Properties

Label 40-69e20-1.1-c1e20-0-0
Degree $40$
Conductor $5.984\times 10^{36}$
Sign $1$
Analytic cond. $6.64544\times 10^{-6}$
Root an. cond. $0.742272$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4·2-s − 2·3-s + 7·4-s − 6·5-s + 8·6-s − 6·7-s − 8·8-s + 9-s + 24·10-s − 16·11-s − 14·12-s + 14·13-s + 24·14-s + 12·15-s + 4·16-s + 11·17-s − 4·18-s − 11·19-s − 42·20-s + 12·21-s + 64·22-s + 16·24-s + 21·25-s − 56·26-s − 42·28-s + 12·29-s − 48·30-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.82·2-s − 1.15·3-s + 7/2·4-s − 2.68·5-s + 3.26·6-s − 2.26·7-s − 2.82·8-s + 1/3·9-s + 7.58·10-s − 4.82·11-s − 4.04·12-s + 3.88·13-s + 6.41·14-s + 3.09·15-s + 16-s + 2.66·17-s − 0.942·18-s − 2.52·19-s − 9.39·20-s + 2.61·21-s + 13.6·22-s + 3.26·24-s + 21/5·25-s − 10.9·26-s − 7.93·28-s + 2.22·29-s − 8.76·30-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(40\)
Conductor: \(3^{20} \cdot 23^{20}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.64544\times 10^{-6}\)
Root analytic conductor: \(0.742272\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{69} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((40,\ 3^{20} \cdot 23^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(0.006949447613\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.006949447613\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} )^{2} \)
23 \( 1 + 67 T^{2} - 88 T^{3} + 2795 T^{4} - 6974 T^{5} + 95437 T^{6} - 260898 T^{7} + 2934449 T^{8} - 6854584 T^{9} + 74911893 T^{10} - 6854584 p T^{11} + 2934449 p^{2} T^{12} - 260898 p^{3} T^{13} + 95437 p^{4} T^{14} - 6974 p^{5} T^{15} + 2795 p^{6} T^{16} - 88 p^{7} T^{17} + 67 p^{8} T^{18} + p^{10} T^{20} \)
good2 \( 1 + p^{2} T + 9 T^{2} + p^{4} T^{3} + 29 T^{4} + 15 p^{2} T^{5} + 129 T^{6} + 33 p^{3} T^{7} + 121 p^{2} T^{8} + 803 T^{9} + 655 p T^{10} + 2211 T^{11} + 3799 T^{12} + 3191 p T^{13} + 5147 p T^{14} + 981 p^{4} T^{15} + 11511 p T^{16} + 34013 T^{17} + 51491 T^{18} + 77407 T^{19} + 112047 T^{20} + 77407 p T^{21} + 51491 p^{2} T^{22} + 34013 p^{3} T^{23} + 11511 p^{5} T^{24} + 981 p^{9} T^{25} + 5147 p^{7} T^{26} + 3191 p^{8} T^{27} + 3799 p^{8} T^{28} + 2211 p^{9} T^{29} + 655 p^{11} T^{30} + 803 p^{11} T^{31} + 121 p^{14} T^{32} + 33 p^{16} T^{33} + 129 p^{14} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + 29 p^{16} T^{36} + p^{21} T^{37} + 9 p^{18} T^{38} + p^{21} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
5 \( 1 + 6 T + 3 p T^{2} + 49 T^{3} + 112 T^{4} + 53 T^{5} + 337 T^{6} + 558 T^{7} - 902 T^{8} + 6307 T^{9} + 4247 T^{10} - 10162 T^{11} + 70951 T^{12} - 27871 p T^{13} - 249398 T^{14} + 116471 T^{15} - 2898987 T^{16} - 872716 T^{17} - 1331421 p T^{18} - 34232319 T^{19} - 13686366 T^{20} - 34232319 p T^{21} - 1331421 p^{3} T^{22} - 872716 p^{3} T^{23} - 2898987 p^{4} T^{24} + 116471 p^{5} T^{25} - 249398 p^{6} T^{26} - 27871 p^{8} T^{27} + 70951 p^{8} T^{28} - 10162 p^{9} T^{29} + 4247 p^{10} T^{30} + 6307 p^{11} T^{31} - 902 p^{12} T^{32} + 558 p^{13} T^{33} + 337 p^{14} T^{34} + 53 p^{15} T^{35} + 112 p^{16} T^{36} + 49 p^{17} T^{37} + 3 p^{19} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
