Properties

Label 40-483e20-1.1-c1e20-0-0
Degree $40$
Conductor $4.775\times 10^{53}$
Sign $1$
Analytic cond. $5.30254\times 10^{11}$
Root an. cond. $1.96386$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4·2-s − 2·3-s + 8·4-s − 5-s + 8·6-s − 2·7-s − 8·8-s + 9-s + 4·10-s + 3·11-s − 16·12-s − 2·13-s + 8·14-s + 2·15-s + 4·16-s + 8·17-s − 4·18-s + 6·19-s − 8·20-s + 4·21-s − 12·22-s + 11·23-s + 16·24-s + 10·25-s + 8·26-s − 16·28-s + 23·29-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.82·2-s − 1.15·3-s + 4·4-s − 0.447·5-s + 3.26·6-s − 0.755·7-s − 2.82·8-s + 1/3·9-s + 1.26·10-s + 0.904·11-s − 4.61·12-s − 0.554·13-s + 2.13·14-s + 0.516·15-s + 16-s + 1.94·17-s − 0.942·18-s + 1.37·19-s − 1.78·20-s + 0.872·21-s − 2.55·22-s + 2.29·23-s + 3.26·24-s + 2·25-s + 1.56·26-s − 3.02·28-s + 4.27·29-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(40\)
Conductor: \(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 23^{20}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(5.30254\times 10^{11}\)
Root analytic conductor: \(1.96386\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{483} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((40,\ 3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 23^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(0.6699781750\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.6699781750\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} )^{2} \)
7 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} )^{2} \)
23 \( 1 - 11 T + 78 T^{2} - 297 T^{3} - 65 T^{4} + 7832 T^{5} - 55505 T^{6} + 173525 T^{7} + 198364 T^{8} - 5434627 T^{9} + 37583943 T^{10} - 5434627 p T^{11} + 198364 p^{2} T^{12} + 173525 p^{3} T^{13} - 55505 p^{4} T^{14} + 7832 p^{5} T^{15} - 65 p^{6} T^{16} - 297 p^{7} T^{17} + 78 p^{8} T^{18} - 11 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \)
good2 \( ( 1 + p T + p T^{2} - p^{2} T^{4} - p^{3} T^{5} - p^{3} T^{6} - 11 T^{7} + 5 T^{8} + 43 T^{9} + 87 T^{10} + 43 p T^{11} + 5 p^{2} T^{12} - 11 p^{3} T^{13} - p^{7} T^{14} - p^{8} T^{15} - p^{8} T^{16} + p^{9} T^{18} + p^{10} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \)
5 \( 1 + T - 9 T^{2} - 14 T^{3} + 12 T^{4} + 16 T^{5} + 139 T^{6} + 279 T^{7} - 231 T^{8} - 114 p T^{9} - 2364 T^{10} - 211 p T^{11} + 25466 T^{12} + 1846 p T^{13} - 115749 T^{14} - 31782 p T^{15} - 49542 T^{16} + 344689 T^{17} + 220986 T^{18} + 1117754 T^{19} + 8296859 T^{20} + 1117754 p T^{21} + 220986 p^{2} T^{22} + 344689 p^{3} T^{23} - 49542 p^{4} T^{24} - 31782 p^{6} T^{25} - 115749 p^{6} T^{26} + 1846 p^{8} T^{27} + 25466 p^{8} T^{28} - 211 p^{10} T^{29} - 2364 p^{10} T^{30} - 114 p^{12} T^{31} - 231 p^{12} T^{32} + 279 p^{13} T^{33} + 139 p^{14} T^{34} + 16 p^{15} T^{35} + 12 p^{16} T^{36} - 14 p^{17} T^{37} - 9 p^{18} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
