Properties

Label 40-276e20-1.1-c1e20-0-0
Degree $40$
Conductor $6.579\times 10^{48}$
Sign $1$
Analytic cond. $7.30674\times 10^{6}$
Root an. cond. $1.48454$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2·3-s − 4·5-s + 9-s − 22·13-s + 8·15-s + 7·17-s + 19·19-s + 20·23-s + 23·25-s + 32·29-s − 3·31-s − 10·37-s + 44·39-s − 40·41-s + 8·43-s − 4·45-s − 18·47-s − 10·49-s − 14·51-s − 34·53-s − 38·57-s − 32·59-s + 32·61-s + 88·65-s + 35·67-s − 40·69-s + 33·71-s + ⋯
L(s)  = 1  − 1.15·3-s − 1.78·5-s + 1/3·9-s − 6.10·13-s + 2.06·15-s + 1.69·17-s + 4.35·19-s + 4.17·23-s + 23/5·25-s + 5.94·29-s − 0.538·31-s − 1.64·37-s + 7.04·39-s − 6.24·41-s + 1.21·43-s − 0.596·45-s − 2.62·47-s − 1.42·49-s − 1.96·51-s − 4.67·53-s − 5.03·57-s − 4.16·59-s + 4.09·61-s + 10.9·65-s + 4.27·67-s − 4.81·69-s + 3.91·71-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(40\)
Conductor: \(2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 23^{20}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(7.30674\times 10^{6}\)
Root analytic conductor: \(1.48454\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{276} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((40,\ 2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 23^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(3.650225804\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(3.650225804\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
3 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} )^{2} \)
23 \( 1 - 20 T + 267 T^{2} - 2614 T^{3} + 21125 T^{4} - 145216 T^{5} + 882867 T^{6} - 4874202 T^{7} + 25102273 T^{8} - 124065888 T^{9} + 598445177 T^{10} - 124065888 p T^{11} + 25102273 p^{2} T^{12} - 4874202 p^{3} T^{13} + 882867 p^{4} T^{14} - 145216 p^{5} T^{15} + 21125 p^{6} T^{16} - 2614 p^{7} T^{17} + 267 p^{8} T^{18} - 20 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \)
good5 \( 1 + 4 T - 7 T^{2} - 67 T^{3} - 74 T^{4} + 367 T^{5} + 1103 T^{6} - 6 T^{7} - 4158 T^{8} - 5457 T^{9} - 1277 T^{10} - 9306 T^{11} - 1073 p T^{12} + 176039 T^{13} + 581484 T^{14} + 283543 T^{15} - 2654119 T^{16} - 7758518 T^{17} - 1159707 p T^{18} + 22763717 T^{19} + 86578614 T^{20} + 22763717 p T^{21} - 1159707 p^{3} T^{22} - 7758518 p^{3} T^{23} - 2654119 p^{4} T^{24} + 283543 p^{5} T^{25} + 581484 p^{6} T^{26} + 176039 p^{7} T^{27} - 1073 p^{9} T^{28} - 9306 p^{9} T^{29} - 1277 p^{10} T^{30} - 5457 p^{11} T^{31} - 4158 p^{12} T^{32} - 6 p^{13} T^{33} + 1103 p^{14} T^{34} + 367 p^{15} T^{35} - 74 p^{16} T^{36} - 67 p^{17} T^{37} - 7 p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
