Properties

Label 36-76e18-1.1-c5e18-0-0
Degree $36$
Conductor $7.156\times 10^{33}$
Sign $1$
Analytic cond. $3.52804\times 10^{19}$
Root an. cond. $3.49129$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 11·3-s + 11·5-s + 336·7-s + 703·9-s − 320·11-s + 227·13-s − 121·15-s + 179·17-s − 868·19-s − 3.69e3·21-s − 3.42e3·23-s + 1.05e4·25-s − 4.16e3·27-s − 7.34e3·29-s − 9.96e3·31-s + 3.52e3·33-s + 3.69e3·35-s + 2.64e4·37-s − 2.49e3·39-s − 7.31e3·41-s − 8.28e3·43-s + 7.73e3·45-s + 3.76e4·47-s − 3.24e4·49-s − 1.96e3·51-s − 2.03e4·53-s − 3.52e3·55-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.705·3-s + 0.196·5-s + 2.59·7-s + 2.89·9-s − 0.797·11-s + 0.372·13-s − 0.138·15-s + 0.150·17-s − 0.551·19-s − 1.82·21-s − 1.35·23-s + 3.39·25-s − 1.09·27-s − 1.62·29-s − 1.86·31-s + 0.562·33-s + 0.509·35-s + 3.17·37-s − 0.262·39-s − 0.679·41-s − 0.683·43-s + 0.569·45-s + 2.48·47-s − 1.93·49-s − 0.106·51-s − 0.994·53-s − 0.156·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(36\)
Conductor: \(2^{36} \cdot 19^{18}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(3.52804\times 10^{19}\)
Root analytic conductor: \(3.49129\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: induced by $\chi_{76} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((36,\ 2^{36} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [5/2]^{18} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(\approx\) \(1.032108195\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(1.032108195\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
19 \( 1 + 868 T + 7248128 T^{2} + 10562267824 T^{3} + 1698665208908 p T^{4} + 150772294374916 p^{2} T^{5} + 740215986432857 p^{4} T^{6} + 81736713490350528 p^{5} T^{7} + 273379919778802848 p^{7} T^{8} + 1700728017235828736 p^{9} T^{9} + 273379919778802848 p^{12} T^{10} + 81736713490350528 p^{15} T^{11} + 740215986432857 p^{19} T^{12} + 150772294374916 p^{22} T^{13} + 1698665208908 p^{26} T^{14} + 10562267824 p^{30} T^{15} + 7248128 p^{35} T^{16} + 868 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} \)
good3 \( 1 + 11 T - 194 p T^{2} - 9971 T^{3} + 84251 T^{4} + 1349750 p T^{5} + 25184552 T^{6} - 1015141406 T^{7} - 5570914451 p T^{8} + 137701102055 T^{9} + 5752175982502 T^{10} + 1975699485733 p^{2} T^{11} - 129404617556497 p^{2} T^{12} - 62331202793006 p^{5} T^{13} + 226423294777696 p^{5} T^{14} + 5135823733310206 p^{6} T^{15} + 39451641363038870 p^{6} T^{16} - 55379781014040280 p^{8} T^{17} - 1411840124268580880 p^{8} T^{18} - 55379781014040280 p^{13} T^{19} + 39451641363038870 p^{16} T^{20} + 5135823733310206 p^{21} T^{21} + 226423294777696 p^{25} T^{22} - 62331202793006 p^{30} T^{23} - 129404617556497 p^{32} T^{24} + 1975699485733 p^{37} T^{25} + 5752175982502 p^{40} T^{26} + 137701102055 p^{45} T^{27} - 5570914451 p^{51} T^{28} - 1015141406 p^{55} T^{29} + 25184552 p^{60} T^{30} + 1349750 p^{66} T^{31} + 84251 p^{70} T^{32} - 9971 p^{75} T^{33} - 194 p^{81} T^{34} + 11 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
5 \( 1 - 11 T - 419 p^{2} T^{2} + 415206 T^{3} + 45438244 T^{4} - 621824652 p T^{5} - 80045027799 T^{6} + 8475699259899 T^{7} - 3267193772314 p T^{8} - 2127566320273409 T^{9} - 14815991808563687 p T^{10} - 29902881709693172976 T^{11} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!77\)\( p T^{13} + \)\(73\!\cdots\!14\)\( T^{14} + \)\(39\!\cdots\!31\)\( T^{15} - \)\(15\!\cdots\!18\)\( p T^{16} - \)\(76\!\cdots\!11\)\( T^{17} + \)\(32\!\cdots\!46\)\( T^{18} - \)\(76\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{19} - \)\(15\!\cdots\!18\)\( p^{11} T^{20} + \)\(39\!\cdots\!31\)\( p^{15} T^{21} + \)\(73\!\cdots\!14\)\( p^{20} T^{22} - \)\(15\!\cdots\!77\)\( p^{26} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( p^{30} T^{24} - 29902881709693172976 p^{35} T^{25} - 14815991808563687 p^{41} T^{26} - 2127566320273409 p^{45} T^{27} - 3267193772314 p^{51} T^{28} + 8475699259899 p^{55} T^{29} - 80045027799 p^{60} T^{30} - 621824652 p^{66} T^{31} + 45438244 p^{70} T^{32} + 415206 p^{75} T^{33} - 419 p^{82} T^{34} - 11 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