7 \( 1 + 6 T + 16 T^{2} - 48 T^{3} - 372 T^{4} - 982 T^{5} + 1212 T^{6} + 11484 T^{7} + 30932 T^{8} - 15818 T^{9} - 29681 p T^{10} - 590524 T^{11} + 219661 T^{12} + 2545344 T^{13} + 7824491 T^{14} - 5685178 T^{15} - 19798517 T^{16} - 78765226 T^{17} + 16293244 p T^{18} - 4966896 p T^{19} + 1019522681 T^{20} - 4966896 p^{2} T^{21} + 16293244 p^{3} T^{22} - 78765226 p^{3} T^{23} - 19798517 p^{4} T^{24} - 5685178 p^{5} T^{25} + 7824491 p^{6} T^{26} + 2545344 p^{7} T^{27} + 219661 p^{8} T^{28} - 590524 p^{9} T^{29} - 29681 p^{11} T^{30} - 15818 p^{11} T^{31} + 30932 p^{12} T^{32} + 11484 p^{13} T^{33} + 1212 p^{14} T^{34} - 982 p^{15} T^{35} - 372 p^{16} T^{36} - 48 p^{17} T^{37} + 16 p^{18} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
11 \( 1 + 16 T + 142 T^{2} + 954 T^{3} + 519 p T^{4} + 31846 T^{5} + 166105 T^{6} + 809863 T^{7} + 3751261 T^{8} + 137956 p^{2} T^{9} + 71696802 T^{10} + 26992725 p T^{11} + 1190108465 T^{12} + 4636819849 T^{13} + 17628893572 T^{14} + 65394868771 T^{15} + 21545965449 p T^{16} + 840564629274 T^{17} + 2924538692484 T^{18} + 9980544387026 T^{19} + 33423743684981 T^{20} + 9980544387026 p T^{21} + 2924538692484 p^{2} T^{22} + 840564629274 p^{3} T^{23} + 21545965449 p^{5} T^{24} + 65394868771 p^{5} T^{25} + 17628893572 p^{6} T^{26} + 4636819849 p^{7} T^{27} + 1190108465 p^{8} T^{28} + 26992725 p^{10} T^{29} + 71696802 p^{10} T^{30} + 137956 p^{13} T^{31} + 3751261 p^{12} T^{32} + 809863 p^{13} T^{33} + 166105 p^{14} T^{34} + 31846 p^{15} T^{35} + 519 p^{17} T^{36} + 954 p^{17} T^{37} + 142 p^{18} T^{38} + 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
13 \( 1 - 14 T + 111 T^{2} - 656 T^{3} + 3382 T^{4} - 16772 T^{5} + 81235 T^{6} - 368284 T^{7} + 1527610 T^{8} - 5843740 T^{9} + 20705744 T^{10} - 66908000 T^{11} + 188907185 T^{12} - 414689105 T^{13} + 300105512 T^{14} + 3938448422 T^{15} - 33722991716 T^{16} + 187102551651 T^{17} - 848598895440 T^{18} + 3411566093398 T^{19} - 12686824931403 T^{20} + 3411566093398 p T^{21} - 848598895440 p^{2} T^{22} + 187102551651 p^{3} T^{23} - 33722991716 p^{4} T^{24} + 3938448422 p^{5} T^{25} + 300105512 p^{6} T^{26} - 414689105 p^{7} T^{27} + 188907185 p^{8} T^{28} - 66908000 p^{9} T^{29} + 20705744 p^{10} T^{30} - 5843740 p^{11} T^{31} + 1527610 p^{12} T^{32} - 368284 p^{13} T^{33} + 81235 p^{14} T^{34} - 16772 p^{15} T^{35} + 3382 p^{16} T^{36} - 656 p^{17} T^{37} + 111 p^{18} T^{38} - 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