7 \( 1 + 10 T^{2} + 12 p T^{4} + 72 p T^{6} - 704 T^{7} + 1606 T^{8} - 6710 T^{9} - 15775 T^{10} - 57882 T^{11} - 22069 p T^{12} - 190432 T^{13} - 604435 T^{14} + 1098064 T^{15} - 4523209 T^{16} + 36801908 T^{17} + 10670682 T^{18} + 343561922 T^{19} + 181471665 T^{20} + 343561922 p T^{21} + 10670682 p^{2} T^{22} + 36801908 p^{3} T^{23} - 4523209 p^{4} T^{24} + 1098064 p^{5} T^{25} - 604435 p^{6} T^{26} - 190432 p^{7} T^{27} - 22069 p^{9} T^{28} - 57882 p^{9} T^{29} - 15775 p^{10} T^{30} - 6710 p^{11} T^{31} + 1606 p^{12} T^{32} - 704 p^{13} T^{33} + 72 p^{15} T^{34} + 12 p^{17} T^{36} + 10 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \)
11 \( 1 - 12 T^{2} + 6 p T^{3} - 87 T^{4} - 102 p T^{5} + 3409 T^{6} - 31 p^{2} T^{7} - 45011 T^{8} + 17860 p T^{9} + 45176 T^{10} - 194385 p T^{11} + 7215891 T^{12} + 888233 p T^{13} - 102283292 T^{14} + 22570545 p T^{15} + 574744655 T^{16} - 439444438 p T^{17} + 8704693942 T^{18} + 2137580462 p T^{19} - 210132297055 T^{20} + 2137580462 p^{2} T^{21} + 8704693942 p^{2} T^{22} - 439444438 p^{4} T^{23} + 574744655 p^{4} T^{24} + 22570545 p^{6} T^{25} - 102283292 p^{6} T^{26} + 888233 p^{8} T^{27} + 7215891 p^{8} T^{28} - 194385 p^{10} T^{29} + 45176 p^{10} T^{30} + 17860 p^{12} T^{31} - 45011 p^{12} T^{32} - 31 p^{15} T^{33} + 3409 p^{14} T^{34} - 102 p^{16} T^{35} - 87 p^{16} T^{36} + 6 p^{18} T^{37} - 12 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \)
13 \( 1 + 22 T + 259 T^{2} + 2024 T^{3} + 11318 T^{4} + 45012 T^{5} + 108507 T^{6} - 42504 T^{7} - 2059662 T^{8} - 12884168 T^{9} - 53585192 T^{10} - 162942384 T^{11} - 307142435 T^{12} + 204070251 T^{13} + 4983679460 T^{14} + 26451628610 T^{15} + 91124418140 T^{16} + 193132265227 T^{17} - 34537276136 T^{18} - 2490960514438 T^{19} - 12399811986891 T^{20} - 2490960514438 p T^{21} - 34537276136 p^{2} T^{22} + 193132265227 p^{3} T^{23} + 91124418140 p^{4} T^{24} + 26451628610 p^{5} T^{25} + 4983679460 p^{6} T^{26} + 204070251 p^{7} T^{27} - 307142435 p^{8} T^{28} - 162942384 p^{9} T^{29} - 53585192 p^{10} T^{30} - 12884168 p^{11} T^{31} - 2059662 p^{12} T^{32} - 42504 p^{13} T^{33} + 108507 p^{14} T^{34} + 45012 p^{15} T^{35} + 11318 p^{16} T^{36} + 2024 p^{17} T^{37} + 259 p^{18} T^{38} + 22 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
17 \( 1 - 7 T + 29 T^{2} - 23 p T^{3} + 2547 T^{4} - 10194 T^{5} + 73515 T^{6} - 439439 T^{7} + 1733240 T^{8} - 529306 p T^{9} + 48544645 T^{10} - 189436955 T^{11} + 821027956 T^{12} - 3917498246 T^{13} + 15134821956 T^{14} - 60973516337 T^{15} + 259625783314 T^{16} - 997518717329 T^{17} + 4080310792424 T^{18} - 16660820739878 T^{19} + 65624741269503 T^{20} - 16660820739878 p T^{21} + 4080310792424 p^{2} T^{22} - 997518717329 p^{3} T^{23} + 259625783314 p^{4} T^{24} - 60973516337 p^{5} T^{25} + 15134821956 p^{6} T^{26} - 3917498246 p^{7} T^{27} + 821027956 p^{8} T^{28} - 189436955 p^{9} T^{29} + 48544645 p^{10} T^{30} - 529306 p^{12} T^{31} + 1733240 p^{12} T^{32} - 439439 p^{13} T^{33} + 73515 p^{14} T^{34} - 10194 p^{15} T^{35} + 2547 p^{16} T^{36} - 23 p^{18} T^{37} + 29 p^{18} T^{38} - 7 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