11 \( 1 - 3 T + 13 T^{2} - 7 T^{3} + 326 T^{4} - 1424 T^{5} + 5906 T^{6} - 7189 T^{7} + 53870 T^{8} - 16400 p T^{9} + 930953 T^{10} - 42855 p T^{11} + 4443575 T^{12} - 649716 T^{13} + 28455336 T^{14} + 328800389 T^{15} - 788473988 T^{16} + 3812199052 T^{17} - 5146449906 T^{18} + 72001675733 T^{19} - 207509502243 T^{20} + 72001675733 p T^{21} - 5146449906 p^{2} T^{22} + 3812199052 p^{3} T^{23} - 788473988 p^{4} T^{24} + 328800389 p^{5} T^{25} + 28455336 p^{6} T^{26} - 649716 p^{7} T^{27} + 4443575 p^{8} T^{28} - 42855 p^{10} T^{29} + 930953 p^{10} T^{30} - 16400 p^{12} T^{31} + 53870 p^{12} T^{32} - 7189 p^{13} T^{33} + 5906 p^{14} T^{34} - 1424 p^{15} T^{35} + 326 p^{16} T^{36} - 7 p^{17} T^{37} + 13 p^{18} T^{38} - 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
13 \( 1 + 2 T - 11 T^{2} - 4 T^{3} - 136 T^{4} - 1661 T^{5} - 99 p T^{6} + 24640 T^{7} + 45600 T^{8} + 162766 T^{9} + 840235 T^{10} - 2608408 T^{11} - 1585750 p T^{12} - 61106419 T^{13} - 1955015 p T^{14} + 49344222 p T^{15} + 3150449470 T^{16} + 7215557894 T^{17} + 17006930534 T^{18} - 6312373540 p T^{19} - 908565525009 T^{20} - 6312373540 p^{2} T^{21} + 17006930534 p^{2} T^{22} + 7215557894 p^{3} T^{23} + 3150449470 p^{4} T^{24} + 49344222 p^{6} T^{25} - 1955015 p^{7} T^{26} - 61106419 p^{7} T^{27} - 1585750 p^{9} T^{28} - 2608408 p^{9} T^{29} + 840235 p^{10} T^{30} + 162766 p^{11} T^{31} + 45600 p^{12} T^{32} + 24640 p^{13} T^{33} - 99 p^{15} T^{34} - 1661 p^{15} T^{35} - 136 p^{16} T^{36} - 4 p^{17} T^{37} - 11 p^{18} T^{38} + 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
17 \( 1 - 8 T + 2 p T^{2} - 80 T^{3} + 507 T^{4} - 4100 T^{5} + 30799 T^{6} - 131142 T^{7} + 484015 T^{8} - 1767605 T^{9} + 11331114 T^{10} - 67158520 T^{11} + 345613886 T^{12} - 1269423171 T^{13} + 4741433514 T^{14} - 20104574853 T^{15} + 113602902076 T^{16} - 555138904936 T^{17} + 2255499518987 T^{18} - 7454484467853 T^{19} + 28442966501263 T^{20} - 7454484467853 p T^{21} + 2255499518987 p^{2} T^{22} - 555138904936 p^{3} T^{23} + 113602902076 p^{4} T^{24} - 20104574853 p^{5} T^{25} + 4741433514 p^{6} T^{26} - 1269423171 p^{7} T^{27} + 345613886 p^{8} T^{28} - 67158520 p^{9} T^{29} + 11331114 p^{10} T^{30} - 1767605 p^{11} T^{31} + 484015 p^{12} T^{32} - 131142 p^{13} T^{33} + 30799 p^{14} T^{34} - 4100 p^{15} T^{35} + 507 p^{16} T^{36} - 80 p^{17} T^{37} + 2 p^{19} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