17 \( 1 - 11 T + 59 T^{2} - 99 T^{3} - 581 T^{4} + 3542 T^{5} + 4693 T^{6} - 122771 T^{7} + 704374 T^{8} - 1561494 T^{9} - 1255781 T^{10} + 1039555 p T^{11} + 23641754 T^{12} - 639544664 T^{13} + 3660373114 T^{14} - 9575865651 T^{15} + 13660039334 T^{16} + 21104566219 T^{17} + 229810926070 T^{18} - 2891411737390 T^{19} + 16951939396415 T^{20} - 2891411737390 p T^{21} + 229810926070 p^{2} T^{22} + 21104566219 p^{3} T^{23} + 13660039334 p^{4} T^{24} - 9575865651 p^{5} T^{25} + 3660373114 p^{6} T^{26} - 639544664 p^{7} T^{27} + 23641754 p^{8} T^{28} + 1039555 p^{10} T^{29} - 1255781 p^{10} T^{30} - 1561494 p^{11} T^{31} + 704374 p^{12} T^{32} - 122771 p^{13} T^{33} + 4693 p^{14} T^{34} + 3542 p^{15} T^{35} - 581 p^{16} T^{36} - 99 p^{17} T^{37} + 59 p^{18} T^{38} - 11 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
19 \( 1 + 11 T + 32 T^{2} - 330 T^{3} - 2626 T^{4} - 3014 T^{5} + 42213 T^{6} + 57387 T^{7} - 975876 T^{8} - 2287153 T^{9} + 32227922 T^{10} + 171220104 T^{11} - 69896300 T^{12} - 3219419159 T^{13} - 5401170079 T^{14} + 30572052522 T^{15} + 69166540020 T^{16} - 828327241280 T^{17} - 182202258601 p T^{18} + 9381833410532 T^{19} + 111381879639361 T^{20} + 9381833410532 p T^{21} - 182202258601 p^{3} T^{22} - 828327241280 p^{3} T^{23} + 69166540020 p^{4} T^{24} + 30572052522 p^{5} T^{25} - 5401170079 p^{6} T^{26} - 3219419159 p^{7} T^{27} - 69896300 p^{8} T^{28} + 171220104 p^{9} T^{29} + 32227922 p^{10} T^{30} - 2287153 p^{11} T^{31} - 975876 p^{12} T^{32} + 57387 p^{13} T^{33} + 42213 p^{14} T^{34} - 3014 p^{15} T^{35} - 2626 p^{16} T^{36} - 330 p^{17} T^{37} + 32 p^{18} T^{38} + 11 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
29 \( 1 - 12 T + 158 T^{2} - 1345 T^{3} + 12348 T^{4} - 89006 T^{5} + 691572 T^{6} - 4500947 T^{7} + 30917337 T^{8} - 180054380 T^{9} + 1092487408 T^{10} - 5681604555 T^{11} + 31017792941 T^{12} - 142615453320 T^{13} + 683851111023 T^{14} - 2519103832959 T^{15} + 327421320015 p T^{16} - 16722158681270 T^{17} + 7002337977228 T^{18} + 543137990091378 T^{19} - 2609385531482465 T^{20} + 543137990091378 p T^{21} + 7002337977228 p^{2} T^{22} - 16722158681270 p^{3} T^{23} + 327421320015 p^{5} T^{24} - 2519103832959 p^{5} T^{25} + 683851111023 p^{6} T^{26} - 142615453320 p^{7} T^{27} + 31017792941 p^{8} T^{28} - 5681604555 p^{9} T^{29} + 1092487408 p^{10} T^{30} - 180054380 p^{11} T^{31} + 30917337 p^{12} T^{32} - 4500947 p^{13} T^{33} + 691572 p^{14} T^{34} - 89006 p^{15} T^{35} + 12348 p^{16} T^{36} - 1345 p^{17} T^{37} + 158 p^{18} T^{38} - 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
31 \( 1 - 41 T + 864 T^{2} - 12053 T^{3} + 121101 T^{4} - 28690 p T^{5} + 4510690 T^{6} - 11623998 T^{7} - 30681908 T^{8} + 386532095 T^{9} + 68465758 T^{10} - 27354084982 T^{11} + 286108289849 T^{12} - 1679395787664 T^{13} + 5424416316731 T^{14} + 2326523466660 T^{15} - 127947632637567 T^{16} + 521221608911738 T^{17} + 2181951999345766 T^{18} - 43865549450220535 T^{19} + 320305003124140039 T^{20} - 43865549450220535 p T^{21} + 2181951999345766 p^{2} T^{22} + 521221608911738 p^{3} T^{23} - 127947632637567 p^{4} T^{24} + 2326523466660 p^{5} T^{25} + 5424416316731 p^{6} T^{26} - 1679395787664 p^{7} T^{27} + 286108289849 p^{8} T^{28} - 27354084982 p^{9} T^{29} + 68465758 p^{10} T^{30} + 386532095 p^{11} T^{31} - 30681908 p^{12} T^{32} - 11623998 p^{13} T^{33} + 4510690 p^{14} T^{34} - 28690 p^{16} T^{35} + 121101 p^{16} T^{36} - 12053 p^{17} T^{37} + 864 p^{18} T^{38} - 41 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