19 \( 1 - p T + 160 T^{2} - 484 T^{3} - 3992 T^{4} + 56264 T^{5} - 287215 T^{6} + 138667 T^{7} + 432426 p T^{8} - 3078451 p T^{9} + 149213834 T^{10} + 555791902 T^{11} - 6776182138 T^{12} + 26791809973 T^{13} - 11352343833 T^{14} - 457195189120 T^{15} + 2744012563312 T^{16} - 7339508899778 T^{17} - 4490418656123 T^{18} + 150608272718626 T^{19} - 865918296552387 T^{20} + 150608272718626 p T^{21} - 4490418656123 p^{2} T^{22} - 7339508899778 p^{3} T^{23} + 2744012563312 p^{4} T^{24} - 457195189120 p^{5} T^{25} - 11352343833 p^{6} T^{26} + 26791809973 p^{7} T^{27} - 6776182138 p^{8} T^{28} + 555791902 p^{9} T^{29} + 149213834 p^{10} T^{30} - 3078451 p^{12} T^{31} + 432426 p^{13} T^{32} + 138667 p^{13} T^{33} - 287215 p^{14} T^{34} + 56264 p^{15} T^{35} - 3992 p^{16} T^{36} - 484 p^{17} T^{37} + 160 p^{18} T^{38} - p^{20} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
29 \( 1 - 32 T + 454 T^{2} - 3673 T^{3} + 15926 T^{4} + 21158 T^{5} - 37192 p T^{6} + 10608945 T^{7} - 58037063 T^{8} + 95074878 T^{9} + 1589287452 T^{10} - 18923904817 T^{11} + 113079176945 T^{12} - 318411984510 T^{13} - 1271850418405 T^{14} + 22492759721743 T^{15} - 149679521487787 T^{16} + 515369853578218 T^{17} + 500411575101106 T^{18} - 19917208068964586 T^{19} + 145421454513241995 T^{20} - 19917208068964586 p T^{21} + 500411575101106 p^{2} T^{22} + 515369853578218 p^{3} T^{23} - 149679521487787 p^{4} T^{24} + 22492759721743 p^{5} T^{25} - 1271850418405 p^{6} T^{26} - 318411984510 p^{7} T^{27} + 113079176945 p^{8} T^{28} - 18923904817 p^{9} T^{29} + 1589287452 p^{10} T^{30} + 95074878 p^{11} T^{31} - 58037063 p^{12} T^{32} + 10608945 p^{13} T^{33} - 37192 p^{15} T^{34} + 21158 p^{15} T^{35} + 15926 p^{16} T^{36} - 3673 p^{17} T^{37} + 454 p^{18} T^{38} - 32 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
31 \( 1 + 3 T - 72 T^{2} - 135 T^{3} + 1225 T^{4} - 10402 T^{5} + 39726 T^{6} + 769096 T^{7} - 3162412 T^{8} - 15101685 T^{9} + 125100502 T^{10} - 185093612 T^{11} - 2242005589 T^{12} + 22497551754 T^{13} - 18236607049 T^{14} - 841616240964 T^{15} + 1987857003925 T^{16} + 17994340285644 T^{17} - 67152409319332 T^{18} - 180070573276879 T^{19} + 1958504806314211 T^{20} - 180070573276879 p T^{21} - 67152409319332 p^{2} T^{22} + 17994340285644 p^{3} T^{23} + 1987857003925 p^{4} T^{24} - 841616240964 p^{5} T^{25} - 18236607049 p^{6} T^{26} + 22497551754 p^{7} T^{27} - 2242005589 p^{8} T^{28} - 185093612 p^{9} T^{29} + 125100502 p^{10} T^{30} - 15101685 p^{11} T^{31} - 3162412 p^{12} T^{32} + 769096 p^{13} T^{33} + 39726 p^{14} T^{34} - 10402 p^{15} T^{35} + 1225 p^{16} T^{36} - 135 p^{17} T^{37} - 72 p^{18} T^{38} + 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
