Properties

Label 40-690e20-1.1-c1e20-0-0
Degree $40$
Conductor $5.984\times 10^{56}$
Sign $1$
Analytic cond. $6.64544\times 10^{14}$
Root an. cond. $2.34727$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2·2-s + 2·3-s + 4-s − 2·5-s − 4·6-s + 2·7-s + 9-s + 4·10-s − 24·11-s + 2·12-s − 4·13-s − 4·14-s − 4·15-s + 16·17-s − 2·18-s + 14·19-s − 2·20-s + 4·21-s + 48·22-s − 2·23-s + 25-s + 8·26-s + 2·28-s + 18·29-s + 8·30-s + 22·31-s − 48·33-s + ⋯
L(s)  = 1  − 1.41·2-s + 1.15·3-s + 1/2·4-s − 0.894·5-s − 1.63·6-s + 0.755·7-s + 1/3·9-s + 1.26·10-s − 7.23·11-s + 0.577·12-s − 1.10·13-s − 1.06·14-s − 1.03·15-s + 3.88·17-s − 0.471·18-s + 3.21·19-s − 0.447·20-s + 0.872·21-s + 10.2·22-s − 0.417·23-s + 1/5·25-s + 1.56·26-s + 0.377·28-s + 3.34·29-s + 1.46·30-s + 3.95·31-s − 8.35·33-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(40\)
Conductor: \(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.64544\times 10^{14}\)
Root analytic conductor: \(2.34727\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{690} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((40,\ 2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(0.2332544698\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.2332544698\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} )^{2} \)
3 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} )^{2} \)
5 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} )^{2} \)
23 \( 1 + 2 T + 113 T^{2} + 4 p T^{3} + 5901 T^{4} - 5054 T^{5} + 183751 T^{6} - 593486 T^{7} + 4003305 T^{8} - 24795486 T^{9} + 82913127 T^{10} - 24795486 p T^{11} + 4003305 p^{2} T^{12} - 593486 p^{3} T^{13} + 183751 p^{4} T^{14} - 5054 p^{5} T^{15} + 5901 p^{6} T^{16} + 4 p^{8} T^{17} + 113 p^{8} T^{18} + 2 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \)
good7 \( 1 - 2 T + 6 T^{2} + 25 T^{3} - 136 T^{4} + 380 T^{5} - 334 T^{6} - 1501 T^{7} + 9057 T^{8} - 23466 T^{9} + 24854 T^{10} + 27697 T^{11} - 45895 p T^{12} + 799410 T^{13} - 1424435 T^{14} + 694899 T^{15} - 998369 T^{16} - 13440592 T^{17} + 27772656 T^{18} - 79948908 T^{19} + 363650067 T^{20} - 79948908 p T^{21} + 27772656 p^{2} T^{22} - 13440592 p^{3} T^{23} - 998369 p^{4} T^{24} + 694899 p^{5} T^{25} - 1424435 p^{6} T^{26} + 799410 p^{7} T^{27} - 45895 p^{9} T^{28} + 27697 p^{9} T^{29} + 24854 p^{10} T^{30} - 23466 p^{11} T^{31} + 9057 p^{12} T^{32} - 1501 p^{13} T^{33} - 334 p^{14} T^{34} + 380 p^{15} T^{35} - 136 p^{16} T^{36} + 25 p^{17} T^{37} + 6 p^{18} T^{38} - 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