37 \( 1 + 18 T + 218 T^{2} + 2473 T^{3} + 24380 T^{4} + 207114 T^{5} + 1666963 T^{6} + 12189627 T^{7} + 80942666 T^{8} + 498985297 T^{9} + 2818144019 T^{10} + 14369862018 T^{11} + 66161913197 T^{12} + 264865519482 T^{13} + 1001631925616 T^{14} + 3502749044350 T^{15} + 16396223206559 T^{16} + 140241127963884 T^{17} + 1139388732311417 T^{18} + 8644032777509295 T^{19} + 60945176474179321 T^{20} + 8644032777509295 p T^{21} + 1139388732311417 p^{2} T^{22} + 140241127963884 p^{3} T^{23} + 16396223206559 p^{4} T^{24} + 3502749044350 p^{5} T^{25} + 1001631925616 p^{6} T^{26} + 264865519482 p^{7} T^{27} + 66161913197 p^{8} T^{28} + 14369862018 p^{9} T^{29} + 2818144019 p^{10} T^{30} + 498985297 p^{11} T^{31} + 80942666 p^{12} T^{32} + 12189627 p^{13} T^{33} + 1666963 p^{14} T^{34} + 207114 p^{15} T^{35} + 24380 p^{16} T^{36} + 2473 p^{17} T^{37} + 218 p^{18} T^{38} + 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
41 \( 1 + 10 T^{2} - 385 T^{3} + 1983 T^{4} - 8877 T^{5} + 36504 T^{6} - 1150490 T^{7} + 2320087 T^{8} - 31313733 T^{9} + 180023493 T^{10} - 955918447 T^{11} + 14957879804 T^{12} - 26590790479 T^{13} + 510547664520 T^{14} - 2285560480962 T^{15} + 20198009667985 T^{16} - 80258439413680 T^{17} + 620583156087169 T^{18} - 7006752004165639 T^{19} + 803543825305673 T^{20} - 7006752004165639 p T^{21} + 620583156087169 p^{2} T^{22} - 80258439413680 p^{3} T^{23} + 20198009667985 p^{4} T^{24} - 2285560480962 p^{5} T^{25} + 510547664520 p^{6} T^{26} - 26590790479 p^{7} T^{27} + 14957879804 p^{8} T^{28} - 955918447 p^{9} T^{29} + 180023493 p^{10} T^{30} - 31313733 p^{11} T^{31} + 2320087 p^{12} T^{32} - 1150490 p^{13} T^{33} + 36504 p^{14} T^{34} - 8877 p^{15} T^{35} + 1983 p^{16} T^{36} - 385 p^{17} T^{37} + 10 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \)
43 \( 1 + 10 T + 91 T^{2} - 257 T^{3} - 3226 T^{4} - 22441 T^{5} + 252779 T^{6} + 2823073 T^{7} + 16968644 T^{8} + 23738902 T^{9} - 530423376 T^{10} - 3166320674 T^{11} - 529126860 T^{12} + 328720140209 T^{13} + 58334040442 p T^{14} + 8145409304325 T^{15} - 39872839095784 T^{16} - 441521961413314 T^{17} + 75291704909377 T^{18} + 19388841313681807 T^{19} + 218916839599638775 T^{20} + 19388841313681807 p T^{21} + 75291704909377 p^{2} T^{22} - 441521961413314 p^{3} T^{23} - 39872839095784 p^{4} T^{24} + 8145409304325 p^{5} T^{25} + 58334040442 p^{7} T^{26} + 328720140209 p^{7} T^{27} - 529126860 p^{8} T^{28} - 3166320674 p^{9} T^{29} - 530423376 p^{10} T^{30} + 23738902 p^{11} T^{31} + 16968644 p^{12} T^{32} + 2823073 p^{13} T^{33} + 252779 p^{14} T^{34} - 22441 p^{15} T^{35} - 3226 p^{16} T^{36} - 257 p^{17} T^{37} + 91 p^{18} T^{38} + 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
