LMFDB - L-function 40-384e20-1.1-c5e20-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2·3^-s + 2·9^-s − 948·11^-s − 328·23^-s + 2.50e4·25^-s − 678·27^-s + 1.89e3·33^-s − 1.50e4·37^-s − 3.66e4·47^-s + 1.51e5·49^-s − 6.29e4·59^-s − 7.32e4·61^-s + 656·69^-s − 3.48e4·71^-s + 5.25e4·73^-s − 5.00e4·75^-s + 1.52e4·81^-s + 2.25e5·83^-s + 7.60e3·97^-s − 1.89e3·99^-s − 1.24e5·107^-s + 1.73e5·109^-s + 3.01e4·111^-s − 1.06e6·121^-s + 127^-s + 131^-s + 137^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.128·3^-s + 0.00823·9^-s − 2.36·11^-s − 0.129·23^-s + 8·25^-s − 0.178·27^-s + 0.303·33^-s − 1.80·37^-s − 2.41·47^-s + 9.00·49^-s − 2.35·59^-s − 2.52·61^-s + 0.0165·69^-s − 0.821·71^-s + 1.15·73^-s − 1.02·75^-s + 0.257·81^-s + 3.58·83^-s + 0.0820·97^-s − 0.0194·99^-s − 1.04·107^-s + 1.39·109^-s + 0.231·111^-s − 6.59·121^-s + 5.50e−6·127^-s + 5.09e−6·131^-s + 4.55e−6·137^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{140} \cdot 3^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{140} \cdot 3^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$40$
Conductor:	$2^{140} \cdot 3^{20}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.16361\times 10^{35}$
Root analytic conductor:	$7.84776$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(40,\ 2^{140} \cdot 3^{20} ,\ ( \ : [5/2]^{20} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$0.5744338953$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.5744338953$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	3	$ 1 + 2 T + 2 T^{2} + 226 p T^{3} - 4169 p T^{4} + 163832 p^{2} T^{5} - 92872 p^{2} T^{6} - 2714200 p^{4} T^{7} - 1259962 p^{7} T^{8} - 5104756 p^{8} T^{9} + 18110828 p^{10} T^{10} - 5104756 p^{13} T^{11} - 1259962 p^{17} T^{12} - 2714200 p^{19} T^{13} - 92872 p^{22} T^{14} + 163832 p^{27} T^{15} - 4169 p^{31} T^{16} + 226 p^{36} T^{17} + 2 p^{40} T^{18} + 2 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
good	5	$ 1 - 8 p^{5} T^{2} + 64922862 p T^{4} - 581176159496 p T^{6} + 805161162779173 p^{2} T^{8} - $$11\!\cdots\!08$$ T^{10} + $$44\!\cdots\!92$$ p^{3} T^{12} - $$48\!\cdots\!28$$ p T^{14} + $$18\!\cdots\!14$$ p T^{16} - $$13\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{18} + $$10\!\cdots\!16$$ T^{20} - $$13\!\cdots\!24$$ p^{12} T^{22} + $$18\!\cdots\!14$$ p^{21} T^{24} - $$48\!\cdots\!28$$ p^{31} T^{26} + $$44\!\cdots\!92$$ p^{43} T^{28} - $$11\!\cdots\!08$$ p^{50} T^{30} + 805161162779173 p^{62} T^{32} - 581176159496 p^{71} T^{34} + 64922862 p^{81} T^{36} - 8 p^{95} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	7	$ 1 - 151376 T^{2} + 11636394822 T^{4} - 602773429074896 T^{6} + 23724202393315072525 T^{8} - $$76\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!20$$ T^{12} - $$50\!\cdots\!84$$ T^{14} + $$15\!\cdots\!74$$ p T^{16} - $$21\!\cdots\!52$$ T^{18} + $$37\!\cdots\!28$$ T^{20} - $$21\!\cdots\!52$$ p^{10} T^{22} + $$15\!\cdots\!74$$ p^{21} T^{24} - $$50\!\cdots\!84$$ p^{30} T^{26} + $$20\!\cdots\!20$$ p^{40} T^{28} - $$76\!\cdots\!68$$ p^{50} T^{30} + 23724202393315072525 p^{60} T^{32} - 602773429074896 p^{70} T^{34} + 11636394822 p^{80} T^{36} - 151376 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	11	$ ( 1 + 474 T + 867706 T^{2} + 318904062 T^{3} + 2808086013 p^{2} T^{4} + 103919584780056 T^{5} + 85745787142006680 T^{6} + 23781595566239469960 T^{7} + $$16\!