7 \( ( 1 - 24 p T + 58559 T^{2} - 8686208 T^{3} + 257901848 p T^{4} - 261473337472 T^{5} + 42903720274008 T^{6} - 6328867007269120 T^{7} + 894591680310173638 T^{8} - \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{9} + 894591680310173638 p^{5} T^{10} - 6328867007269120 p^{10} T^{11} + 42903720274008 p^{15} T^{12} - 261473337472 p^{20} T^{13} + 257901848 p^{26} T^{14} - 8686208 p^{30} T^{15} + 58559 p^{35} T^{16} - 24 p^{41} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} \)
11 \( ( 1 + 160 T + 761872 T^{2} + 59718356 T^{3} + 293044972596 T^{4} + 5983035357104 T^{5} + 76637915709676129 T^{6} - 1399475826789995712 T^{7} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( T^{8} - \)\(46\!\cdots\!44\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{10} - 1399475826789995712 p^{10} T^{11} + 76637915709676129 p^{15} T^{12} + 5983035357104 p^{20} T^{13} + 293044972596 p^{25} T^{14} + 59718356 p^{30} T^{15} + 761872 p^{35} T^{16} + 160 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} \)
13 \( 1 - 227 T - 1380207 T^{2} + 489044098 T^{3} + 713336947364 T^{4} - 403455797022032 T^{5} - 198014695556118283 T^{6} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( T^{7} + \)\(73\!\cdots\!94\)\( T^{8} - \)\(85\!\cdots\!17\)\( T^{9} - \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{2} T^{10} + \)\(50\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!41\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!73\)\( T^{13} + \)\(50\!\cdots\!94\)\( T^{14} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( T^{15} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{16} - \)\(32\!\cdots\!99\)\( T^{17} + \)\(53\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(32\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{19} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{20} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( p^{15} T^{21} + \)\(50\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{22} - \)\(18\!\cdots\!73\)\( p^{25} T^{23} + \)\(36\!\cdots\!41\)\( p^{30} T^{24} + \)\(50\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{25} - \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{42} T^{26} - \)\(85\!\cdots\!17\)\( p^{45} T^{27} + \)\(73\!\cdots\!94\)\( p^{50} T^{28} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( p^{55} T^{29} - 198014695556118283 p^{60} T^{30} - 403455797022032 p^{65} T^{31} + 713336947364 p^{70} T^{32} + 489044098 p^{75} T^{33} - 1380207 p^{80} T^{34} - 227 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
17 \( 1 - 179 T - 171523 p T^{2} - 3335723162 T^{3} - 24127036168 T^{4} + 10320511049587252 T^{5} + 12143138796334401489 T^{6} + \)\(11\!\cdots\!99\)\( p T^{7} - \)\(11\!\cdots\!18\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!77\)\( T^{9} - \)\(24\!\cdots\!23\)\( T^{10} - \)\(75\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!77\)\( T^{12} + \)\(60\!\cdots\!11\)\( T^{13} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( T^{14} + \)\(55\!\cdots\!63\)\( T^{15} - \)\(45\!\cdots\!90\)\( T^{16} - \)\(57\!\cdots\!95\)\( T^{17} - \)\(69\!\cdots\!02\)\( T^{18} - \)\(57\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{19} - \)\(45\!\cdots\!90\)\( p^{10} T^{20} + \)\(55\!\cdots\!63\)\( p^{15} T^{21} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( p^{20} T^{22} + \)\(60\!\cdots\!11\)\( p^{25} T^{23} + \)\(29\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{24} - \)\(75\!\cdots\!52\)\( p^{35} T^{25} - \)\(24\!\cdots\!23\)\( p^{40} T^{26} - \)\(26\!\cdots\!77\)\( p^{45} T^{27} - \)\(11\!\cdots\!18\)\( p^{50} T^{28} + \)\(11\!\cdots\!99\)\( p^{56} T^{29} + 12143138796334401489 p^{60} T^{30} + 10320511049587252 p^{65} T^{31} - 24127036168 p^{70} T^{32} - 3335723162 p^{75} T^{33} - 171523 p^{81} T^{34} - 179 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