11 \( 1 + 24 T + 251 T^{2} + 1480 T^{3} + 5271 T^{4} + 9670 T^{5} - 19722 T^{6} - 299380 T^{7} - 1595454 T^{8} - 4889504 T^{9} - 7713069 T^{10} + 9333608 T^{11} + 158508935 T^{12} + 865281312 T^{13} + 2830609802 T^{14} + 6487642622 T^{15} + 12044622578 T^{16} - 4705095710 T^{17} - 201001783650 T^{18} - 944663790814 T^{19} - 3126900253861 T^{20} - 944663790814 p T^{21} - 201001783650 p^{2} T^{22} - 4705095710 p^{3} T^{23} + 12044622578 p^{4} T^{24} + 6487642622 p^{5} T^{25} + 2830609802 p^{6} T^{26} + 865281312 p^{7} T^{27} + 158508935 p^{8} T^{28} + 9333608 p^{9} T^{29} - 7713069 p^{10} T^{30} - 4889504 p^{11} T^{31} - 1595454 p^{12} T^{32} - 299380 p^{13} T^{33} - 19722 p^{14} T^{34} + 9670 p^{15} T^{35} + 5271 p^{16} T^{36} + 1480 p^{17} T^{37} + 251 p^{18} T^{38} + 24 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
13 \( 1 + 4 T - 3 T^{2} + 41 T^{3} + 744 T^{4} + 116 p T^{5} + 849 T^{6} + 42110 T^{7} + 225164 T^{8} + 16530 p T^{9} + 1633389 T^{10} + 16389588 T^{11} + 38140198 T^{12} + 2603480 p T^{13} + 56563281 p T^{14} + 3601355013 T^{15} + 316604942 p T^{16} + 16906325928 T^{17} + 186632841936 T^{18} + 480369192942 T^{19} + 466419915919 T^{20} + 480369192942 p T^{21} + 186632841936 p^{2} T^{22} + 16906325928 p^{3} T^{23} + 316604942 p^{5} T^{24} + 3601355013 p^{5} T^{25} + 56563281 p^{7} T^{26} + 2603480 p^{8} T^{27} + 38140198 p^{8} T^{28} + 16389588 p^{9} T^{29} + 1633389 p^{10} T^{30} + 16530 p^{12} T^{31} + 225164 p^{12} T^{32} + 42110 p^{13} T^{33} + 849 p^{14} T^{34} + 116 p^{16} T^{35} + 744 p^{16} T^{36} + 41 p^{17} T^{37} - 3 p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
17 \( 1 - 16 T + 109 T^{2} - 456 T^{3} + 2354 T^{4} - 19229 T^{5} + 7345 p T^{6} - 556040 T^{7} + 2280418 T^{8} - 12800138 T^{9} + 75773657 T^{10} - 355622276 T^{11} + 84724356 p T^{12} - 6541990429 T^{13} + 33418383631 T^{14} - 156171606794 T^{15} + 648170131234 T^{16} - 2684153500646 T^{17} + 11750134275850 T^{18} - 51289399362174 T^{19} + 215333663639527 T^{20} - 51289399362174 p T^{21} + 11750134275850 p^{2} T^{22} - 2684153500646 p^{3} T^{23} + 648170131234 p^{4} T^{24} - 156171606794 p^{5} T^{25} + 33418383631 p^{6} T^{26} - 6541990429 p^{7} T^{27} + 84724356 p^{9} T^{28} - 355622276 p^{9} T^{29} + 75773657 p^{10} T^{30} - 12800138 p^{11} T^{31} + 2280418 p^{12} T^{32} - 556040 p^{13} T^{33} + 7345 p^{15} T^{34} - 19229 p^{15} T^{35} + 2354 p^{16} T^{36} - 456 p^{17} T^{37} + 109 p^{18} T^{38} - 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
19 \( 1 - 14 T + 109 T^{2} - 530 T^{3} + 1707 T^{4} + 208 T^{5} - 55884 T^{6} + 540576 T^{7} - 3267722 T^{8} + 14053476 T^{9} - 38972825 T^{10} - 4853342 T^{11} + 1009305681 T^{12} - 8572541450 T^{13} + 47335866584 T^{14} - 188763968022 T^{15} + 492872606624 T^{16} + 16233962152 T^{17} - 10202093638940 T^{18} + 80347231659954 T^{19} - 409630024392269 T^{20} + 80347231659954 p T^{21} - 10202093638940 p^{2} T^{22} + 16233962152 p^{3} T^{23} + 492872606624 p^{4} T^{24} - 188763968022 p^{5} T^{25} + 47335866584 p^{6} T^{26} - 8572541450 p^{7} T^{27} + 1009305681 p^{8} T^{28} - 4853342 p^{9} T^{29} - 38972825 p^{10} T^{30} + 14053476 p^{11} T^{31} - 3267722 p^{12} T^{32} + 540576 p^{13} T^{33} - 55884 p^{14} T^{34} + 208 p^{15} T^{35} + 1707 p^{16} T^{36} - 530 p^{17} T^{37} + 109 p^{18} T^{38} - 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
