| L(s) = 1 | − 12·2-s + 96·4-s − 54·5-s + 132·7-s − 640·8-s + 648·10-s − 315·11-s + 744·13-s − 1.58e3·14-s + 3.84e3·16-s − 1.44e3·17-s + 1.13e3·19-s − 5.18e3·20-s + 3.78e3·22-s − 3.16e3·23-s − 1.78e3·25-s − 8.92e3·26-s + 1.26e4·28-s − 5.14e3·29-s + 8.61e3·31-s − 2.15e4·32-s + 1.73e4·34-s − 7.12e3·35-s + 1.99e4·37-s − 1.35e4·38-s + 3.45e4·40-s + 5.04e3·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s + 3·4-s − 0.965·5-s + 1.01·7-s − 3.53·8-s + 2.04·10-s − 0.784·11-s + 1.22·13-s − 2.15·14-s + 15/4·16-s − 1.21·17-s + 0.718·19-s − 2.89·20-s + 1.66·22-s − 1.24·23-s − 0.572·25-s − 2.59·26-s + 3.05·28-s − 1.13·29-s + 1.60·31-s − 3.71·32-s + 2.57·34-s − 0.983·35-s + 2.39·37-s − 1.52·38-s + 3.41·40-s + 0.469·41-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 4251528 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 4251528 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(1.343703147\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(1.343703147\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 3 | | \( 1 \) |
| good | 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 54 T + 4704 T^{2} + 121716 T^{3} + 4704 p^{5} T^{4} + 54 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 132 T + 7494 T^{2} + 697030 T^{3} + 7494 p^{5} T^{4} - 132 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 315 T + 29208 p T^{2} + 59693967 T^{3} + 29208 p^{6} T^{4} + 315 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 744 T + 443220 T^{2} - 167659562 T^{3} + 443220 p^{5} T^{4} - 744 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1449 T + 3759531 T^{2} + 3184553142 T^{3} + 3759531 p^{5} T^{4} + 1449 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1131 T + 5928369 T^{2} - 5953391858 T^{3} + 5928369 p^{5} T^{4} - 1131 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3168 T + 21485310 T^{2} + 41206269762 T^{3} + 21485310 p^{5} T^{4} + 3168 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 5148 T + 48606468 T^{2} + 217688515758 T^{3} + 48606468 p^{5} T^{4} + 5148 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8610 T + 84821442 T^{2} - 433677418616 T^{3} + 84821442 p^{5} T^{4} - 8610 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 19968 T + 327446979 T^{2} - 2957339330768 T^{3} + 327446979 p^{5} T^{4} - 19968 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5049 T + 75403770 T^{2} + 987447484215 T^{3} + 75403770 p^{5} T^{4} - 5049 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 31389 T + 613393836 T^{2} - 8715234998693 T^{3} + 613393836 p^{5} T^{4} - 31389 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12924 T + 615659118 T^{2} - 6012706093686 T^{3} + 615659118 p^{5} T^{4} - 12924 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 48024 T + 1811738067 T^{2} - 41931353529216 T^{3} + 1811738067 p^{5} T^{4} - 48024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 62955 T + 2834698632 T^{2} - 84237902540847 T^{3} + 2834698632 p^{5} T^{4} - 62955 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 75966 T + 4118867664 T^{2} - 133680858701492 T^{3} + 4118867664 p^{5} T^{4} - 75966 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 32991 T + 2890195260 T^{2} - 86049161407199 T^{3} + 2890195260 p^{5} T^{4} - 32991 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 64836 T + 5330360517 T^{2} - 233818077065976 T^{3} + 5330360517 p^{5} T^{4} - 64836 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4233 T + 1481704827 T^{2} + 31872982860070 T^{3} + 1481704827 p^{5} T^{4} + 4233 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 89202 T + 8903468562 T^{2} + 433656091486600 T^{3} + 8903468562 p^{5} T^{4} + 89202 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 32634 T + 8826862614 T^{2} - 153671696775720 T^{3} + 8826862614 p^{5} T^{4} - 32634 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 33066 T + 16131261399 T^{2} + 360180435327660 T^{3} + 16131261399 p^{5} T^{4} + 33066 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 46245 T + 19205786202 T^{2} + 502128280639933 T^{3} + 19205786202 p^{5} T^{4} + 46245 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−10.82459905483750080278134858877, −10.03421423309559206175615791339, −9.892156226548252103898289735615, −9.801374048847798789517146957726, −8.940012314352977224310277943866, −8.939984257091115499869049754844, −8.528272394411684349713820943890, −8.069242859037646069017808835778, −7.85787383432893677848582327143, −7.82188580448235944294155017889, −7.27016633868331263317537551162, −6.86828825277037261712128958211, −6.52377954170338087480294605602, −5.81066489701699255917582666088, −5.70383574175417887552178660036, −5.27370226182943070499330047453, −4.19428576380716705474695119111, −4.08455435367334604289132331347, −3.81904456931105714188467576497, −2.66507948031100849850539208989, −2.41211379689214149845987506723, −2.12530160573009199318234975711, −1.18027649274379595349380706462, −0.73847098266102616204954202130, −0.52253494202453054549889615928,
0.52253494202453054549889615928, 0.73847098266102616204954202130, 1.18027649274379595349380706462, 2.12530160573009199318234975711, 2.41211379689214149845987506723, 2.66507948031100849850539208989, 3.81904456931105714188467576497, 4.08455435367334604289132331347, 4.19428576380716705474695119111, 5.27370226182943070499330047453, 5.70383574175417887552178660036, 5.81066489701699255917582666088, 6.52377954170338087480294605602, 6.86828825277037261712128958211, 7.27016633868331263317537551162, 7.82188580448235944294155017889, 7.85787383432893677848582327143, 8.069242859037646069017808835778, 8.528272394411684349713820943890, 8.939984257091115499869049754844, 8.940012314352977224310277943866, 9.801374048847798789517146957726, 9.892156226548252103898289735615, 10.03421423309559206175615791339, 10.82459905483750080278134858877