23 \( 1 + 3425 T - 13175901 T^{2} - 64912614384 T^{3} + 36094532250674 T^{4} + 524427950506124102 T^{5} + \)\(33\!\cdots\!23\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!27\)\( T^{7} - \)\(22\!\cdots\!06\)\( T^{8} + \)\(38\!\cdots\!61\)\( p T^{9} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( T^{10} - \)\(87\!\cdots\!34\)\( T^{11} - \)\(25\!\cdots\!41\)\( T^{12} + \)\(39\!\cdots\!21\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!23\)\( T^{15} - \)\(66\!\cdots\!44\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{17} - \)\(59\!\cdots\!42\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!21\)\( p^{5} T^{19} - \)\(66\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{20} + \)\(14\!\cdots\!23\)\( p^{15} T^{21} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( p^{20} T^{22} + \)\(39\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{23} - \)\(25\!\cdots\!41\)\( p^{30} T^{24} - \)\(87\!\cdots\!34\)\( p^{35} T^{25} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( p^{40} T^{26} + \)\(38\!\cdots\!61\)\( p^{46} T^{27} - \)\(22\!\cdots\!06\)\( p^{50} T^{28} - \)\(20\!\cdots\!27\)\( p^{55} T^{29} + \)\(33\!\cdots\!23\)\( p^{60} T^{30} + 524427950506124102 p^{65} T^{31} + 36094532250674 p^{70} T^{32} - 64912614384 p^{75} T^{33} - 13175901 p^{80} T^{34} + 3425 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
29 \( 1 + 7349 T - 2047975 p T^{2} - 193957064538 T^{3} + 4058234096041084 T^{4} - 538612117712445324 T^{5} - \)\(14\!\cdots\!31\)\( T^{6} + \)\(43\!\cdots\!43\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!21\)\( T^{9} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( T^{10} + \)\(56\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(66\!\cdots\!31\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!37\)\( T^{13} + \)\(36\!\cdots\!38\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( T^{15} - \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!59\)\( T^{17} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!59\)\( p^{5} T^{19} - \)\(10\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{20} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( p^{15} T^{21} + \)\(36\!\cdots\!38\)\( p^{20} T^{22} - \)\(11\!\cdots\!37\)\( p^{25} T^{23} - \)\(66\!\cdots\!31\)\( p^{30} T^{24} + \)\(56\!\cdots\!00\)\( p^{35} T^{25} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( p^{40} T^{26} - \)\(20\!\cdots\!21\)\( p^{45} T^{27} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( p^{50} T^{28} + \)\(43\!\cdots\!43\)\( p^{55} T^{29} - \)\(14\!\cdots\!31\)\( p^{60} T^{30} - 538612117712445324 p^{65} T^{31} + 4058234096041084 p^{70} T^{32} - 193957064538 p^{75} T^{33} - 2047975 p^{81} T^{34} + 7349 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
31 \( ( 1 + 4980 T + 90366083 T^{2} + 151471075152 T^{3} + 2570842377907796 T^{4} - 6189715000734548832 T^{5} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{10} - \)\(44\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{11} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{12} - 6189715000734548832 p^{20} T^{13} + 2570842377907796 p^{25} T^{14} + 151471075152 p^{30} T^{15} + 90366083 p^{35} T^{16} + 4980 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} \)
37 \( ( 1 - 13222 T + 449393477 T^{2} - 4242100179832 T^{3} + 83676476319660224 T^{4} - \)\(58\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(90\!\cdots\!96\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(71\!\cdots\!74\)\( T^{8} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(71\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{10} - \)\(48\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{11} + \)\(90\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{12} - \)\(58\!\cdots\!32\)\( p^{20} T^{13} + 83676476319660224 p^{25} T^{14} - 4242100179832 p^{30} T^{15} + 449393477 p^{35} T^{16} - 13222 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} \)