29 \( 1 - 18 T + 130 T^{2} - 888 T^{3} + 10033 T^{4} - 92834 T^{5} + 647494 T^{6} - 4435412 T^{7} + 33619763 T^{8} - 247786274 T^{9} + 1627499276 T^{10} - 10228495932 T^{11} + 66113323369 T^{12} - 425157139242 T^{13} + 2614376431726 T^{14} - 15233716656632 T^{15} + 87726465095113 T^{16} - 519012531196070 T^{17} + 2985109871244702 T^{18} - 16092699033873288 T^{19} + 85532273899430323 T^{20} - 16092699033873288 p T^{21} + 2985109871244702 p^{2} T^{22} - 519012531196070 p^{3} T^{23} + 87726465095113 p^{4} T^{24} - 15233716656632 p^{5} T^{25} + 2614376431726 p^{6} T^{26} - 425157139242 p^{7} T^{27} + 66113323369 p^{8} T^{28} - 10228495932 p^{9} T^{29} + 1627499276 p^{10} T^{30} - 247786274 p^{11} T^{31} + 33619763 p^{12} T^{32} - 4435412 p^{13} T^{33} + 647494 p^{14} T^{34} - 92834 p^{15} T^{35} + 10033 p^{16} T^{36} - 888 p^{17} T^{37} + 130 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
31 \( 1 - 22 T + 114 T^{2} + 1210 T^{3} - 17929 T^{4} + 50138 T^{5} + 532982 T^{6} - 4734004 T^{7} + 5829893 T^{8} + 102553264 T^{9} - 500896820 T^{10} - 1079988888 T^{11} + 15819979843 T^{12} + 5491966370 T^{13} - 681194752094 T^{14} + 2768895241750 T^{15} + 11546052526475 T^{16} - 144437363058626 T^{17} + 374995788805016 T^{18} + 2085800101690140 T^{19} - 22150562218660227 T^{20} + 2085800101690140 p T^{21} + 374995788805016 p^{2} T^{22} - 144437363058626 p^{3} T^{23} + 11546052526475 p^{4} T^{24} + 2768895241750 p^{5} T^{25} - 681194752094 p^{6} T^{26} + 5491966370 p^{7} T^{27} + 15819979843 p^{8} T^{28} - 1079988888 p^{9} T^{29} - 500896820 p^{10} T^{30} + 102553264 p^{11} T^{31} + 5829893 p^{12} T^{32} - 4734004 p^{13} T^{33} + 532982 p^{14} T^{34} + 50138 p^{15} T^{35} - 17929 p^{16} T^{36} + 1210 p^{17} T^{37} + 114 p^{18} T^{38} - 22 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
37 \( 1 + 16 T + 58 T^{2} - 515 T^{3} - 5219 T^{4} - 9373 T^{5} + 27938 T^{6} - 814538 T^{7} - 11561210 T^{8} - 31423454 T^{9} + 408547211 T^{10} + 3568666046 T^{11} + 151142455 p T^{12} - 23459255207 T^{13} + 325701860054 T^{14} + 4718435790795 T^{15} + 13340163986065 T^{16} - 121342928029286 T^{17} - 1177730049770878 T^{18} - 2601611076696046 T^{19} + 6285939806544495 T^{20} - 2601611076696046 p T^{21} - 1177730049770878 p^{2} T^{22} - 121342928029286 p^{3} T^{23} + 13340163986065 p^{4} T^{24} + 4718435790795 p^{5} T^{25} + 325701860054 p^{6} T^{26} - 23459255207 p^{7} T^{27} + 151142455 p^{9} T^{28} + 3568666046 p^{9} T^{29} + 408547211 p^{10} T^{30} - 31423454 p^{11} T^{31} - 11561210 p^{12} T^{32} - 814538 p^{13} T^{33} + 27938 p^{14} T^{34} - 9373 p^{15} T^{35} - 5219 p^{16} T^{36} - 515 p^{17} T^{37} + 58 p^{18} T^{38} + 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