19 \( 1 - 6 T - 8 T^{3} - 157 T^{4} + 1625 T^{5} + 10036 T^{6} - 23163 T^{7} + 2769 p T^{8} - 1445782 T^{9} - 199028 T^{10} - 16868943 T^{11} + 137313875 T^{12} + 425514627 T^{13} + 658256688 T^{14} - 3385646154 T^{15} - 28696585465 T^{16} - 306713921048 T^{17} + 458093165524 T^{18} + 56044978926 p T^{19} + 21663924386069 T^{20} + 56044978926 p^{2} T^{21} + 458093165524 p^{2} T^{22} - 306713921048 p^{3} T^{23} - 28696585465 p^{4} T^{24} - 3385646154 p^{5} T^{25} + 658256688 p^{6} T^{26} + 425514627 p^{7} T^{27} + 137313875 p^{8} T^{28} - 16868943 p^{9} T^{29} - 199028 p^{10} T^{30} - 1445782 p^{11} T^{31} + 2769 p^{13} T^{32} - 23163 p^{13} T^{33} + 10036 p^{14} T^{34} + 1625 p^{15} T^{35} - 157 p^{16} T^{36} - 8 p^{17} T^{37} - 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
29 \( 1 - 23 T + 215 T^{2} - 1107 T^{3} + 5869 T^{4} - 45200 T^{5} + 166678 T^{6} + 645209 T^{7} - 6688767 T^{8} + 29326882 T^{9} - 403251014 T^{10} + 3705824423 T^{11} - 14460179519 T^{12} + 46370806152 T^{13} - 423008303997 T^{14} + 1648730547648 T^{15} + 7347937199182 T^{16} - 64251623688104 T^{17} + 208021477165534 T^{18} - 2599347885880376 T^{19} + 22536132295283069 T^{20} - 2599347885880376 p T^{21} + 208021477165534 p^{2} T^{22} - 64251623688104 p^{3} T^{23} + 7347937199182 p^{4} T^{24} + 1648730547648 p^{5} T^{25} - 423008303997 p^{6} T^{26} + 46370806152 p^{7} T^{27} - 14460179519 p^{8} T^{28} + 3705824423 p^{9} T^{29} - 403251014 p^{10} T^{30} + 29326882 p^{11} T^{31} - 6688767 p^{12} T^{32} + 645209 p^{13} T^{33} + 166678 p^{14} T^{34} - 45200 p^{15} T^{35} + 5869 p^{16} T^{36} - 1107 p^{17} T^{37} + 215 p^{18} T^{38} - 23 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
31 \( 1 - T - 4 T^{2} - 99 T^{3} + 2335 T^{4} - 5936 T^{5} + 33987 T^{6} - 47476 T^{7} + 2998138 T^{8} - 417428 p T^{9} + 57648405 T^{10} - 72066038 T^{11} + 3164065812 T^{12} - 8179048024 T^{13} + 66451574016 T^{14} - 191649951541 T^{15} + 2762527608677 T^{16} - 5232807001007 T^{17} + 52307325511518 T^{18} - 157566686011350 T^{19} + 3017907963131381 T^{20} - 157566686011350 p T^{21} + 52307325511518 p^{2} T^{22} - 5232807001007 p^{3} T^{23} + 2762527608677 p^{4} T^{24} - 191649951541 p^{5} T^{25} + 66451574016 p^{6} T^{26} - 8179048024 p^{7} T^{27} + 3164065812 p^{8} T^{28} - 72066038 p^{9} T^{29} + 57648405 p^{10} T^{30} - 417428 p^{12} T^{31} + 2998138 p^{12} T^{32} - 47476 p^{13} T^{33} + 33987 p^{14} T^{34} - 5936 p^{15} T^{35} + 2335 p^{16} T^{36} - 99 p^{17} T^{37} - 4 p^{18} T^{38} - p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
37 \( 1 + 9 T + 95 T^{2} + 1215 T^{3} + 12320 T^{4} + 101444 T^{5} + 839045 T^{6} + 7070807 T^{7} + 1358084 p T^{8} + 327913069 T^{9} + 57563462 p T^{10} + 12804113533 T^{11} + 60310363542 T^{12} + 221601040139 T^{13} + 456788637464 T^{14} - 4863047283338 T^{15} - 88219753065627 T^{16} - 816727062136410 T^{17} - 6079600453353344 T^{18} - 43907085521167374 T^{19} - 287098522077416127 T^{20} - 43907085521167374 p T^{21} - 6079600453353344 p^{2} T^{22} - 816727062136410 p^{3} T^{23} - 88219753065627 p^{4} T^{24} - 4863047283338 p^{5} T^{25} + 456788637464 p^{6} T^{26} + 221601040139 p^{7} T^{27} + 60310363542 p^{8} T^{28} + 12804113533 p^{9} T^{29} + 57563462 p^{11} T^{30} + 327913069 p^{11} T^{31} + 1358084 p^{13} T^{32} + 7070807 p^{13} T^{33} + 839045 p^{14} T^{34} + 101444 p^{15} T^{35} + 12320 p^{16} T^{36} + 1215 p^{17} T^{37} + 95 p^{18} T^{38} + 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