41 \( 1 + 7311 T - 656383496 T^{2} - 3936864188585 T^{3} + 232299027298020555 T^{4} + 25531542802714583294 p T^{5} - \)\(56\!\cdots\!24\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{8} + \)\(51\!\cdots\!11\)\( T^{9} - \)\(16\!\cdots\!76\)\( T^{10} + \)\(25\!\cdots\!47\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!91\)\( T^{12} - \)\(63\!\cdots\!54\)\( T^{13} - \)\(52\!\cdots\!20\)\( p T^{14} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{16} - \)\(91\!\cdots\!24\)\( p T^{17} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{18} - \)\(91\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{19} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( p^{10} T^{20} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( p^{15} T^{21} - \)\(52\!\cdots\!20\)\( p^{21} T^{22} - \)\(63\!\cdots\!54\)\( p^{25} T^{23} + \)\(20\!\cdots\!91\)\( p^{30} T^{24} + \)\(25\!\cdots\!47\)\( p^{35} T^{25} - \)\(16\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{26} + \)\(51\!\cdots\!11\)\( p^{45} T^{27} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( p^{50} T^{28} - \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{55} T^{29} - \)\(56\!\cdots\!24\)\( p^{60} T^{30} + 25531542802714583294 p^{66} T^{31} + 232299027298020555 p^{70} T^{32} - 3936864188585 p^{75} T^{33} - 656383496 p^{80} T^{34} + 7311 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
43 \( 1 + 8283 T - 943377149 T^{2} - 3762721467792 T^{3} + 501728053291701974 T^{4} + \)\(44\!\cdots\!98\)\( T^{5} - \)\(18\!\cdots\!33\)\( T^{6} + \)\(20\!\cdots\!95\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!50\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!27\)\( T^{9} - \)\(11\!\cdots\!69\)\( T^{10} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( T^{11} + \)\(23\!\cdots\!79\)\( T^{12} - \)\(45\!\cdots\!61\)\( T^{13} - \)\(42\!\cdots\!98\)\( T^{14} + \)\(48\!\cdots\!77\)\( T^{15} + \)\(70\!\cdots\!08\)\( T^{16} - \)\(25\!\cdots\!27\)\( T^{17} - \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{18} - \)\(25\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{19} + \)\(70\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{20} + \)\(48\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{21} - \)\(42\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{22} - \)\(45\!\cdots\!61\)\( p^{25} T^{23} + \)\(23\!\cdots\!79\)\( p^{30} T^{24} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( p^{35} T^{25} - \)\(11\!\cdots\!69\)\( p^{40} T^{26} - \)\(11\!\cdots\!27\)\( p^{45} T^{27} + \)\(51\!\cdots\!50\)\( p^{50} T^{28} + \)\(20\!\cdots\!95\)\( p^{55} T^{29} - \)\(18\!\cdots\!33\)\( p^{60} T^{30} + \)\(44\!\cdots\!98\)\( p^{65} T^{31} + 501728053291701974 p^{70} T^{32} - 3762721467792 p^{75} T^{33} - 943377149 p^{80} T^{34} + 8283 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
47 \( 1 - 37603 T - 151135689 T^{2} + 18464761692012 T^{3} - 47600585532755362 T^{4} - \)\(28\!\cdots\!30\)\( T^{5} - \)\(33\!\cdots\!37\)\( T^{6} + \)\(49\!\cdots\!13\)\( T^{7} + \)\(46\!\cdots\!06\)\( p T^{8} - \)\(28\!\cdots\!05\)\( T^{9} - \)\(26\!\cdots\!61\)\( T^{10} + \)\(49\!\cdots\!22\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( T^{12} + \)\(30\!\cdots\!57\)\( T^{13} - \)\(20\!\cdots\!98\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!51\)\( T^{15} + \)\(50\!\cdots\!08\)\( T^{16} - \)\(39\!\cdots\!17\)\( T^{17} - \)\(59\!\cdots\!58\)\( T^{18} - \)\(39\!\cdots\!17\)\( p^{5} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{20} + \)\(14\!\cdots\!51\)\( p^{15} T^{21} - \)\(20\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{22} + \)\(30\!\cdots\!57\)\( p^{25} T^{23} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( p^{30} T^{24} + \)\(49\!\cdots\!22\)\( p^{35} T^{25} - \)\(26\!\cdots\!61\)\( p^{40} T^{26} - \)\(28\!\cdots\!05\)\( p^{45} T^{27} + \)\(46\!\cdots\!06\)\( p^{51} T^{28} + \)\(49\!\cdots\!13\)\( p^{55} T^{29} - \)\(33\!\cdots\!37\)\( p^{60} T^{30} - \)\(28\!\cdots\!30\)\( p^{65} T^{31} - 47600585532755362 p^{70} T^{32} + 18464761692012 p^{75} T^{33} - 151135689 p^{80} T^{34} - 37603 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