37 \( 1 + 10 T - 2 T^{2} - 219 T^{3} - 348 T^{4} - 12930 T^{5} - 31725 T^{6} + 773251 T^{7} + 2141114 T^{8} - 7209243 T^{9} - 31187653 T^{10} - 868113182 T^{11} - 201363547 T^{12} + 37478836878 T^{13} + 61286593772 T^{14} + 381740910754 T^{15} - 4116428620109 T^{16} - 96048451390964 T^{17} + 39033239265261 T^{18} + 2317245282414343 T^{19} + 4949621306838585 T^{20} + 2317245282414343 p T^{21} + 39033239265261 p^{2} T^{22} - 96048451390964 p^{3} T^{23} - 4116428620109 p^{4} T^{24} + 381740910754 p^{5} T^{25} + 61286593772 p^{6} T^{26} + 37478836878 p^{7} T^{27} - 201363547 p^{8} T^{28} - 868113182 p^{9} T^{29} - 31187653 p^{10} T^{30} - 7209243 p^{11} T^{31} + 2141114 p^{12} T^{32} + 773251 p^{13} T^{33} - 31725 p^{14} T^{34} - 12930 p^{15} T^{35} - 348 p^{16} T^{36} - 219 p^{17} T^{37} - 2 p^{18} T^{38} + 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
41 \( 1 + 40 T + 700 T^{2} + 7445 T^{3} + 63985 T^{4} + 562345 T^{5} + 4525242 T^{6} + 28664498 T^{7} + 175630129 T^{8} + 32049385 p T^{9} + 8490588699 T^{10} + 39097938663 T^{11} + 196501122896 T^{12} + 986142868715 T^{13} - 2002088086220 T^{14} - 70560962486178 T^{15} - 566809487912593 T^{16} - 4725172544439408 T^{17} - 41829140049412787 T^{18} - 267664309929513577 T^{19} - 1522161639851623999 T^{20} - 267664309929513577 p T^{21} - 41829140049412787 p^{2} T^{22} - 4725172544439408 p^{3} T^{23} - 566809487912593 p^{4} T^{24} - 70560962486178 p^{5} T^{25} - 2002088086220 p^{6} T^{26} + 986142868715 p^{7} T^{27} + 196501122896 p^{8} T^{28} + 39097938663 p^{9} T^{29} + 8490588699 p^{10} T^{30} + 32049385 p^{12} T^{31} + 175630129 p^{12} T^{32} + 28664498 p^{13} T^{33} + 4525242 p^{14} T^{34} + 562345 p^{15} T^{35} + 63985 p^{16} T^{36} + 7445 p^{17} T^{37} + 700 p^{18} T^{38} + 40 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
43 \( 1 - 8 T + 151 T^{2} - 235 T^{3} + 5448 T^{4} + 50619 T^{5} + 221257 T^{6} + 2599703 T^{7} + 36127610 T^{8} + 80329836 T^{9} + 2241256410 T^{10} + 10229026636 T^{11} + 97157783746 T^{12} + 693354211191 T^{13} + 5561470106920 T^{14} + 33999009006485 T^{15} + 283642631828900 T^{16} + 1748971623626528 T^{17} + 13506149720181393 T^{18} + 75325393232201687 T^{19} + 636346632076380835 T^{20} + 75325393232201687 p T^{21} + 13506149720181393 p^{2} T^{22} + 1748971623626528 p^{3} T^{23} + 283642631828900 p^{4} T^{24} + 33999009006485 p^{5} T^{25} + 5561470106920 p^{6} T^{26} + 693354211191 p^{7} T^{27} + 97157783746 p^{8} T^{28} + 10229026636 p^{9} T^{29} + 2241256410 p^{10} T^{30} + 80329836 p^{11} T^{31} + 36127610 p^{12} T^{32} + 2599703 p^{13} T^{33} + 221257 p^{14} T^{34} + 50619 p^{15} T^{35} + 5448 p^{16} T^{36} - 235 p^{17} T^{37} + 151 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
47 \( ( 1 + 9 T + 345 T^{2} + 2142 T^{3} + 51291 T^{4} + 231170 T^{5} + 4774721 T^{6} + 16929214 T^{7} + 329734077 T^{8} + 995101632 T^{9} + 17642029117 T^{10} + 995101632 p T^{11} + 329734077 p^{2} T^{12} + 16929214 p^{3} T^{13} + 4774721 p^{4} T^{14} + 231170 p^{5} T^{15} + 51291 p^{6} T^{16} + 2142 p^{7} T^{17} + 345 p^{8} T^{18} + 9 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \)