\cdots\!22$$ T^{8} + $$44\!\cdots\!48$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!36$$ T^{10} + $$44\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{11} + $$16\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{12} + 23781595566239469960 p^{15} T^{13} + 85745787142006680 p^{20} T^{14} + 103919584780056 p^{25} T^{15} + 2808086013 p^{32} T^{16} + 318904062 p^{35} T^{17} + 867706 p^{40} T^{18} + 474 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	13	$ ( 1 + 1727358 T^{2} - 389121024 T^{3} + 1484851902293 T^{4} - 633595156478976 T^{5} + 897326840696086824 T^{6} - $$51\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$43\!\cdots\!66$$ T^{8} - $$27\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$17\!\cdots\!76$$ T^{10} - $$27\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{11} + $$43\!\cdots\!66$$ p^{10} T^{12} - $$51\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{13} + 897326840696086824 p^{20} T^{14} - 633595156478976 p^{25} T^{15} + 1484851902293 p^{30} T^{16} - 389121024 p^{35} T^{17} + 1727358 p^{40} T^{18} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	17	$ 1 - 12402532 T^{2} + 4475762806206 p T^{4} - $$31\!\cdots\!88$$ T^{6} + $$97\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$24\!\cdots\!20$$ T^{10} + $$54\!\cdots\!88$$ T^{12} - $$10\!\cdots\!08$$ T^{14} + $$18\!\cdots\!38$$ T^{16} - $$30\!\cdots\!72$$ T^{18} + $$44\!\cdots\!08$$ T^{20} - $$30\!\cdots\!72$$ p^{10} T^{22} + $$18\!\cdots\!38$$ p^{20} T^{24} - $$10\!\cdots\!08$$ p^{30} T^{26} + $$54\!\cdots\!88$$ p^{40} T^{28} - $$24\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{30} + $$97\!\cdots\!17$$ p^{60} T^{32} - $$31\!\cdots\!88$$ p^{70} T^{34} + 4475762806206 p^{81} T^{36} - 12402532 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	19	$ 1 - 1217616 p T^{2} + 283813760957590 T^{4} - $$24\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!25$$ T^{8} - $$82\!\cdots\!56$$ T^{10} + $$36\!\cdots\!96$$ T^{12} - $$14\!\cdots\!24$$ T^{14} + $$24\!\cdots\!14$$ p T^{16} - $$13\!\cdots\!44$$ T^{18} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{20} - $$13\!\cdots\!44$$ p^{10} T^{22} + $$24\!\cdots\!14$$ p^{21} T^{24} - $$14\!\cdots\!24$$ p^{30} T^{26} + $$36\!\cdots\!96$$ p^{40} T^{28} - $$82\!\cdots\!56$$ p^{50} T^{30} + $$15\!\cdots\!25$$ p^{60} T^{32} - $$24\!\cdots\!04$$ p^{70} T^{34} + 283813760957590 p^{80} T^{36} - 1217616 p^{91} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	23	$ ( 1 + 164 T + 31861174 T^{2} + 8842821788 T^{3} + 496564216557245 T^{4} + 254302378049959056 T^{5} + $$52\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$39\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$44\!\cdots\!66$$ T^{8} + $$38\!\cdots\!84$$ T^{9} + $$30\!\cdots\!36$$ T^{10} + $$38\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{11} + $$44\!\cdots\!66$$ p^{10} T^{12} + $$39\!\cdots\!36$$ p^{15} T^{13} + $$52\!\cdots\!24$$ p^{20} T^{14} + 254302378049959056 p^{25} T^{15} + 496564216557245 p^{30} T^{16} + 8842821788 p^{35} T^{17} + 31861174 p^{40} T^{18} + 164 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	29	$ 1 - 191113384 T^{2} + 18110181894055494 T^{4} - $$11\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$55\!