47 \( ( 1 - 9 T + 223 T^{2} - 1092 T^{3} + 19385 T^{4} - 36344 T^{5} + 954619 T^{6} + 2103922 T^{7} + 30745277 T^{8} + 271708246 T^{9} + 1067850333 T^{10} + 271708246 p T^{11} + 30745277 p^{2} T^{12} + 2103922 p^{3} T^{13} + 954619 p^{4} T^{14} - 36344 p^{5} T^{15} + 19385 p^{6} T^{16} - 1092 p^{7} T^{17} + 223 p^{8} T^{18} - 9 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \)
53 \( 1 + 20 T + 117 T^{2} + 622 T^{3} + 8896 T^{4} + 78413 T^{5} + 1115806 T^{6} + 11705961 T^{7} + 62446275 T^{8} + 578066846 T^{9} + 5972722952 T^{10} + 45182149146 T^{11} + 450779097632 T^{12} + 3414131484862 T^{13} + 20638428279835 T^{14} + 197427739899474 T^{15} + 1673405149727872 T^{16} + 12002847865254305 T^{17} + 97791284611765192 T^{18} + 665989007866401935 T^{19} + 4148608069835744201 T^{20} + 665989007866401935 p T^{21} + 97791284611765192 p^{2} T^{22} + 12002847865254305 p^{3} T^{23} + 1673405149727872 p^{4} T^{24} + 197427739899474 p^{5} T^{25} + 20638428279835 p^{6} T^{26} + 3414131484862 p^{7} T^{27} + 450779097632 p^{8} T^{28} + 45182149146 p^{9} T^{29} + 5972722952 p^{10} T^{30} + 578066846 p^{11} T^{31} + 62446275 p^{12} T^{32} + 11705961 p^{13} T^{33} + 1115806 p^{14} T^{34} + 78413 p^{15} T^{35} + 8896 p^{16} T^{36} + 622 p^{17} T^{37} + 117 p^{18} T^{38} + 20 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
59 \( 1 - 40 T + 772 T^{2} - 10471 T^{3} + 122421 T^{4} - 1306750 T^{5} + 12666931 T^{6} - 115983367 T^{7} + 1045938932 T^{8} - 9255061427 T^{9} + 80626549871 T^{10} - 702471181162 T^{11} + 6062275460194 T^{12} - 51415989701445 T^{13} + 432854214994066 T^{14} - 3610183175840950 T^{15} + 29552195738175458 T^{16} - 238327424416856937 T^{17} + 1900524880687057331 T^{18} - 14912996658279474989 T^{19} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( T^{20} - 14912996658279474989 p T^{21} + 1900524880687057331 p^{2} T^{22} - 238327424416856937 p^{3} T^{23} + 29552195738175458 p^{4} T^{24} - 3610183175840950 p^{5} T^{25} + 432854214994066 p^{6} T^{26} - 51415989701445 p^{7} T^{27} + 6062275460194 p^{8} T^{28} - 702471181162 p^{9} T^{29} + 80626549871 p^{10} T^{30} - 9255061427 p^{11} T^{31} + 1045938932 p^{12} T^{32} - 115983367 p^{13} T^{33} + 12666931 p^{14} T^{34} - 1306750 p^{15} T^{35} + 122421 p^{16} T^{36} - 10471 p^{17} T^{37} + 772 p^{18} T^{38} - 40 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
61 \( 1 + 12 T - 13 T^{2} - 2045 T^{3} - 14422 T^{4} + 84890 T^{5} + 1678904 T^{6} + 447986 T^{7} - 126689673 T^{8} - 521180968 T^{9} + 8630664571 T^{10} + 77092835127 T^{11} - 267050301719 T^{12} - 6589588455018 T^{13} - 7760790099636 T^{14} + 389593102732596 T^{15} + 1899843128805527 T^{16} - 18828406476775034 T^{17} - 192400387510422597 T^{18} + 441026245860923536 T^{19} + 13992233675472924279 T^{20} + 441026245860923536 p T^{21} - 192400387510422597 p^{2} T^{22} - 18828406476775034 p^{3} T^{23} + 1899843128805527 p^{4} T^{24} + 389593102732596 p^{5} T^{25} - 7760790099636 p^{6} T^{26} - 6589588455018 p^{7} T^{27} - 267050301719 p^{8} T^{28} + 77092835127 p^{9} T^{29} + 8630664571 p^{10} T^{30} - 521180968 p^{11} T^{31} - 126689673 p^{12} T^{32} + 447986 p^{13} T^{33} + 1678904 p^{14} T^{34} + 84890 p^{15} T^{35} - 14422 p^{16} T^{36} - 2045 p^{17} T^{37} - 13 p^{18} T^{38} + 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