41 \( 1 - 29 T + 480 T^{2} - 6378 T^{3} + 75282 T^{4} - 789176 T^{5} + 7478390 T^{6} - 66303407 T^{7} + 554514272 T^{8} - 4343409858 T^{9} + 32141705507 T^{10} - 5527236857 p T^{11} + 1510712777509 T^{12} - 9486183849190 T^{13} + 56631471264245 T^{14} - 320446766876402 T^{15} + 1699652287322009 T^{16} - 8585425425243023 T^{17} + 42800136756374410 T^{18} - 218151683518473020 T^{19} + 1256643060949224039 T^{20} - 218151683518473020 p T^{21} + 42800136756374410 p^{2} T^{22} - 8585425425243023 p^{3} T^{23} + 1699652287322009 p^{4} T^{24} - 320446766876402 p^{5} T^{25} + 56631471264245 p^{6} T^{26} - 9486183849190 p^{7} T^{27} + 1510712777509 p^{8} T^{28} - 5527236857 p^{10} T^{29} + 32141705507 p^{10} T^{30} - 4343409858 p^{11} T^{31} + 554514272 p^{12} T^{32} - 66303407 p^{13} T^{33} + 7478390 p^{14} T^{34} - 789176 p^{15} T^{35} + 75282 p^{16} T^{36} - 6378 p^{17} T^{37} + 480 p^{18} T^{38} - 29 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
43 \( 1 + 22 T + 9 p T^{2} + 4466 T^{3} + 47710 T^{4} + 391776 T^{5} + 3076286 T^{6} + 17818537 T^{7} + 97460434 T^{8} + 186474420 T^{9} - 1047837037 T^{10} - 33283926335 T^{11} - 280425825695 T^{12} - 2512399654732 T^{13} - 13071187538423 T^{14} - 75847077612460 T^{15} - 81472159868156 T^{16} + 796159053796986 T^{17} + 571509840034024 p T^{18} + 181831557658847448 T^{19} + 1608954670550744913 T^{20} + 181831557658847448 p T^{21} + 571509840034024 p^{3} T^{22} + 796159053796986 p^{3} T^{23} - 81472159868156 p^{4} T^{24} - 75847077612460 p^{5} T^{25} - 13071187538423 p^{6} T^{26} - 2512399654732 p^{7} T^{27} - 280425825695 p^{8} T^{28} - 33283926335 p^{9} T^{29} - 1047837037 p^{10} T^{30} + 186474420 p^{11} T^{31} + 97460434 p^{12} T^{32} + 17818537 p^{13} T^{33} + 3076286 p^{14} T^{34} + 391776 p^{15} T^{35} + 47710 p^{16} T^{36} + 4466 p^{17} T^{37} + 9 p^{19} T^{38} + 22 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
47 \( ( 1 + p T + 1282 T^{2} + 24825 T^{3} + 378343 T^{4} + 4765420 T^{5} + 51429340 T^{6} + 487364709 T^{7} + 4141897598 T^{8} + 32062963778 T^{9} + 228633307781 T^{10} + 32062963778 p T^{11} + 4141897598 p^{2} T^{12} + 487364709 p^{3} T^{13} + 51429340 p^{4} T^{14} + 4765420 p^{5} T^{15} + 378343 p^{6} T^{16} + 24825 p^{7} T^{17} + 1282 p^{8} T^{18} + p^{10} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \)