\cdots\!05$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!64$$ T^{10} + $$76\!\cdots\!68$$ T^{12} - $$23\!\cdots\!04$$ T^{14} + $$62\!\cdots\!14$$ T^{16} - $$14\!\cdots\!84$$ T^{18} + $$32\!\cdots\!16$$ T^{20} - $$14\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{22} + $$62\!\cdots\!14$$ p^{20} T^{24} - $$23\!\cdots\!04$$ p^{30} T^{26} + $$76\!\cdots\!68$$ p^{40} T^{28} - $$22\!\cdots\!64$$ p^{50} T^{30} + $$55\!\cdots\!05$$ p^{60} T^{32} - $$11\!\cdots\!24$$ p^{70} T^{34} + 18110181894055494 p^{80} T^{36} - 191113384 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	31	$ 1 - 252335328 T^{2} + 33282623187817222 T^{4} - $$30\!\cdots\!28$$ T^{6} + $$21\!\cdots\!37$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!56$$ T^{10} + $$63\!\cdots\!56$$ T^{12} - $$27\!\cdots\!84$$ T^{14} + $$10\!\cdots\!66$$ T^{16} - $$36\!\cdots\!04$$ T^{18} + $$10\!\cdots\!36$$ T^{20} - $$36\!\cdots\!04$$ p^{10} T^{22} + $$10\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{24} - $$27\!\cdots\!84$$ p^{30} T^{26} + $$63\!\cdots\!56$$ p^{40} T^{28} - $$12\!\cdots\!56$$ p^{50} T^{30} + $$21\!\cdots\!37$$ p^{60} T^{32} - $$30\!\cdots\!28$$ p^{70} T^{34} + 33282623187817222 p^{80} T^{36} - 252335328 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	37	$ ( 1 + 7528 T + 415621758 T^{2} + 2534251060552 T^{3} + 86513533821089413 T^{4} + $$44\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!68$$ T^{6} + $$52\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!22$$ T^{8} + $$46\!\cdots\!60$$ T^{9} + $$94\!\cdots\!20$$ T^{10} + $$46\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{11} + $$12\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{12} + $$52\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{13} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{14} + $$44\!\cdots\!08$$ p^{25} T^{15} + 86513533821089413 p^{30} T^{16} + 2534251060552 p^{35} T^{17} + 415621758 p^{40} T^{18} + 7528 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	41	$ 1 - 992892100 T^{2} + 507553214877646398 T^{4} - $$17\!\cdots\!64$$ T^{6} + $$48\!\cdots\!93$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!80$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!48$$ T^{12} - $$33\!\cdots\!08$$ T^{14} + $$49\!\cdots\!10$$ T^{16} - $$65\!\cdots\!64$$ T^{18} + $$78\!\cdots\!68$$ T^{20} - $$65\!\cdots\!64$$ p^{10} T^{22} + $$49\!\cdots\!10$$ p^{20} T^{24} - $$33\!\cdots\!08$$ p^{30} T^{26} + $$20\!\cdots\!48$$ p^{40} T^{28} - $$10\!\cdots\!80$$ p^{50} T^{30} + $$48\!\cdots\!93$$ p^{60} T^{32} - $$17\!\cdots\!64$$ p^{70} T^{34} + 507553214877646398 p^{80} T^{36} - 992892100 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	43	$ 1 - 1462691120 T^{2} + 1076203296774082038 T^{4} - $$52\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!73$$ T^{8} - $$56\!\cdots\!40$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!92$$ T^{12} - $$30\!\cdots\!84$$ T^{14} + $$57\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$99\!\cdots\!88$$ T^{18} + $$15\!\cdots\!12$$ T^{20} - $$99\!\cdots\!88$$ p^{10} T^{22} + $$57\!\cdots\!70$$ p^{20} T^{24} - $$30\!\cdots\!84$$ p^{30} T^{26} + $$14\!