53 \( 1 + 34 T + 653 T^{2} + 9476 T^{3} + 115676 T^{4} + 1278467 T^{5} + 13255054 T^{6} + 128901871 T^{7} + 1172987355 T^{8} + 10009303776 T^{9} + 80473208648 T^{10} + 611755061000 T^{11} + 4377188889574 T^{12} + 29108804792530 T^{13} + 176934661772855 T^{14} + 955020445618192 T^{15} + 4281000971013146 T^{16} + 12453305079227055 T^{17} - 23230111621584272 T^{18} - 724601833941600363 T^{19} - 6701160232561627355 T^{20} - 724601833941600363 p T^{21} - 23230111621584272 p^{2} T^{22} + 12453305079227055 p^{3} T^{23} + 4281000971013146 p^{4} T^{24} + 955020445618192 p^{5} T^{25} + 176934661772855 p^{6} T^{26} + 29108804792530 p^{7} T^{27} + 4377188889574 p^{8} T^{28} + 611755061000 p^{9} T^{29} + 80473208648 p^{10} T^{30} + 10009303776 p^{11} T^{31} + 1172987355 p^{12} T^{32} + 128901871 p^{13} T^{33} + 13255054 p^{14} T^{34} + 1278467 p^{15} T^{35} + 115676 p^{16} T^{36} + 9476 p^{17} T^{37} + 653 p^{18} T^{38} + 34 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
59 \( 1 + 32 T + 878 T^{2} + 18195 T^{3} + 338463 T^{4} + 5517914 T^{5} + 83179359 T^{6} + 1153049981 T^{7} + 15027416918 T^{8} + 184026028365 T^{9} + 2141019945337 T^{10} + 23679206874508 T^{11} + 250488111510428 T^{12} + 2536422897871257 T^{13} + 24674779384464866 T^{14} + 230764235953241732 T^{15} + 2079378525452721468 T^{16} + 18060189133313188119 T^{17} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( T^{18} + \)\(12\!\cdots\!41\)\( T^{19} + \)\(95\!\cdots\!09\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!41\)\( p T^{21} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( p^{2} T^{22} + 18060189133313188119 p^{3} T^{23} + 2079378525452721468 p^{4} T^{24} + 230764235953241732 p^{5} T^{25} + 24674779384464866 p^{6} T^{26} + 2536422897871257 p^{7} T^{27} + 250488111510428 p^{8} T^{28} + 23679206874508 p^{9} T^{29} + 2141019945337 p^{10} T^{30} + 184026028365 p^{11} T^{31} + 15027416918 p^{12} T^{32} + 1153049981 p^{13} T^{33} + 83179359 p^{14} T^{34} + 5517914 p^{15} T^{35} + 338463 p^{16} T^{36} + 18195 p^{17} T^{37} + 878 p^{18} T^{38} + 32 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
61 \( 1 - 32 T + 203 T^{2} + 3799 T^{3} - 50430 T^{4} - 82870 T^{5} + 2192960 T^{6} + 26893142 T^{7} - 208165101 T^{8} - 3748563696 T^{9} + 38592677611 T^{10} + 86222233715 T^{11} - 1754447616823 T^{12} - 5836988382386 T^{13} + 57639041939912 T^{14} + 1174640879107380 T^{15} - 12071032931474001 T^{16} - 13391951435419578 T^{17} + 648991110946272559 T^{18} - 1736100634272185904 T^{19} - 11288436913747756233 T^{20} - 1736100634272185904 p T^{21} + 648991110946272559 p^{2} T^{22} - 13391951435419578 p^{3} T^{23} - 12071032931474001 p^{4} T^{24} + 1174640879107380 p^{5} T^{25} + 57639041939912 p^{6} T^{26} - 5836988382386 p^{7} T^{27} - 1754447616823 p^{8} T^{28} + 86222233715 p^{9} T^{29} + 38592677611 p^{10} T^{30} - 3748563696 p^{11} T^{31} - 208165101 p^{12} T^{32} + 26893142 p^{13} T^{33} + 2192960 p^{14} T^{34} - 82870 p^{15} T^{35} - 50430 p^{16} T^{36} + 3799 p^{17} T^{37} + 203 p^{18} T^{38} - 32 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