53 \( 1 - 58 T + 1561 T^{2} - 26262 T^{3} + 5933 p T^{4} - 2857786 T^{5} + 19733220 T^{6} - 91872446 T^{7} + 99303592 T^{8} + 2902075628 T^{9} - 31060723349 T^{10} + 151264412432 T^{11} + 199537943941 T^{12} - 11865260279760 T^{13} + 136414915560526 T^{14} - 1069496246588982 T^{15} + 6739872379430928 T^{16} - 36880440431125112 T^{17} + 187530016707959424 T^{18} - 993902748709820072 T^{19} + 6365747827348832595 T^{20} - 993902748709820072 p T^{21} + 187530016707959424 p^{2} T^{22} - 36880440431125112 p^{3} T^{23} + 6739872379430928 p^{4} T^{24} - 1069496246588982 p^{5} T^{25} + 136414915560526 p^{6} T^{26} - 11865260279760 p^{7} T^{27} + 199537943941 p^{8} T^{28} + 151264412432 p^{9} T^{29} - 31060723349 p^{10} T^{30} + 2902075628 p^{11} T^{31} + 99303592 p^{12} T^{32} - 91872446 p^{13} T^{33} + 19733220 p^{14} T^{34} - 2857786 p^{15} T^{35} + 5933 p^{17} T^{36} - 26262 p^{17} T^{37} + 1561 p^{18} T^{38} - 58 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
59 \( 1 - 45 T + 1037 T^{2} - 16245 T^{3} + 194626 T^{4} - 1881754 T^{5} + 14787410 T^{6} - 89523138 T^{7} + 333079427 T^{8} + 443628269 T^{9} - 17635547396 T^{10} + 108898323541 T^{11} + 541466806357 T^{12} - 20807188982717 T^{13} + 285732198720847 T^{14} - 2726096328284928 T^{15} + 19679243133422458 T^{16} - 102620846079668472 T^{17} + 266720529387930446 T^{18} + 1388711607385695887 T^{19} - 21025121450764093610 T^{20} + 1388711607385695887 p T^{21} + 266720529387930446 p^{2} T^{22} - 102620846079668472 p^{3} T^{23} + 19679243133422458 p^{4} T^{24} - 2726096328284928 p^{5} T^{25} + 285732198720847 p^{6} T^{26} - 20807188982717 p^{7} T^{27} + 541466806357 p^{8} T^{28} + 108898323541 p^{9} T^{29} - 17635547396 p^{10} T^{30} + 443628269 p^{11} T^{31} + 333079427 p^{12} T^{32} - 89523138 p^{13} T^{33} + 14787410 p^{14} T^{34} - 1881754 p^{15} T^{35} + 194626 p^{16} T^{36} - 16245 p^{17} T^{37} + 1037 p^{18} T^{38} - 45 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
61 \( 1 - T - 173 T^{2} + 187 T^{3} + 19721 T^{4} + 30556 T^{5} - 1764543 T^{6} - 5403907 T^{7} + 134628922 T^{8} + 561018712 T^{9} - 8349026429 T^{10} - 32379933165 T^{11} + 534224610570 T^{12} + 1060455169454 T^{13} - 34427202602950 T^{14} + 8670414739483 T^{15} + 2823689534450920 T^{16} - 2115330854732139 T^{17} - 215470912436687278 T^{18} + 115475754706469900 T^{19} + 14486412544808185599 T^{20} + 115475754706469900 p T^{21} - 215470912436687278 p^{2} T^{22} - 2115330854732139 p^{3} T^{23} + 2823689534450920 p^{4} T^{24} + 8670414739483 p^{5} T^{25} - 34427202602950 p^{6} T^{26} + 1060455169454 p^{7} T^{27} + 534224610570 p^{8} T^{28} - 32379933165 p^{9} T^{29} - 8349026429 p^{10} T^{30} + 561018712 p^{11} T^{31} + 134628922 p^{12} T^{32} - 5403907 p^{13} T^{33} - 1764543 p^{14} T^{34} + 30556 p^{15} T^{35} + 19721 p^{16} T^{36} + 187 p^{17} T^{37} - 173 p^{18} T^{38} - p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