\cdots\!92$$ p^{40} T^{28} - $$56\!\cdots\!40$$ p^{50} T^{30} + $$19\!\cdots\!73$$ p^{60} T^{32} - $$52\!\cdots\!20$$ p^{70} T^{34} + 1076203296774082038 p^{80} T^{36} - 1462691120 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	47	$ ( 1 + 18320 T + 1471207574 T^{2} + 19754962156272 T^{3} + 989833625114591949 T^{4} + $$10\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$43\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$38\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!78$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!12$$ T^{9} + $$37\!\cdots\!12$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!12$$ p^{5} T^{11} + $$14\!\cdots\!78$$ p^{10} T^{12} + $$38\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{13} + $$43\!\cdots\!60$$ p^{20} T^{14} + $$10\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{15} + 989833625114591949 p^{30} T^{16} + 19754962156272 p^{35} T^{17} + 1471207574 p^{40} T^{18} + 18320 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	53	$ 1 - 4029665128 T^{2} + 7931455217506153830 T^{4} - $$10\!\cdots\!40$$ T^{6} + $$98\!\cdots\!97$$ T^{8} - $$75\!\cdots\!84$$ T^{10} + $$48\!\cdots\!36$$ T^{12} - $$27\!\cdots\!56$$ T^{14} + $$13\!\cdots\!38$$ T^{16} - $$64\!\cdots\!60$$ T^{18} + $$27\!\cdots\!76$$ T^{20} - $$64\!\cdots\!60$$ p^{10} T^{22} + $$13\!\cdots\!38$$ p^{20} T^{24} - $$27\!\cdots\!56$$ p^{30} T^{26} + $$48\!\cdots\!36$$ p^{40} T^{28} - $$75\!\cdots\!84$$ p^{50} T^{30} + $$98\!\cdots\!97$$ p^{60} T^{32} - $$10\!\cdots\!40$$ p^{70} T^{34} + 7931455217506153830 p^{80} T^{36} - 4029665128 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	59	$ ( 1 + 31454 T + 4623295858 T^{2} + 124799446446410 T^{3} + 10014833728553042357 T^{4} + $$23\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!84$$ T^{6} + $$29\!\cdots\!72$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!74$$ T^{8} + $$26\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$11\!\cdots\!16$$ T^{10} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{11} + $$14\!\cdots\!74$$ p^{10} T^{12} + $$29\!\cdots\!72$$ p^{15} T^{13} + $$13\!\cdots\!84$$ p^{20} T^{14} + $$23\!\cdots\!44$$ p^{25} T^{15} + 10014833728553042357 p^{30} T^{16} + 124799446446410 p^{35} T^{17} + 4623295858 p^{40} T^{18} + 31454 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	61	$ ( 1 + 36632 T + 5042515374 T^{2} + 191771260465784 T^{3} + 13110617571305596597 T^{4} + $$47\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$22\!\cdots\!44$$ T^{6} + $$75\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$29\!\cdots\!38$$ T^{8} + $$85\!\cdots\!84$$ T^{9} + $$28\!\cdots\!44$$ T^{10} + $$85\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{11} + $$29\!\cdots\!38$$ p^{10} T^{12} + $$75\!\cdots\!28$$ p^{15} T^{13} + $$22\!\cdots\!44$$ p^{20} T^{14} + $$47\!\cdots\!08$$ p^{25} T^{15} + 13110617571305596597 p^{30} T^{16} + 191771260465784 p^{35} T^{17} + 5042515374 p^{40} T^{18} + 36632 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	67	$ 1 - 10843590944 T^{2} + 59375557604770839670 T^{4} - $$22\!\cdots\!48$$ T^{6} + $$66\!\cdots\!21$$ T^{8} - $$16\!\cdots\!72$$ T^{10} + $$35\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$67\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$11\!