53 \( 1 + 20337 T - 1495906559 T^{2} - 16176011127358 T^{3} + 1416630711430277988 T^{4} - \)\(92\!\cdots\!68\)\( T^{5} - \)\(95\!\cdots\!75\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!43\)\( T^{7} + \)\(44\!\cdots\!42\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!37\)\( T^{9} - \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{10} + \)\(80\!\cdots\!24\)\( T^{11} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( T^{12} - \)\(37\!\cdots\!49\)\( T^{13} + \)\(49\!\cdots\!50\)\( T^{14} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( T^{15} - \)\(36\!\cdots\!46\)\( T^{16} - \)\(19\!\cdots\!27\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!98\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{19} - \)\(36\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{20} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( p^{15} T^{21} + \)\(49\!\cdots\!50\)\( p^{20} T^{22} - \)\(37\!\cdots\!49\)\( p^{25} T^{23} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( p^{30} T^{24} + \)\(80\!\cdots\!24\)\( p^{35} T^{25} - \)\(12\!\cdots\!23\)\( p^{40} T^{26} - \)\(12\!\cdots\!37\)\( p^{45} T^{27} + \)\(44\!\cdots\!42\)\( p^{50} T^{28} + \)\(11\!\cdots\!43\)\( p^{55} T^{29} - \)\(95\!\cdots\!75\)\( p^{60} T^{30} - \)\(92\!\cdots\!68\)\( p^{65} T^{31} + 1416630711430277988 p^{70} T^{32} - 16176011127358 p^{75} T^{33} - 1495906559 p^{80} T^{34} + 20337 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
59 \( 1 + 74455 T + 695158786 T^{2} - 14956081079039 T^{3} + 2149787114752678547 T^{4} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( T^{5} - \)\(26\!\cdots\!04\)\( T^{6} + \)\(93\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!19\)\( T^{8} - \)\(67\!\cdots\!53\)\( T^{9} - \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{10} + \)\(45\!\cdots\!69\)\( T^{11} - \)\(45\!\cdots\!89\)\( T^{12} - \)\(43\!\cdots\!86\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!96\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( T^{15} - \)\(65\!\cdots\!58\)\( T^{16} - \)\(79\!\cdots\!60\)\( T^{17} + \)\(78\!\cdots\!12\)\( T^{18} - \)\(79\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{19} - \)\(65\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{20} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( p^{15} T^{21} + \)\(61\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{22} - \)\(43\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{23} - \)\(45\!\cdots\!89\)\( p^{30} T^{24} + \)\(45\!\cdots\!69\)\( p^{35} T^{25} - \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{40} T^{26} - \)\(67\!\cdots\!53\)\( p^{45} T^{27} + \)\(14\!\cdots\!19\)\( p^{50} T^{28} + \)\(93\!\cdots\!26\)\( p^{55} T^{29} - \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{60} T^{30} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( p^{65} T^{31} + 2149787114752678547 p^{70} T^{32} - 14956081079039 p^{75} T^{33} + 695158786 p^{80} T^{34} + 74455 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