41 \( 1 + 15 T + 107 T^{2} - 111 T^{3} - 9519 T^{4} - 94322 T^{5} - 277997 T^{6} + 2586685 T^{7} + 42039496 T^{8} + 258301208 T^{9} + 386186889 T^{10} - 8793679767 T^{11} - 99495295116 T^{12} - 572402700364 T^{13} - 596514120706 T^{14} + 20511943068823 T^{15} + 229791524319962 T^{16} + 1211580564520293 T^{17} + 822290582931704 T^{18} - 46658021631658998 T^{19} - 432402196550872637 T^{20} - 46658021631658998 p T^{21} + 822290582931704 p^{2} T^{22} + 1211580564520293 p^{3} T^{23} + 229791524319962 p^{4} T^{24} + 20511943068823 p^{5} T^{25} - 596514120706 p^{6} T^{26} - 572402700364 p^{7} T^{27} - 99495295116 p^{8} T^{28} - 8793679767 p^{9} T^{29} + 386186889 p^{10} T^{30} + 258301208 p^{11} T^{31} + 42039496 p^{12} T^{32} + 2586685 p^{13} T^{33} - 277997 p^{14} T^{34} - 94322 p^{15} T^{35} - 9519 p^{16} T^{36} - 111 p^{17} T^{37} + 107 p^{18} T^{38} + 15 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
43 \( 1 + 23 T + 207 T^{2} + 566 T^{3} - 6712 T^{4} - 109862 T^{5} - 890595 T^{6} - 4007697 T^{7} + 1183095 T^{8} + 188559316 T^{9} + 1755544516 T^{10} + 6919615999 T^{11} - 15811584692 T^{12} - 287987641930 T^{13} - 631013023061 T^{14} + 10736475233184 T^{15} + 145830022390334 T^{16} + 822088859518263 T^{17} - 491445238156892 T^{18} - 1095136300791786 p T^{19} - 9860615196024449 p T^{20} - 1095136300791786 p^{2} T^{21} - 491445238156892 p^{2} T^{22} + 822088859518263 p^{3} T^{23} + 145830022390334 p^{4} T^{24} + 10736475233184 p^{5} T^{25} - 631013023061 p^{6} T^{26} - 287987641930 p^{7} T^{27} - 15811584692 p^{8} T^{28} + 6919615999 p^{9} T^{29} + 1755544516 p^{10} T^{30} + 188559316 p^{11} T^{31} + 1183095 p^{12} T^{32} - 4007697 p^{13} T^{33} - 890595 p^{14} T^{34} - 109862 p^{15} T^{35} - 6712 p^{16} T^{36} + 566 p^{17} T^{37} + 207 p^{18} T^{38} + 23 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
47 \( ( 1 + 33 T + 785 T^{2} + 13453 T^{3} + 194846 T^{4} + 2379729 T^{5} + 25843770 T^{6} + 248407379 T^{7} + 2167455305 T^{8} + 17053289022 T^{9} + 122796873338 T^{10} + 17053289022 p T^{11} + 2167455305 p^{2} T^{12} + 248407379 p^{3} T^{13} + 25843770 p^{4} T^{14} + 2379729 p^{5} T^{15} + 194846 p^{6} T^{16} + 13453 p^{7} T^{17} + 785 p^{8} T^{18} + 33 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \)