\cdots\!50$$ T^{16} - $$17\!\cdots\!24$$ T^{18} + $$25\!\cdots\!48$$ T^{20} - $$17\!\cdots\!24$$ p^{10} T^{22} + $$11\!\cdots\!50$$ p^{20} T^{24} - $$67\!\cdots\!28$$ p^{30} T^{26} + $$35\!\cdots\!84$$ p^{40} T^{28} - $$16\!\cdots\!72$$ p^{50} T^{30} + $$66\!\cdots\!21$$ p^{60} T^{32} - $$22\!\cdots\!48$$ p^{70} T^{34} + 59375557604770839670 p^{80} T^{36} - 10843590944 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	71	$ ( 1 + 17444 T + 8202464246 T^{2} + 193853763963612 T^{3} + 37489454553586147677 T^{4} + $$91\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!88$$ T^{6} + $$28\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$30\!\cdots\!02$$ T^{8} + $$65\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$60\!\cdots\!08$$ T^{10} + $$65\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{11} + $$30\!\cdots\!02$$ p^{10} T^{12} + $$28\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{13} + $$12\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{14} + $$91\!\cdots\!60$$ p^{25} T^{15} + 37489454553586147677 p^{30} T^{16} + 193853763963612 p^{35} T^{17} + 8202464246 p^{40} T^{18} + 17444 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	73	$ ( 1 - 26284 T + 12244859470 T^{2} - 181128130380588 T^{3} + 73557964980644644029 T^{4} - $$63\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!76$$ T^{6} - $$17\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$92\!\cdots\!30$$ T^{8} - $$38\!\cdots\!04$$ T^{9} + $$21\!\cdots\!44$$ T^{10} - $$38\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{11} + $$92\!\cdots\!30$$ p^{10} T^{12} - $$17\!\cdots\!12$$ p^{15} T^{13} + $$30\!\cdots\!76$$ p^{20} T^{14} - $$63\!\cdots\!36$$ p^{25} T^{15} + 73557964980644644029 p^{30} T^{16} - 181128130380588 p^{35} T^{17} + 12244859470 p^{40} T^{18} - 26284 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	79	$ 1 - 24163428736 T^{2} + $$30\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!72$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!37$$ T^{8} - $$99\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$47\!\cdots\!76$$ T^{12} - $$20\!\cdots\!04$$ T^{14} + $$77\!\cdots\!26$$ T^{16} - $$27\!\cdots\!44$$ T^{18} + $$87\!\cdots\!76$$ T^{20} - $$27\!\cdots\!44$$ p^{10} T^{22} + $$77\!\cdots\!26$$ p^{20} T^{24} - $$20\!\cdots\!04$$ p^{30} T^{26} + $$47\!\cdots\!76$$ p^{40} T^{28} - $$99\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{30} + $$17\!\cdots\!37$$ p^{60} T^{32} - $$26\!\cdots\!72$$ p^{70} T^{34} + $$30\!\cdots\!58$$ p^{80} T^{36} - 24163428736 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	83	$ ( 1 - 112586 T + 19402311130 T^{2} - 1703864185686878 T^{3} + $$16\!\cdots\!21$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!48$$ T^{6} - $$70\!\cdots\!32$$ T^{7} + $$55\!\cdots\!30$$ T^{8} - $$35\!\cdots\!76$$ T^{9} + $$24\!\cdots\!96$$ T^{10} - $$35\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{11} + $$55\!\cdots\!30$$ p^{10} T^{12} - $$70\!\cdots\!32$$ p^{15} T^{13} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{14} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{15} + $$16\!\cdots\!21$$ p^{30} T^{16} - 1703864185686878 p^{35} T^{17} + 19402311130 p^{40} T^{18} - 112586 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	89	$ 1 - 53305266132 T^{2} + $$13\!