67 \( 1 - 16 T + 322 T^{2} - 2132 T^{3} + 10904 T^{4} + 185864 T^{5} - 2426774 T^{6} + 15788064 T^{7} + 118346364 T^{8} - 3110848548 T^{9} + 29884859921 T^{10} - 86459463494 T^{11} - 1495734920289 T^{12} + 23806521068802 T^{13} - 139955598794927 T^{14} - 400273101410112 T^{15} + 222804449148689 p T^{16} - 135428954608184424 T^{17} + 267307081644041796 T^{18} + 6098665461142818486 T^{19} - 87190105574138576467 T^{20} + 6098665461142818486 p T^{21} + 267307081644041796 p^{2} T^{22} - 135428954608184424 p^{3} T^{23} + 222804449148689 p^{5} T^{24} - 400273101410112 p^{5} T^{25} - 139955598794927 p^{6} T^{26} + 23806521068802 p^{7} T^{27} - 1495734920289 p^{8} T^{28} - 86459463494 p^{9} T^{29} + 29884859921 p^{10} T^{30} - 3110848548 p^{11} T^{31} + 118346364 p^{12} T^{32} + 15788064 p^{13} T^{33} - 2426774 p^{14} T^{34} + 185864 p^{15} T^{35} + 10904 p^{16} T^{36} - 2132 p^{17} T^{37} + 322 p^{18} T^{38} - 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
71 \( 1 - 59 T + 1522 T^{2} - 23528 T^{3} + 279887 T^{4} - 3378995 T^{5} + 41985749 T^{6} - 456054978 T^{7} + 4416409019 T^{8} - 44196779582 T^{9} + 451372967704 T^{10} - 4212025987884 T^{11} + 37147404296632 T^{12} - 4804015074869 p T^{13} + 3135834074463048 T^{14} - 26914684873778280 T^{15} + 225082277599724055 T^{16} - 1945085628292281675 T^{17} + 16774016631497291358 T^{18} - \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!25\)\( T^{20} - \)\(13\!\cdots\!02\)\( p T^{21} + 16774016631497291358 p^{2} T^{22} - 1945085628292281675 p^{3} T^{23} + 225082277599724055 p^{4} T^{24} - 26914684873778280 p^{5} T^{25} + 3135834074463048 p^{6} T^{26} - 4804015074869 p^{8} T^{27} + 37147404296632 p^{8} T^{28} - 4212025987884 p^{9} T^{29} + 451372967704 p^{10} T^{30} - 44196779582 p^{11} T^{31} + 4416409019 p^{12} T^{32} - 456054978 p^{13} T^{33} + 41985749 p^{14} T^{34} - 3378995 p^{15} T^{35} + 279887 p^{16} T^{36} - 23528 p^{17} T^{37} + 1522 p^{18} T^{38} - 59 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
73 \( 1 - 3 T + 25 T^{2} - 19 p T^{3} - 4005 T^{4} - 9873 T^{5} + 15849 p T^{6} + 5421003 T^{7} + 63179646 T^{8} - 1112919586 T^{9} - 5108358022 T^{10} - 65751341573 T^{11} + 553931534239 T^{12} + 5128872475511 T^{13} + 66557057811819 T^{14} - 290853920382775 T^{15} - 1933879241916143 T^{16} - 57818666482531725 T^{17} + 28596035149790553 T^{18} + 1058571532321211784 T^{19} + 33006473749631388892 T^{20} + 1058571532321211784 p T^{21} + 28596035149790553 p^{2} T^{22} - 57818666482531725 p^{3} T^{23} - 1933879241916143 p^{4} T^{24} - 290853920382775 p^{5} T^{25} + 66557057811819 p^{6} T^{26} + 5128872475511 p^{7} T^{27} + 553931534239 p^{8} T^{28} - 65751341573 p^{9} T^{29} - 5108358022 p^{10} T^{30} - 1112919586 p^{11} T^{31} + 63179646 p^{12} T^{32} + 5421003 p^{13} T^{33} + 15849 p^{15} T^{34} - 9873 p^{15} T^{35} - 4005 p^{16} T^{36} - 19 p^{18} T^{37} + 25 p^{18} T^{38} - 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