67 \( 1 + 47 T + 830 T^{2} + 3306 T^{3} - 115164 T^{4} - 2043563 T^{5} - 7610937 T^{6} + 176649515 T^{7} + 2718504481 T^{8} + 8356349750 T^{9} - 190848072040 T^{10} - 2636831528267 T^{11} - 8066567500768 T^{12} + 149253013160647 T^{13} + 2049503620380215 T^{14} + 6984891077477852 T^{15} - 94743970599328875 T^{16} - 1378026956301591599 T^{17} - 5304112504692330150 T^{18} + 51737611738365203100 T^{19} + \)\(81\!\cdots\!17\)\( T^{20} + 51737611738365203100 p T^{21} - 5304112504692330150 p^{2} T^{22} - 1378026956301591599 p^{3} T^{23} - 94743970599328875 p^{4} T^{24} + 6984891077477852 p^{5} T^{25} + 2049503620380215 p^{6} T^{26} + 149253013160647 p^{7} T^{27} - 8066567500768 p^{8} T^{28} - 2636831528267 p^{9} T^{29} - 190848072040 p^{10} T^{30} + 8356349750 p^{11} T^{31} + 2718504481 p^{12} T^{32} + 176649515 p^{13} T^{33} - 7610937 p^{14} T^{34} - 2043563 p^{15} T^{35} - 115164 p^{16} T^{36} + 3306 p^{17} T^{37} + 830 p^{18} T^{38} + 47 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
71 \( 1 + 47 T + 1161 T^{2} + 20275 T^{3} + 273138 T^{4} + 2958109 T^{5} + 26841572 T^{6} + 212868316 T^{7} + 1558600421 T^{8} + 11090222170 T^{9} + 74059930119 T^{10} + 382334882097 T^{11} + 391727893060 T^{12} - 22370878866678 T^{13} - 352398624400497 T^{14} - 3618350474414493 T^{15} - 31431651423334622 T^{16} - 264950093518172464 T^{17} - 2344946885318623130 T^{18} - 21245502554957970599 T^{19} - \)\(18\!\cdots\!67\)\( T^{20} - 21245502554957970599 p T^{21} - 2344946885318623130 p^{2} T^{22} - 264950093518172464 p^{3} T^{23} - 31431651423334622 p^{4} T^{24} - 3618350474414493 p^{5} T^{25} - 352398624400497 p^{6} T^{26} - 22370878866678 p^{7} T^{27} + 391727893060 p^{8} T^{28} + 382334882097 p^{9} T^{29} + 74059930119 p^{10} T^{30} + 11090222170 p^{11} T^{31} + 1558600421 p^{12} T^{32} + 212868316 p^{13} T^{33} + 26841572 p^{14} T^{34} + 2958109 p^{15} T^{35} + 273138 p^{16} T^{36} + 20275 p^{17} T^{37} + 1161 p^{18} T^{38} + 47 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
73 \( 1 - 39 T + 475 T^{2} - 59 T^{3} - 31906 T^{4} - 73043 T^{5} + 3977518 T^{6} - 6589619 T^{7} - 4317410 p T^{8} + 2607763654 T^{9} - 2742387836 T^{10} - 45315093495 T^{11} - 719042258303 T^{12} + 14894896953516 T^{13} - 49785043914832 T^{14} - 513185570298028 T^{15} + 2907135279677852 T^{16} - 81872669570255 T^{17} + 252429979534387599 T^{18} - 4055642334646234246 T^{19} + 35163304169799359425 T^{20} - 4055642334646234246 p T^{21} + 252429979534387599 p^{2} T^{22} - 81872669570255 p^{3} T^{23} + 2907135279677852 p^{4} T^{24} - 513185570298028 p^{5} T^{25} - 49785043914832 p^{6} T^{26} + 14894896953516 p^{7} T^{27} - 719042258303 p^{8} T^{28} - 45315093495 p^{9} T^{29} - 2742387836 p^{10} T^{30} + 2607763654 p^{11} T^{31} - 4317410 p^{13} T^{32} - 6589619 p^{13} T^{33} + 3977518 p^{14} T^{34} - 73043 p^{15} T^{35} - 31906 p^{16} T^{36} - 59 p^{17} T^{37} + 475 p^{18} T^{38} - 39 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