61 \( 1 + 7569 T - 4419040923 T^{2} - 46659645315210 T^{3} + 9610520548321323684 T^{4} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!89\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( T^{9} - \)\(16\!\cdots\!19\)\( T^{10} - \)\(64\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!05\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!03\)\( T^{13} - \)\(12\!\cdots\!70\)\( T^{14} - \)\(23\!\cdots\!05\)\( T^{15} + \)\(88\!\cdots\!38\)\( T^{16} + \)\(97\!\cdots\!97\)\( T^{17} - \)\(68\!\cdots\!74\)\( T^{18} + \)\(97\!\cdots\!97\)\( p^{5} T^{19} + \)\(88\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{20} - \)\(23\!\cdots\!05\)\( p^{15} T^{21} - \)\(12\!\cdots\!70\)\( p^{20} T^{22} + \)\(31\!\cdots\!03\)\( p^{25} T^{23} + \)\(14\!\cdots\!05\)\( p^{30} T^{24} - \)\(64\!\cdots\!88\)\( p^{35} T^{25} - \)\(16\!\cdots\!19\)\( p^{40} T^{26} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( p^{45} T^{27} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{50} T^{28} - \)\(15\!\cdots\!89\)\( p^{55} T^{29} - \)\(13\!\cdots\!35\)\( p^{60} T^{30} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{31} + 9610520548321323684 p^{70} T^{32} - 46659645315210 p^{75} T^{33} - 4419040923 p^{80} T^{34} + 7569 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
67 \( 1 + 26177 T - 4382757302 T^{2} - 66261662741169 T^{3} + 7841137098644708243 T^{4} - \)\(48\!\cdots\!78\)\( T^{5} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{6} + \)\(25\!\cdots\!34\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( T^{8} - \)\(36\!\cdots\!51\)\( T^{9} - \)\(21\!\cdots\!66\)\( T^{10} + \)\(94\!\cdots\!51\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{12} - \)\(16\!\cdots\!30\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{14} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( T^{15} - \)\(39\!\cdots\!46\)\( T^{16} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(50\!\cdots\!96\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{19} - \)\(39\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{20} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{15} T^{21} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{20} T^{22} - \)\(16\!\cdots\!30\)\( p^{25} T^{23} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( p^{30} T^{24} + \)\(94\!\cdots\!51\)\( p^{35} T^{25} - \)\(21\!\cdots\!66\)\( p^{40} T^{26} - \)\(36\!\cdots\!51\)\( p^{45} T^{27} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( p^{50} T^{28} + \)\(25\!\cdots\!34\)\( p^{55} T^{29} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{60} T^{30} - \)\(48\!\cdots\!78\)\( p^{65} T^{31} + 7841137098644708243 p^{70} T^{32} - 66261662741169 p^{75} T^{33} - 4382757302 p^{80} T^{34} + 26177 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
71 \( 1 + 753 p T - 5390163149 T^{2} - 621824792108992 T^{3} + 637122968539010862 T^{4} + \)\(26\!\cdots\!50\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{6} - \)\(46\!\cdots\!05\)\( T^{7} - \)\(47\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(39\!\cdots\!07\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( T^{10} + \)\(44\!\cdots\!74\)\( T^{11} - \)\(99\!\cdots\!41\)\( T^{12} - \)\(12\!\cdots\!85\)\( T^{13} - \)\(16\!\cdots\!18\)\( T^{14} + \)\(20\!\cdots\!69\)\( T^{15} + \)\(88\!\cdots\!00\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!43\)\( T^{17} - \)\(20\!\cdots\!70\)\( T^{18} - \)\(14\!\cdots\!43\)\( p^{5} T^{19} + \)\(88\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{20} + \)\(20\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{21} - \)\(16\!\cdots\!18\)\( p^{20} T^{22} - \)\(12\!\cdots\!85\)\( p^{25} T^{23} - \)\(99\!\cdots\!41\)\( p^{30} T^{24} + \)\(44\!\cdots\!74\)\( p^{35} T^{25} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( p^{40} T^{26} - \)\(39\!\cdots\!07\)\( p^{45} T^{27} - \)\(47\!\cdots\!10\)\( p^{50} T^{28} - \)\(46\!\cdots\!05\)\( p^{55} T^{29} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{60} T^{30} + \)\(26\!\cdots\!50\)\( p^{65} T^{31} + 637122968539010862 p^{70} T^{32} - 621824792108992 p^{75} T^{33} - 5390163149 p^{80} T^{34} + 753 p^{86} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