\cdots\!30$$ T^{4} - $$22\!\cdots\!96$$ T^{6} + $$27\!\cdots\!89$$ T^{8} - $$27\!\cdots\!36$$ T^{10} + $$22\!\cdots\!48$$ T^{12} - $$16\!\cdots\!56$$ T^{14} + $$11\!\cdots\!22$$ T^{16} - $$70\!\cdots\!80$$ T^{18} + $$40\!\cdots\!20$$ T^{20} - $$70\!\cdots\!80$$ p^{10} T^{22} + $$11\!\cdots\!22$$ p^{20} T^{24} - $$16\!\cdots\!56$$ p^{30} T^{26} + $$22\!\cdots\!48$$ p^{40} T^{28} - $$27\!\cdots\!36$$ p^{50} T^{30} + $$27\!\cdots\!89$$ p^{60} T^{32} - $$22\!\cdots\!96$$ p^{70} T^{34} + $$13\!\cdots\!30$$ p^{80} T^{36} - 53305266132 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	97	$ ( 1 - 3800 T + 22443771702 T^{2} - 608378862672152 T^{3} + $$32\!\cdots\!41$$ T^{4} - $$82\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$43\!\cdots\!12$$ T^{6} - $$80\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$47\!\cdots\!18$$ T^{8} - $$11\!\cdots\!16$$ T^{9} + $$43\!\cdots\!80$$ T^{10} - $$11\!\cdots\!16$$ p^{5} T^{11} + $$47\!\cdots\!18$$ p^{10} T^{12} - $$80\!\cdots\!80$$ p^{15} T^{13} + $$43\!\cdots\!12$$ p^{20} T^{14} - $$82\!\cdots\!72$$ p^{25} T^{15} + $$32\!\cdots\!41$$ p^{30} T^{16} - 608378862672152 p^{35} T^{17} + 22443771702 p^{40} T^{18} - 3800 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.71883072276217681838558157077, −1.64708637757671843200771524579, −1.58039093437725584540906844800, −1.53729162258342359083102320702, −1.40955511053108813303721413080, −1.40080925535106334667625520054, −1.31303116323558031699306147925, −1.29437251521083522066458895962, −1.27938982775671147536617523203, −1.16586787196170854067991484310, −1.11732571269374455321423035253, −1.09396999606355593583466990958, −0.991491645460425370674422976302, −0.798468649525055564408477252502, −0.77182573564791675025047920324, −0.71962054658839559167268832299, −0.60733998183980276787130108910, −0.56957673580532921261066940904, −0.48840008988058303932972320686, −0.43272909945410814649252596021, −0.38939813035703453798242213740, −0.31931483484182881792786362875, −0.21923392094176048168452255103, −0.13268175328681849270870252967, −0.01269549160023239933258804334, 0.01269549160023239933258804334, 0.13268175328681849270870252967, 0.21923392094176048168452255103, 0.31931483484182881792786362875, 0.38939813035703453798242213740, 0.43272909945410814649252596021, 0.48840008988058303932972320686, 0.56957673580532921261066940904, 0.60733998183980276787130108910, 0.71962054658839559167268832299, 0.77182573564791675025047920324, 0.798468649525055564408477252502, 0.991491645460425370674422976302, 1.09396999606355593583466990958, 1.11732571269374455321423035253, 1.16586787196170854067991484310, 1.27938982775671147536617523203, 1.29437251521083522066458895962, 1.31303116323558031699306147925, 1.40080925535106334667625520054, 1.40955511053108813303721413080, 1.53729162258342359083102320702, 1.58039093437725584540906844800, 1.64708637757671843200771524579, 1.71883072276217681838558157077

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(0.5744338953\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.5744338953\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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