79 \( 1 + 2 T - 107 T^{2} - 2258 T^{3} + 2272 T^{4} + 134296 T^{5} + 1964245 T^{6} + 2002198 T^{7} + 15995617 T^{8} - 1699278196 T^{9} - 14256927970 T^{10} - 89568274554 T^{11} + 1755218771943 T^{12} + 13191187094758 T^{13} + 84962403916589 T^{14} - 775800563802818 T^{15} - 5646492785355210 T^{16} - 127237275844886718 T^{17} - 219658227030562573 T^{18} + 3737182810757354574 T^{19} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{20} + 3737182810757354574 p T^{21} - 219658227030562573 p^{2} T^{22} - 127237275844886718 p^{3} T^{23} - 5646492785355210 p^{4} T^{24} - 775800563802818 p^{5} T^{25} + 84962403916589 p^{6} T^{26} + 13191187094758 p^{7} T^{27} + 1755218771943 p^{8} T^{28} - 89568274554 p^{9} T^{29} - 14256927970 p^{10} T^{30} - 1699278196 p^{11} T^{31} + 15995617 p^{12} T^{32} + 2002198 p^{13} T^{33} + 1964245 p^{14} T^{34} + 134296 p^{15} T^{35} + 2272 p^{16} T^{36} - 2258 p^{17} T^{37} - 107 p^{18} T^{38} + 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
83 \( 1 + 52 T + 13 p T^{2} + 8242 T^{3} - 72940 T^{4} - 2012552 T^{5} - 9533063 T^{6} + 139247064 T^{7} + 1395233151 T^{8} - 15663157308 T^{9} - 316442273056 T^{10} - 337027468844 T^{11} + 34978032464597 T^{12} + 309207219767308 T^{13} - 862635333364603 T^{14} - 28320107266818642 T^{15} - 49097760715686140 T^{16} + 2413685170986624612 T^{17} + 18298274481676007885 T^{18} - \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{19} - \)\(26\!\cdots\!85\)\( T^{20} - \)\(12\!\cdots\!80\)\( p T^{21} + 18298274481676007885 p^{2} T^{22} + 2413685170986624612 p^{3} T^{23} - 49097760715686140 p^{4} T^{24} - 28320107266818642 p^{5} T^{25} - 862635333364603 p^{6} T^{26} + 309207219767308 p^{7} T^{27} + 34978032464597 p^{8} T^{28} - 337027468844 p^{9} T^{29} - 316442273056 p^{10} T^{30} - 15663157308 p^{11} T^{31} + 1395233151 p^{12} T^{32} + 139247064 p^{13} T^{33} - 9533063 p^{14} T^{34} - 2012552 p^{15} T^{35} - 72940 p^{16} T^{36} + 8242 p^{17} T^{37} + 13 p^{19} T^{38} + 52 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
89 \( 1 - 36 T + 490 T^{2} - 2751 T^{3} + 22851 T^{4} - 742414 T^{5} + 10435922 T^{6} - 47824326 T^{7} + 26845001 T^{8} - 5953605100 T^{9} + 105610285239 T^{10} - 313420752194 T^{11} - 3841330076518 T^{12} - 20434026917578 T^{13} + 788977542172424 T^{14} - 836942827599200 T^{15} - 60574302897987015 T^{16} + 28176019369707727 T^{17} + 5432345661544072149 T^{18} + 3732622352211319090 T^{19} - \)\(56\!\cdots\!51\)\( T^{20} + 3732622352211319090 p T^{21} + 5432345661544072149 p^{2} T^{22} + 28176019369707727 p^{3} T^{23} - 60574302897987015 p^{4} T^{24} - 836942827599200 p^{5} T^{25} + 788977542172424 p^{6} T^{26} - 20434026917578 p^{7} T^{27} - 3841330076518 p^{8} T^{28} - 313420752194 p^{9} T^{29} + 105610285239 p^{10} T^{30} - 5953605100 p^{11} T^{31} + 26845001 p^{12} T^{32} - 47824326 p^{13} T^{33} + 10435922 p^{14} T^{34} - 742414 p^{15} T^{35} + 22851 p^{16} T^{36} - 2751 p^{17} T^{37} + 490 p^{18} T^{38} - 36 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