73 \( 1 + 14103 T - 83846540 p T^{2} + 102658240043939 T^{3} + 19284212405720488199 T^{4} - \)\(78\!\cdots\!26\)\( T^{5} - \)\(14\!\cdots\!08\)\( T^{6} + \)\(22\!\cdots\!38\)\( T^{7} - \)\(81\!\cdots\!37\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!37\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(77\!\cdots\!13\)\( T^{11} - \)\(50\!\cdots\!65\)\( T^{12} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{14} - \)\(72\!\cdots\!26\)\( p T^{15} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( T^{16} + \)\(38\!\cdots\!36\)\( T^{17} - \)\(50\!\cdots\!20\)\( T^{18} + \)\(38\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{19} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{20} - \)\(72\!\cdots\!26\)\( p^{16} T^{21} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( p^{20} T^{22} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( p^{25} T^{23} - \)\(50\!\cdots\!65\)\( p^{30} T^{24} - \)\(77\!\cdots\!13\)\( p^{35} T^{25} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( p^{40} T^{26} - \)\(16\!\cdots\!37\)\( p^{45} T^{27} - \)\(81\!\cdots\!37\)\( p^{50} T^{28} + \)\(22\!\cdots\!38\)\( p^{55} T^{29} - \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{60} T^{30} - \)\(78\!\cdots\!26\)\( p^{65} T^{31} + 19284212405720488199 p^{70} T^{32} + 102658240043939 p^{75} T^{33} - 83846540 p^{81} T^{34} + 14103 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
79 \( 1 - 31825 T - 16484321017 T^{2} + 438844131328732 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!74\)\( T^{4} - \)\(31\!\cdots\!10\)\( T^{5} - \)\(10\!\cdots\!91\)\( p T^{6} + \)\(17\!\cdots\!99\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!14\)\( T^{8} - \)\(83\!\cdots\!63\)\( T^{9} - \)\(13\!\cdots\!49\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!26\)\( T^{11} + \)\(48\!\cdots\!55\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{13} - \)\(16\!\cdots\!06\)\( T^{14} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!44\)\( T^{16} - \)\(30\!\cdots\!07\)\( T^{17} - \)\(15\!\cdots\!54\)\( T^{18} - \)\(30\!\cdots\!07\)\( p^{5} T^{19} + \)\(51\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{20} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( p^{15} T^{21} - \)\(16\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{22} - \)\(11\!\cdots\!05\)\( p^{25} T^{23} + \)\(48\!\cdots\!55\)\( p^{30} T^{24} + \)\(34\!\cdots\!26\)\( p^{35} T^{25} - \)\(13\!\cdots\!49\)\( p^{40} T^{26} - \)\(83\!\cdots\!63\)\( p^{45} T^{27} + \)\(36\!\cdots\!14\)\( p^{50} T^{28} + \)\(17\!\cdots\!99\)\( p^{55} T^{29} - \)\(10\!\cdots\!91\)\( p^{61} T^{30} - \)\(31\!\cdots\!10\)\( p^{65} T^{31} + \)\(13\!\cdots\!74\)\( p^{70} T^{32} + 438844131328732 p^{75} T^{33} - 16484321017 p^{80} T^{34} - 31825 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
83 \( ( 1 - 41300 T + 23744813448 T^{2} - 789541679557640 T^{3} + \)\(27\!\cdots\!72\)\( T^{4} - \)\(73\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!25\)\( T^{6} - \)\(45\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{10} - \)\(45\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{11} + \)\(20\!\cdots\!25\)\( p^{15} T^{12} - \)\(73\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{13} + \)\(27\!\cdots\!72\)\( p^{25} T^{14} - 789541679557640 p^{30} T^{15} + 23744813448 p^{35} T^{16} - 41300 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} \)
89 \( 1 + 155197 T - 20714890499 T^{2} - 2944505874750122 T^{3} + \)\(40\!\cdots\!00\)\( T^{4} + \)\(35\!\cdots\!80\)\( T^{5} - \)\(57\!\cdots\!99\)\( T^{6} - \)\(27\!\cdots\!61\)\( T^{7} + \)\(60\!\cdots\!18\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( T^{9} - \)\(50\!\cdots\!47\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(34\!\cdots\!89\)\( T^{12} - \)\(24\!\cdots\!29\)\( T^{13} - \)\(19\!\cdots\!18\)\( T^{14} + \)\(20\!\cdots\!71\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{16} - \)\(51\!\cdots\!35\)\( T^{17} - \)\(57\!\cdots\!22\)\( T^{18} - \)\(51\!