - 32812503440 T^{3} + 83955741 p^{5} T^{4} - 568 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
37$S_4\times C_2$ $$1 + 9126 T + 153307915 T^{2} + 1135693394116 T^{3} + 153307915 p^{5} T^{4} + 9126 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
41$S_4\times C_2$ $$1 + 8758 T + 117252903 T^{2} + 906684659284 T^{3} + 117252903 p^{5} T^{4} + 8758 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
43$S_4\times C_2$ $$1 + 14672 T + 370715025 T^{2} + 3794906879008 T^{3} + 370715025 p^{5} T^{4} + 14672 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
47$S_4\times C_2$ $$1 + 19392 T + 652921165 T^{2} + 7386008220288 T^{3} + 652921165 p^{5} T^{4} + 19392 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
53$S_4\times C_2$ $$1 + 4598 T + 900328507 T^{2} + 4574622258916 T^{3} + 900328507 p^{5} T^{4} + 4598 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
59$S_4\times C_2$ $$1 + 9348 T + 1646289553 T^{2} + 7098388384024 T^{3} + 1646289553 p^{5} T^{4} + 9348 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
61$S_4\times C_2$ $$1 + 60078 T + 49584271 p T^{2} + 87982416745556 T^{3} + 49584271 p^{6} T^{4} + 60078 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
67$S_4\times C_2$ $$1 + 38468 T + 3866400905 T^{2} + 95393272971992 T^{3} + 3866400905 p^{5} T^{4} + 38468 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
71$S_4\times C_2$ $$1 + 74032 T + 6098518645 T^{2} + 250129423986848 T^{3} + 6098518645 p^{5} T^{4} + 74032 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
73$S_4\times C_2$ $$1 + 44442 T + 6331091479 T^{2} + 174512379795884 T^{3} + 6331091479 p^{5} T^{4} + 44442 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
79$S_4\times C_2$ $$1 + 108116 T + 11158675133 T^{2} + 8537056071080 p T^{3} + 11158675133 p^{5} T^{4} + 108116 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
83$S_4\times C_2$ $$1 + 81892 T + 2009956905 T^{2} - 94678226672552 T^{3} + 2009956905 p^{5} T^{4} + 81892 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
89$S_4\times C_2$ $$1 - 167342 T + 25837929495 T^{2} - 2027809825205668 T^{3} + 25837929495 p^{5} T^{4} - 167342 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
97$S_4\times C_2$ $$1 - 159702 T + 28145564719 T^{2} - 2389832506953716 T^{3} + 28145564719 p^{5} T^{4} - 159702 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$