67 \( 1 - 35 T + 338 T^{2} + 2812 T^{3} - 80070 T^{4} + 293463 T^{5} + 7144827 T^{6} - 84857653 T^{7} - 56272147 T^{8} + 7785788782 T^{9} - 48397515208 T^{10} - 295721371219 T^{11} + 5749245451850 T^{12} - 15682545180797 T^{13} - 335449656526333 T^{14} + 3484843519226636 T^{15} + 1609244424655011 T^{16} - 271307152208145631 T^{17} + 1695973541539943150 T^{18} + 8318819711659041408 T^{19} - \)\(17\!\cdots\!63\)\( T^{20} + 8318819711659041408 p T^{21} + 1695973541539943150 p^{2} T^{22} - 271307152208145631 p^{3} T^{23} + 1609244424655011 p^{4} T^{24} + 3484843519226636 p^{5} T^{25} - 335449656526333 p^{6} T^{26} - 15682545180797 p^{7} T^{27} + 5749245451850 p^{8} T^{28} - 295721371219 p^{9} T^{29} - 48397515208 p^{10} T^{30} + 7785788782 p^{11} T^{31} - 56272147 p^{12} T^{32} - 84857653 p^{13} T^{33} + 7144827 p^{14} T^{34} + 293463 p^{15} T^{35} - 80070 p^{16} T^{36} + 2812 p^{17} T^{37} + 338 p^{18} T^{38} - 35 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
71 \( 1 - 33 T + 481 T^{2} - 55 p T^{3} + 5836 T^{4} + 408529 T^{5} - 7435052 T^{6} + 72438498 T^{7} - 413570379 T^{8} + 170046558 T^{9} + 28202937345 T^{10} - 364077803969 T^{11} + 2746258775904 T^{12} - 16769508034730 T^{13} + 116424432470911 T^{14} - 1020586156100973 T^{15} + 8389837220301012 T^{16} - 23548600501945684 T^{17} - 662299169228015054 T^{18} + 12800902357586033647 T^{19} - \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{20} + 12800902357586033647 p T^{21} - 662299169228015054 p^{2} T^{22} - 23548600501945684 p^{3} T^{23} + 8389837220301012 p^{4} T^{24} - 1020586156100973 p^{5} T^{25} + 116424432470911 p^{6} T^{26} - 16769508034730 p^{7} T^{27} + 2746258775904 p^{8} T^{28} - 364077803969 p^{9} T^{29} + 28202937345 p^{10} T^{30} + 170046558 p^{11} T^{31} - 413570379 p^{12} T^{32} + 72438498 p^{13} T^{33} - 7435052 p^{14} T^{34} + 408529 p^{15} T^{35} + 5836 p^{16} T^{36} - 55 p^{18} T^{37} + 481 p^{18} T^{38} - 33 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
73 \( 1 + T + 115 T^{2} + 269 T^{3} + 6198 T^{4} + 97977 T^{5} - 8682 T^{6} + 9997577 T^{7} - 4198290 T^{8} + 346562490 T^{9} + 4951316500 T^{10} + 20314546517 T^{11} + 606845746049 T^{12} + 3352773074012 T^{13} + 25390176798260 T^{14} + 483891495422584 T^{15} + 1383096018344500 T^{16} + 27938268134956973 T^{17} + 229019433574708187 T^{18} + 125291709580923354 T^{19} + 21123834824822580953 T^{20} + 125291709580923354 p T^{21} + 229019433574708187 p^{2} T^{22} + 27938268134956973 p^{3} T^{23} + 1383096018344500 p^{4} T^{24} + 483891495422584 p^{5} T^{25} + 25390176798260 p^{6} T^{26} + 3352773074012 p^{7} T^{27} + 606845746049 p^{8} T^{28} + 20314546517 p^{9} T^{29} + 4951316500 p^{10} T^{30} + 346562490 p^{11} T^{31} - 4198290 p^{12} T^{32} + 9997577 p^{13} T^{33} - 8682 p^{14} T^{34} + 97977 p^{15} T^{35} + 6198 p^{16} T^{36} + 269 p^{17} T^{37} + 115 p^{18} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