53 \( 1 - 9 T + 77 T^{2} - 969 T^{3} + 2472 T^{4} - 41282 T^{5} + 511683 T^{6} - 1966422 T^{7} + 39375511 T^{8} - 232804842 T^{9} + 748783874 T^{10} - 11833037134 T^{11} + 11893196099 T^{12} + 78500283785 T^{13} + 1631469684291 T^{14} + 8023794246864 T^{15} - 39296547585284 T^{16} - 49214736003934 T^{17} - 9650796621050295 T^{18} + 102358477189519451 T^{19} - 615196386549331361 T^{20} + 102358477189519451 p T^{21} - 9650796621050295 p^{2} T^{22} - 49214736003934 p^{3} T^{23} - 39296547585284 p^{4} T^{24} + 8023794246864 p^{5} T^{25} + 1631469684291 p^{6} T^{26} + 78500283785 p^{7} T^{27} + 11893196099 p^{8} T^{28} - 11833037134 p^{9} T^{29} + 748783874 p^{10} T^{30} - 232804842 p^{11} T^{31} + 39375511 p^{12} T^{32} - 1966422 p^{13} T^{33} + 511683 p^{14} T^{34} - 41282 p^{15} T^{35} + 2472 p^{16} T^{36} - 969 p^{17} T^{37} + 77 p^{18} T^{38} - 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
59 \( 1 - 49 T + 1167 T^{2} - 18352 T^{3} + 215482 T^{4} - 1954636 T^{5} + 12811955 T^{6} - 37373041 T^{7} - 450082349 T^{8} + 9474196232 T^{9} - 103414947896 T^{10} + 791325229091 T^{11} - 4050820859340 T^{12} + 5535319827694 T^{13} + 159153974264517 T^{14} - 2224919663791470 T^{15} + 17610353081331360 T^{16} - 86264944475728151 T^{17} + 77906450418197972 T^{18} + 3370282951723083362 T^{19} - 38019658099713383067 T^{20} + 3370282951723083362 p T^{21} + 77906450418197972 p^{2} T^{22} - 86264944475728151 p^{3} T^{23} + 17610353081331360 p^{4} T^{24} - 2224919663791470 p^{5} T^{25} + 159153974264517 p^{6} T^{26} + 5535319827694 p^{7} T^{27} - 4050820859340 p^{8} T^{28} + 791325229091 p^{9} T^{29} - 103414947896 p^{10} T^{30} + 9474196232 p^{11} T^{31} - 450082349 p^{12} T^{32} - 37373041 p^{13} T^{33} + 12811955 p^{14} T^{34} - 1954636 p^{15} T^{35} + 215482 p^{16} T^{36} - 18352 p^{17} T^{37} + 1167 p^{18} T^{38} - 49 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
61 \( 1 - 46 T + 1023 T^{2} - 13259 T^{3} + 98710 T^{4} - 289017 T^{5} - 662163 T^{6} - 12216910 T^{7} + 348378374 T^{8} - 1758408513 T^{9} - 17324628247 T^{10} + 262605884590 T^{11} - 849637156437 T^{12} - 3238367372173 T^{13} - 31057628326458 T^{14} + 932612494220121 T^{15} - 2368603385041491 T^{16} - 76306159133388578 T^{17} + 797999065059378757 T^{18} - 1651879295794745115 T^{19} - 12690855852397092154 T^{20} - 1651879295794745115 p T^{21} + 797999065059378757 p^{2} T^{22} - 76306159133388578 p^{3} T^{23} - 2368603385041491 p^{4} T^{24} + 932612494220121 p^{5} T^{25} - 31057628326458 p^{6} T^{26} - 3238367372173 p^{7} T^{27} - 849637156437 p^{8} T^{28} + 262605884590 p^{9} T^{29} - 17324628247 p^{10} T^{30} - 1758408513 p^{11} T^{31} + 348378374 p^{12} T^{32} - 12216910 p^{13} T^{33} - 662163 p^{14} T^{34} - 289017 p^{15} T^{35} + 98710 p^{16} T^{36} - 13259 p^{17} T^{37} + 1023 p^{18} T^{38} - 46 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