79 \( 1 + 20 T + 291 T^{2} + 4285 T^{3} + 69594 T^{4} + 977691 T^{5} + 12138904 T^{6} + 146277994 T^{7} + 1766106022 T^{8} + 20370994344 T^{9} + 222337708161 T^{10} + 2367385789714 T^{11} + 24789013215287 T^{12} + 251121960640373 T^{13} + 2484505228118481 T^{14} + 24235912304099153 T^{15} + 232278526896271966 T^{16} + 2161299641309444922 T^{17} + 19831122055753892072 T^{18} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( p T^{21} + 19831122055753892072 p^{2} T^{22} + 2161299641309444922 p^{3} T^{23} + 232278526896271966 p^{4} T^{24} + 24235912304099153 p^{5} T^{25} + 2484505228118481 p^{6} T^{26} + 251121960640373 p^{7} T^{27} + 24789013215287 p^{8} T^{28} + 2367385789714 p^{9} T^{29} + 222337708161 p^{10} T^{30} + 20370994344 p^{11} T^{31} + 1766106022 p^{12} T^{32} + 146277994 p^{13} T^{33} + 12138904 p^{14} T^{34} + 977691 p^{15} T^{35} + 69594 p^{16} T^{36} + 4285 p^{17} T^{37} + 291 p^{18} T^{38} + 20 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
83 \( 1 - 13 T - 43 T^{2} + 2940 T^{3} - 10350 T^{4} - 269638 T^{5} + 3687885 T^{6} + 6054391 T^{7} - 281705313 T^{8} + 1439238324 T^{9} + 22548994814 T^{10} - 164320641367 T^{11} - 459576524558 T^{12} + 20117842058324 T^{13} + 75627003779451 T^{14} - 2028423084656856 T^{15} + 10727449251995178 T^{16} + 204479260067992419 T^{17} - 1448329335431775462 T^{18} - 5871544819661897120 T^{19} + \)\(22\!\cdots\!47\)\( T^{20} - 5871544819661897120 p T^{21} - 1448329335431775462 p^{2} T^{22} + 204479260067992419 p^{3} T^{23} + 10727449251995178 p^{4} T^{24} - 2028423084656856 p^{5} T^{25} + 75627003779451 p^{6} T^{26} + 20117842058324 p^{7} T^{27} - 459576524558 p^{8} T^{28} - 164320641367 p^{9} T^{29} + 22548994814 p^{10} T^{30} + 1439238324 p^{11} T^{31} - 281705313 p^{12} T^{32} + 6054391 p^{13} T^{33} + 3687885 p^{14} T^{34} - 269638 p^{15} T^{35} - 10350 p^{16} T^{36} + 2940 p^{17} T^{37} - 43 p^{18} T^{38} - 13 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
89 \( 1 + 97 T + 4781 T^{2} + 161227 T^{3} + 4192630 T^{4} + 89535056 T^{5} + 1634081106 T^{6} + 26239972876 T^{7} + 379507767968 T^{8} + 5045504943170 T^{9} + 62811216373431 T^{10} + 744168276306618 T^{11} + 8500883851883633 T^{12} + 94449885033512808 T^{13} + 1024870977890349517 T^{14} + 122111346756382769 p T^{15} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{16} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{17} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( p T^{21} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( p^{2} T^{22} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( p^{3} T^{23} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{4} T^{24} + 122111346756382769 p^{6} T^{25} + 1024870977890349517 p^{6} T^{26} + 94449885033512808 p^{7} T^{27} + 8500883851883633 p^{8} T^{28} + 744168276306618 p^{9} T^{29} + 62811216373431 p^{10} T^{30} + 5045504943170 p^{11} T^{31} + 379507767968 p^{12} T^{32} + 26239972876 p^{13} T^{33} + 1634081106 p^{14} T^{34} + 89535056 p^{15} T^{35} + 4192630 p^{16} T^{36} + 161227 p^{17} T^{37} + 4781 p^{18} T^{38} + 97 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