\cdots\!35\)\( p^{5} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{20} + \)\(20\!\cdots\!71\)\( p^{15} T^{21} - \)\(19\!\cdots\!18\)\( p^{20} T^{22} - \)\(24\!\cdots\!29\)\( p^{25} T^{23} + \)\(34\!\cdots\!89\)\( p^{30} T^{24} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{35} T^{25} - \)\(50\!\cdots\!47\)\( p^{40} T^{26} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( p^{45} T^{27} + \)\(60\!\cdots\!18\)\( p^{50} T^{28} - \)\(27\!\cdots\!61\)\( p^{55} T^{29} - \)\(57\!\cdots\!99\)\( p^{60} T^{30} + \)\(35\!\cdots\!80\)\( p^{65} T^{31} + \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{70} T^{32} - 2944505874750122 p^{75} T^{33} - 20714890499 p^{80} T^{34} + 155197 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
97 \( 1 - 111241 T - 34590466216 T^{2} + 5040380645433279 T^{3} + \)\(45\!\cdots\!59\)\( T^{4} - \)\(93\!\cdots\!98\)\( T^{5} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(87\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!59\)\( T^{8} - \)\(40\!\cdots\!49\)\( T^{9} - \)\(80\!\cdots\!76\)\( T^{10} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!30\)\( T^{13} - \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{14} + \)\(67\!\cdots\!38\)\( T^{15} + \)\(94\!\cdots\!22\)\( T^{16} - \)\(29\!\cdots\!68\)\( T^{17} - \)\(63\!\cdots\!40\)\( T^{18} - \)\(29\!\cdots\!68\)\( p^{5} T^{19} + \)\(94\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{20} + \)\(67\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{21} - \)\(14\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{22} - \)\(52\!\cdots\!30\)\( p^{25} T^{23} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( p^{30} T^{24} + \)\(22\!\cdots\!27\)\( p^{35} T^{25} - \)\(80\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{26} - \)\(40\!\cdots\!49\)\( p^{45} T^{27} + \)\(25\!\cdots\!59\)\( p^{50} T^{28} + \)\(87\!\cdots\!10\)\( p^{55} T^{29} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{60} T^{30} - \)\(93\!\cdots\!98\)\( p^{65} T^{31} + \)\(45\!\cdots\!59\)\( p^{70} T^{32} + 5040380645433279 p^{75} T^{33} - 34590466216 p^{80} T^{34} - 111241 p^{85} T^{35} + p^{90} T^{36} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.92951950227876081206348623703, −2.79347230476267010047870393896, −2.74542042463096423334790257440, −2.61051429377382380956808883238, −2.60811032359284983998354109445, −2.38620830905702919151804382089, −2.36607907462635469202430026700, −2.29702101452553905620790743045, −2.05808943599380001968011393394, −1.95312470781563132457325502289, −1.69920036523747989564474223248, −1.68269382467910362883224066392, −1.59010436445537716865881138340, −1.58000472970328633973919405592, −1.32904603744574112933698201738, −1.27183755711022237125035262163, −1.21444795365821826214036194496, −1.18331880370352388859413522393, −1.14267990871421927148263978968, −0.77803672007676505450226983611, −0.75925068563071204718040967181, −0.38098244169035234654717113735, −0.32333072983143451933045183540, −0.21359999621564018430305160857, −0.04719071788790408442699789061, 0.04719071788790408442699789061, 0.21359999621564018430305160857, 0.32333072983143451933045183540, 0.38098244169035234654717113735, 0.75925068563071204718040967181, 0.77803672007676505450226983611, 1.14267990871421927148263978968, 1.18331880370352388859413522393, 1.21444795365821826214036194496, 1.27183755711022237125035262163, 1.32904603744574112933698201738, 1.58000472970328633973919405592, 1.59010436445537716865881138340, 1.68269382467910362883224066392, 1.69920036523747989564474223248, 1.95312470781563132457325502289, 2.05808943599380001968011393394, 2.29702101452553905620790743045, 2.36607907462635469202430026700, 2.38620830905702919151804382089, 2.60811032359284983998354109445, 2.61051429377382380956808883238, 2.74542042463096423334790257440, 2.79347230476267010047870393896, 2.92951950227876081206348623703

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.