79 \( 1 - 22 T - 53 T^{2} + 4906 T^{3} - 22132 T^{4} - 439252 T^{5} + 3704165 T^{6} + 20024664 T^{7} - 332421853 T^{8} - 168658556 T^{9} + 30241240744 T^{10} - 151055858448 T^{11} - 1989148779389 T^{12} + 18112866674276 T^{13} + 71493757081325 T^{14} - 861527926383102 T^{15} - 1914859037180936 T^{16} + 32423172471222742 T^{17} - 182466836123487559 T^{18} - 1430020819083553752 T^{19} + 39862795881648448543 T^{20} - 1430020819083553752 p T^{21} - 182466836123487559 p^{2} T^{22} + 32423172471222742 p^{3} T^{23} - 1914859037180936 p^{4} T^{24} - 861527926383102 p^{5} T^{25} + 71493757081325 p^{6} T^{26} + 18112866674276 p^{7} T^{27} - 1989148779389 p^{8} T^{28} - 151055858448 p^{9} T^{29} + 30241240744 p^{10} T^{30} - 168658556 p^{11} T^{31} - 332421853 p^{12} T^{32} + 20024664 p^{13} T^{33} + 3704165 p^{14} T^{34} - 439252 p^{15} T^{35} - 22132 p^{16} T^{36} + 4906 p^{17} T^{37} - 53 p^{18} T^{38} - 22 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
83 \( 1 + 14 T + 13 T^{2} + 784 T^{3} + 20814 T^{4} + 201664 T^{5} + 1588261 T^{6} + 14599386 T^{7} + 252124293 T^{8} + 2293137734 T^{9} + 22355982424 T^{10} + 325042658396 T^{11} + 2155041435567 T^{12} + 19530625184520 T^{13} + 285497723601811 T^{14} + 2741716612494350 T^{15} + 23109354026851928 T^{16} + 169014763476373536 T^{17} + 2175708890331094863 T^{18} + 21673682524651188128 T^{19} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{20} + 21673682524651188128 p T^{21} + 2175708890331094863 p^{2} T^{22} + 169014763476373536 p^{3} T^{23} + 23109354026851928 p^{4} T^{24} + 2741716612494350 p^{5} T^{25} + 285497723601811 p^{6} T^{26} + 19530625184520 p^{7} T^{27} + 2155041435567 p^{8} T^{28} + 325042658396 p^{9} T^{29} + 22355982424 p^{10} T^{30} + 2293137734 p^{11} T^{31} + 252124293 p^{12} T^{32} + 14599386 p^{13} T^{33} + 1588261 p^{14} T^{34} + 201664 p^{15} T^{35} + 20814 p^{16} T^{36} + 784 p^{17} T^{37} + 13 p^{18} T^{38} + 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
89 \( 1 - 10 T + 68 T^{2} + 961 T^{3} - 1435 T^{4} + 27676 T^{5} + 1147594 T^{6} - 110166 p T^{7} + 139655517 T^{8} + 561358388 T^{9} - 11780279115 T^{10} + 111912058762 T^{11} + 333922565124 T^{12} - 10564975580296 T^{13} + 161025953738384 T^{14} - 154014165638476 T^{15} - 8951975985502881 T^{16} + 163636130342373603 T^{17} + 170945525136798503 T^{18} - 4827666302082009448 T^{19} + \)\(14\!\cdots\!41\)\( T^{20} - 4827666302082009448 p T^{21} + 170945525136798503 p^{2} T^{22} + 163636130342373603 p^{3} T^{23} - 8951975985502881 p^{4} T^{24} - 154014165638476 p^{5} T^{25} + 161025953738384 p^{6} T^{26} - 10564975580296 p^{7} T^{27} + 333922565124 p^{8} T^{28} + 111912058762 p^{9} T^{29} - 11780279115 p^{10} T^{30} + 561358388 p^{11} T^{31} + 139655517 p^{12} T^{32} - 110166 p^{14} T^{33} + 1147594 p^{14} T^{34} + 27676 p^{15} T^{35} - 1435 p^{16} T^{36} + 961 p^{17} T^{37} + 68 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