97 \( 1 + 17 T + 33 T^{2} - 998 T^{3} - 1378 T^{4} + 178754 T^{5} + 3043235 T^{6} + 16866591 T^{7} - 90649897 T^{8} - 1426773908 T^{9} + 10530244168 T^{10} + 179273143151 T^{11} - 477397185976 T^{12} - 11830546490624 T^{13} + 28755924798667 T^{14} + 569344513211668 T^{15} - 5233046945528812 T^{16} - 317208526460248765 T^{17} - 3627426565831835144 T^{18} - 1814354230760586792 T^{19} + \)\(23\!\cdots\!71\)\( T^{20} - 1814354230760586792 p T^{21} - 3627426565831835144 p^{2} T^{22} - 317208526460248765 p^{3} T^{23} - 5233046945528812 p^{4} T^{24} + 569344513211668 p^{5} T^{25} + 28755924798667 p^{6} T^{26} - 11830546490624 p^{7} T^{27} - 477397185976 p^{8} T^{28} + 179273143151 p^{9} T^{29} + 10530244168 p^{10} T^{30} - 1426773908 p^{11} T^{31} - 90649897 p^{12} T^{32} + 16866591 p^{13} T^{33} + 3043235 p^{14} T^{34} + 178754 p^{15} T^{35} - 1378 p^{16} T^{36} - 998 p^{17} T^{37} + 33 p^{18} T^{38} + 17 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.53421896432472704199997534818, −2.31019545977913703573442419808, −2.26186658698314954171373848639, −2.23261681988946454938365304074, −2.12143937470916601533497861528, −2.04795814631186862031085716091, −1.95598324986966265086174153376, −1.87547301934310689834829557665, −1.82886814026443451118144403358, −1.81816075832112091029586533276, −1.80645282787028108185270243876, −1.64272998515101555861153488876, −1.30326820172393733088022027656, −1.15606098920338638604857964165, −1.10931849327668575218135234670, −1.10484603662317498188186419898, −1.05052203823584705247662435382, −1.00310266274271398998255380383, −0.969615477930258690204059001873, −0.959184080015194700616323235944, −0.830308835255917802358902774400, −0.47356397613499002236703220823, −0.28885465152642374237095520585, −0.17424118381430647485102155474, −0.10072976542345400261626545105, 0.10072976542345400261626545105, 0.17424118381430647485102155474, 0.28885465152642374237095520585, 0.47356397613499002236703220823, 0.830308835255917802358902774400, 0.959184080015194700616323235944, 0.969615477930258690204059001873, 1.00310266274271398998255380383, 1.05052203823584705247662435382, 1.10484603662317498188186419898, 1.10931849327668575218135234670, 1.15606098920338638604857964165, 1.30326820172393733088022027656, 1.64272998515101555861153488876, 1.80645282787028108185270243876, 1.81816075832112091029586533276, 1.82886814026443451118144403358, 1.87547301934310689834829557665, 1.95598324986966265086174153376, 2.04795814631186862031085716091, 2.12143937470916601533497861528, 2.23261681988946454938365304074, 2.26186658698314954171373848639, 2.31019545977913703573442419808, 2.53421896432472704199997534818

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.