# Properties

 Label 40-1151e20-1.1-c0e20-0-0 Degree $40$ Conductor $1.665\times 10^{61}$ Sign $1$ Analytic cond. $1.52985\times 10^{-5}$ Root an. cond. $0.757907$ Motivic weight $0$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2-s − 3-s − 5-s + 6-s − 7-s + 10-s − 11-s + 14-s + 15-s + 21-s + 22-s − 29-s − 30-s + 33-s + 35-s − 37-s − 42-s − 43-s − 47-s − 53-s + 55-s + 58-s − 59-s − 66-s − 67-s − 70-s + 74-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2-s − 3-s − 5-s + 6-s − 7-s + 10-s − 11-s + 14-s + 15-s + 21-s + 22-s − 29-s − 30-s + 33-s + 35-s − 37-s − 42-s − 43-s − 47-s − 53-s + 55-s + 58-s − 59-s − 66-s − 67-s − 70-s + 74-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(1151^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(1151^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$40$$ Conductor: $$1151^{20}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$1.52985\times 10^{-5}$$ Root analytic conductor: $$0.757907$$ Motivic weight: $$0$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: induced by $\chi_{1151} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(40,\ 1151^{20} ,\ ( \ : [0]^{20} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(\frac{1}{2})$$ $$\approx$$ $$0.04414772255$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$0.04414772255$$ $$L(1)$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad1151 $$( 1 - T )^{20}$$
good2 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
3 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
5 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
7 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
11 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
13 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
17 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
19 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
23 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
29 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
31 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
37 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
41 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
43 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
47 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
53 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
59 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
61 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
67 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
71 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
73 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
79 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
83 $$1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} + T^{29} + T^{30} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} + T^{37} + T^{38} + T^{39} + T^{40}$$
89 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
97 $$( 1 - T )^{20}( 1 + T )^{20}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$