67 \( 1 - 14 T + 183 T^{2} - 2746 T^{3} + 43531 T^{4} - 519667 T^{5} + 6233424 T^{6} - 76464369 T^{7} + 864923048 T^{8} - 9166156788 T^{9} + 98258781292 T^{10} - 1031931953209 T^{11} + 10160903600670 T^{12} - 98045148999506 T^{13} + 943466630979548 T^{14} - 8779419166665924 T^{15} + 78554639636307907 T^{16} - 696605862372332102 T^{17} + 6086885267063905020 T^{18} - 51208956228206844969 T^{19} + \)\(42\!\cdots\!79\)\( T^{20} - 51208956228206844969 p T^{21} + 6086885267063905020 p^{2} T^{22} - 696605862372332102 p^{3} T^{23} + 78554639636307907 p^{4} T^{24} - 8779419166665924 p^{5} T^{25} + 943466630979548 p^{6} T^{26} - 98045148999506 p^{7} T^{27} + 10160903600670 p^{8} T^{28} - 1031931953209 p^{9} T^{29} + 98258781292 p^{10} T^{30} - 9166156788 p^{11} T^{31} + 864923048 p^{12} T^{32} - 76464369 p^{13} T^{33} + 6233424 p^{14} T^{34} - 519667 p^{15} T^{35} + 43531 p^{16} T^{36} - 2746 p^{17} T^{37} + 183 p^{18} T^{38} - 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
71 \( 1 - 36 T + 384 T^{2} + 161 T^{3} - 12234 T^{4} - 290066 T^{5} + 4325744 T^{6} - 17294642 T^{7} + 38376394 T^{8} - 594925951 T^{9} + 8216703314 T^{10} - 123445351530 T^{11} + 1207634639864 T^{12} - 6007566998133 T^{13} + 39138903950290 T^{14} - 475831877370694 T^{15} + 3782335469652062 T^{16} - 50261317109849066 T^{17} + 679273609581138656 T^{18} - 3405560054406736633 T^{19} + 4927733837403740439 T^{20} - 3405560054406736633 p T^{21} + 679273609581138656 p^{2} T^{22} - 50261317109849066 p^{3} T^{23} + 3782335469652062 p^{4} T^{24} - 475831877370694 p^{5} T^{25} + 39138903950290 p^{6} T^{26} - 6007566998133 p^{7} T^{27} + 1207634639864 p^{8} T^{28} - 123445351530 p^{9} T^{29} + 8216703314 p^{10} T^{30} - 594925951 p^{11} T^{31} + 38376394 p^{12} T^{32} - 17294642 p^{13} T^{33} + 4325744 p^{14} T^{34} - 290066 p^{15} T^{35} - 12234 p^{16} T^{36} + 161 p^{17} T^{37} + 384 p^{18} T^{38} - 36 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
73 \( 1 + T + 215 T^{2} - 873 T^{3} + 20774 T^{4} - 269939 T^{5} + 2513704 T^{6} - 31483170 T^{7} + 392335155 T^{8} - 3270316348 T^{9} + 43748743015 T^{10} - 396222757209 T^{11} + 4058877518394 T^{12} - 39699338327792 T^{13} + 392098254058023 T^{14} - 3451405883544495 T^{15} + 34701413478132640 T^{16} - 293349762851132036 T^{17} + 2745534516833425844 T^{18} - 23411819269326556581 T^{19} + \)\(20\!\cdots\!55\)\( T^{20} - 23411819269326556581 p T^{21} + 2745534516833425844 p^{2} T^{22} - 293349762851132036 p^{3} T^{23} + 34701413478132640 p^{4} T^{24} - 3451405883544495 p^{5} T^{25} + 392098254058023 p^{6} T^{26} - 39699338327792 p^{7} T^{27} + 4058877518394 p^{8} T^{28} - 396222757209 p^{9} T^{29} + 43748743015 p^{10} T^{30} - 3270316348 p^{11} T^{31} + 392335155 p^{12} T^{32} - 31483170 p^{13} T^{33} + 2513704 p^{14} T^{34} - 269939 p^{15} T^{35} + 20774 p^{16} T^{36} - 873 p^{17} T^{37} + 215 p^{18} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