97 \( 1 + 4 T - 70 T^{2} + 28 T^{3} + 15017 T^{4} - 129302 T^{5} - 303451 T^{6} + 16520274 T^{7} + 61378345 T^{8} - 2323821160 T^{9} + 12898238648 T^{10} - 39296851374 T^{11} - 1157482156433 T^{12} + 664050206419 T^{13} + 182763669052814 T^{14} - 2734650814798499 T^{15} + 12783628734951771 T^{16} + 100751338232871156 T^{17} - 1315523038158383879 T^{18} - 15784193501233961020 T^{19} + \)\(37\!\cdots\!31\)\( T^{20} - 15784193501233961020 p T^{21} - 1315523038158383879 p^{2} T^{22} + 100751338232871156 p^{3} T^{23} + 12783628734951771 p^{4} T^{24} - 2734650814798499 p^{5} T^{25} + 182763669052814 p^{6} T^{26} + 664050206419 p^{7} T^{27} - 1157482156433 p^{8} T^{28} - 39296851374 p^{9} T^{29} + 12898238648 p^{10} T^{30} - 2323821160 p^{11} T^{31} + 61378345 p^{12} T^{32} + 16520274 p^{13} T^{33} - 303451 p^{14} T^{34} - 129302 p^{15} T^{35} + 15017 p^{16} T^{36} + 28 p^{17} T^{37} - 70 p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.01397133272435845321043242825, −2.96851560215970365403800198607, −2.85476536813044432320473613097, −2.85174290760069950070485550037, −2.79340846305641049024683917243, −2.75626097715573329512361757947, −2.45679246091751529105620542149, −2.37170007075588795597940093793, −2.14676185148405987104574186500, −2.10139871849701340085016270705, −2.05309007266983886379382283212, −2.04343498870579159322690080433, −2.00951833948540967500119361299, −1.89518427844016702061147423965, −1.75560068291132735179469174889, −1.71578711285566175275453896510, −1.50593557442672616171905596312, −1.30260894792712148541174146905, −1.08535583999476888414264669653, −0.870798466910479748340570422877, −0.853290761524924203036743056111, −0.852784352194874807773019090405, −0.67945956578828975860742641776, −0.62038451497262500351657807482, −0.39755783949839541115845281630, 0.39755783949839541115845281630, 0.62038451497262500351657807482, 0.67945956578828975860742641776, 0.852784352194874807773019090405, 0.853290761524924203036743056111, 0.870798466910479748340570422877, 1.08535583999476888414264669653, 1.30260894792712148541174146905, 1.50593557442672616171905596312, 1.71578711285566175275453896510, 1.75560068291132735179469174889, 1.89518427844016702061147423965, 2.00951833948540967500119361299, 2.04343498870579159322690080433, 2.05309007266983886379382283212, 2.10139871849701340085016270705, 2.14676185148405987104574186500, 2.37170007075588795597940093793, 2.45679246091751529105620542149, 2.75626097715573329512361757947, 2.79340846305641049024683917243, 2.85174290760069950070485550037, 2.85476536813044432320473613097, 2.96851560215970365403800198607, 3.01397133272435845321043242825

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.