97 \( 1 - 182 T^{2} - 352 T^{3} + 25761 T^{4} + 14322 T^{5} - 913619 T^{6} + 10067486 T^{7} - 6325979 T^{8} - 3137212760 T^{9} + 7476471432 T^{10} + 4928523094 p T^{11} + 455674419667 T^{12} - 38939224654473 T^{13} - 11462546095914 T^{14} + 1874354827810157 T^{15} - 15537571528818353 T^{16} + 57415673036673556 T^{17} + 4334807723348411089 T^{18} - 2104090327723801692 T^{19} - \)\(52\!\cdots\!97\)\( T^{20} - 2104090327723801692 p T^{21} + 4334807723348411089 p^{2} T^{22} + 57415673036673556 p^{3} T^{23} - 15537571528818353 p^{4} T^{24} + 1874354827810157 p^{5} T^{25} - 11462546095914 p^{6} T^{26} - 38939224654473 p^{7} T^{27} + 455674419667 p^{8} T^{28} + 4928523094 p^{10} T^{29} + 7476471432 p^{10} T^{30} - 3137212760 p^{11} T^{31} - 6325979 p^{12} T^{32} + 10067486 p^{13} T^{33} - 913619 p^{14} T^{34} + 14322 p^{15} T^{35} + 25761 p^{16} T^{36} - 352 p^{17} T^{37} - 182 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.24049378106564740804285567044, −4.22989671920389193135822620658, −4.16850659623982714120888986580, −3.78900843612807743279407843753, −3.75935971435840361567807914181, −3.73274870472234246596547930638, −3.52415423486417004343210322678, −3.50005111442000276190688462611, −3.47652693971208393461936793251, −3.38565853700966709840619747550, −3.22966776821655297302951739269, −3.09069568170806516868877563379, −2.96610049603749321884033439911, −2.95234937670013805641573955137, −2.82825597089822564979806938450, −2.78709468377455288976040547982, −2.68346020808410436689181169116, −2.54658940710343168413876324229, −2.16168548601745297890759846176, −2.11753764463620025196344524282, −2.11059027743469470837226898081, −1.65095493593113974458117140054, −1.35185513953638859054842203424, −0.999569432276039913572734679715, −0.66629912167542182948984053402, 0.66629912167542182948984053402, 0.999569432276039913572734679715, 1.35185513953638859054842203424, 1.65095493593113974458117140054, 2.11059027743469470837226898081, 2.11753764463620025196344524282, 2.16168548601745297890759846176, 2.54658940710343168413876324229, 2.68346020808410436689181169116, 2.78709468377455288976040547982, 2.82825597089822564979806938450, 2.95234937670013805641573955137, 2.96610049603749321884033439911, 3.09069568170806516868877563379, 3.22966776821655297302951739269, 3.38565853700966709840619747550, 3.47652693971208393461936793251, 3.50005111442000276190688462611, 3.52415423486417004343210322678, 3.73274870472234246596547930638, 3.75935971435840361567807914181, 3.78900843612807743279407843753, 4.16850659623982714120888986580, 4.22989671920389193135822620658, 4.24049378106564740804285567044

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.