79 \( 1 + 22 T + 110 T^{2} - 495 T^{3} - 7407 T^{4} - 144650 T^{5} - 1741828 T^{6} - 4518899 T^{7} + 43567265 T^{8} + 540110692 T^{9} + 7702930191 T^{10} + 27592495315 T^{11} - 621734347529 T^{12} - 4599510875201 T^{13} - 259014497269 p T^{14} - 430084626009489 T^{15} + 103745905397786 T^{16} + 42980682356050560 T^{17} + 130681928024359305 T^{18} + 790510383928518825 T^{19} + 22504503104428736467 T^{20} + 790510383928518825 p T^{21} + 130681928024359305 p^{2} T^{22} + 42980682356050560 p^{3} T^{23} + 103745905397786 p^{4} T^{24} - 430084626009489 p^{5} T^{25} - 259014497269 p^{7} T^{26} - 4599510875201 p^{7} T^{27} - 621734347529 p^{8} T^{28} + 27592495315 p^{9} T^{29} + 7702930191 p^{10} T^{30} + 540110692 p^{11} T^{31} + 43567265 p^{12} T^{32} - 4518899 p^{13} T^{33} - 1741828 p^{14} T^{34} - 144650 p^{15} T^{35} - 7407 p^{16} T^{36} - 495 p^{17} T^{37} + 110 p^{18} T^{38} + 22 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
83 \( 1 - 8 T - 150 T^{2} + 2215 T^{3} + 2606 T^{4} - 243093 T^{5} + 1585989 T^{6} + 8565750 T^{7} - 159569682 T^{8} + 343986532 T^{9} + 3102446520 T^{10} - 44394729504 T^{11} + 543254072150 T^{12} - 1986599062386 T^{13} - 53170230448191 T^{14} + 834955798572411 T^{15} + 206643117893182 T^{16} - 106484861881794561 T^{17} + 705321849460526955 T^{18} + 4569168916343818714 T^{19} - 87556919582717747551 T^{20} + 4569168916343818714 p T^{21} + 705321849460526955 p^{2} T^{22} - 106484861881794561 p^{3} T^{23} + 206643117893182 p^{4} T^{24} + 834955798572411 p^{5} T^{25} - 53170230448191 p^{6} T^{26} - 1986599062386 p^{7} T^{27} + 543254072150 p^{8} T^{28} - 44394729504 p^{9} T^{29} + 3102446520 p^{10} T^{30} + 343986532 p^{11} T^{31} - 159569682 p^{12} T^{32} + 8565750 p^{13} T^{33} + 1585989 p^{14} T^{34} - 243093 p^{15} T^{35} + 2606 p^{16} T^{36} + 2215 p^{17} T^{37} - 150 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
89 \( 1 + 2 T + 70 T^{2} - 1640 T^{3} - 13331 T^{4} + 5992 T^{5} + 559525 T^{6} + 30329993 T^{7} - 22066357 T^{8} - 52826464 T^{9} - 18133433520 T^{10} - 155571184801 T^{11} + 830983096273 T^{12} - 2002468694115 T^{13} + 251048513551074 T^{14} - 472684886889167 T^{15} - 575233920527641 T^{16} - 114689274701343472 T^{17} - 1236021127754853436 T^{18} + 14329992996582400524 T^{19} - 11690296884449410779 T^{20} + 14329992996582400524 p T^{21} - 1236021127754853436 p^{2} T^{22} - 114689274701343472 p^{3} T^{23} - 575233920527641 p^{4} T^{24} - 472684886889167 p^{5} T^{25} + 251048513551074 p^{6} T^{26} - 2002468694115 p^{7} T^{27} + 830983096273 p^{8} T^{28} - 155571184801 p^{9} T^{29} - 18133433520 p^{10} T^{30} - 52826464 p^{11} T^{31} - 22066357 p^{12} T^{32} + 30329993 p^{13} T^{33} + 559525 p^{14} T^{34} + 5992 p^{15} T^{35} - 13331 p^{16} T^{36} - 1640 p^{17} T^{37} + 70 p^{18} T^{38} + 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
97 \( 1 - 18 T + 124 T^{2} - 752 T^{3} + 5915 T^{4} - 83974 T^{5} + 1282956 T^{6} - 14407964 T^{7} + 182831789 T^{8} - 1545319448 T^{9} + 10125112059 T^{10} - 100060420346 T^{11} + 1517782221205 T^{12} - 27063713235770 T^{13} + 280366457030686 T^{14} - 1941841489174284 T^{15} + 15343532497260957 T^{16} - 124948582144714958 T^{17} + 1376326995125715271 T^{18} - 16217781576898778000 T^{19} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( T^{20} - 16217781576898778000 p T^{21} + 1376326995125715271 p^{2} T^{22} - 124948582144714958 p^{3} T^{23} + 15343532497260957 p^{4} T^{24} - 1941841489174284 p^{5} T^{25} + 280366457030686 p^{6} T^{26} - 27063713235770 p^{7} T^{27} + 1517782221205 p^{8} T^{28} - 100060420346 p^{9} T^{29} + 10125112059 p^{10} T^{30} - 1545319448 p^{11} T^{31} + 182831789 p^{12} T^{32} - 14407964 p^{13} T^{33} + 1282956 p^{14} T^{34} - 83974 p^{15} T^{35} + 5915 p^{16} T^{36} - 752 p^{17} T^{37} + 124 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.50284158536315803870548001636, −2.48490505611563001940475140010, −2.42441427229982124991963843290, −2.37833525596980750603266116783, −2.27822014543492410008933920239, −2.07913971279402450357802337394, −2.01285118686053384201868244008, −1.97283003788607766352862240645, −1.87512439456795571361618452764, −1.79660520109270860891510396148, −1.77267774594665508376739593286, −1.65580322879155336827063784753, −1.64383173779387555748568323849, −1.36727850234478730778449611855, −1.26867274057792952554276991963, −1.20243266808519184061687419945, −1.12021282532468117129740297205, −1.11108141621508131676494904182, −1.02273516057200850542887295814, −0.863739051355652633961554653849, −0.798576087453934138304224208700, −0.67151439655837106534373602846, −0.53410971837288042647816471638, −0.49479389140658991699639951122, −0.11494421266375478454212188425, 0.11494421266375478454212188425, 0.49479389140658991699639951122, 0.53410971837288042647816471638, 0.67151439655837106534373602846, 0.798576087453934138304224208700, 0.863739051355652633961554653849, 1.02273516057200850542887295814, 1.11108141621508131676494904182, 1.12021282532468117129740297205, 1.20243266808519184061687419945, 1.26867274057792952554276991963, 1.36727850234478730778449611855, 1.64383173779387555748568323849, 1.65580322879155336827063784753, 1.77267774594665508376739593286, 1.79660520109270860891510396148, 1.87512439456795571361618452764, 1.97283003788607766352862240645, 2.01285118686053384201868244008, 2.07913971279402450357802337394, 2.27822014543492410008933920239, 2.37833525596980750603266116783, 2.42441427229982124991963843290, 2.48490505611563001940475140010, 2.50284158536315803870548001636

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.