LMFDB - L-function 36-325e18-1.1-c5e18-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 197·4^-s + 1.62e3·9^-s − 2.84e3·11^-s + 1.74e4·16^-s + 816·19^-s + 1.74e4·29^-s + 1.49e3·31^-s + 3.20e5·36^-s − 5.73e4·41^-s − 5.60e5·44^-s + 1.92e5·49^-s + 1.76e5·59^-s + 5.63e4·61^-s + 9.05e5·64^-s − 1.41e5·71^-s + 1.60e5·76^-s + 3.28e5·79^-s + 1.21e6·81^-s + 5.05e5·89^-s − 4.62e6·99^-s − 7.42e5·101^-s + 4.77e5·109^-s + 3.44e6·116^-s + 2.70e6·121^-s + 2.94e5·124^-s + 127^-s + 131^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 6.15·4^-s + 6.68·9^-s − 7.08·11^-s + 17.0·16^-s + 0.518·19^-s + 3.85·29^-s + 0.279·31^-s + 41.1·36^-s − 5.32·41^-s − 43.6·44^-s + 11.4·49^-s + 6.59·59^-s + 1.93·61^-s + 27.6·64^-s − 3.32·71^-s + 3.19·76^-s + 5.91·79^-s + 20.6·81^-s + 6.76·89^-s − 47.3·99^-s − 7.24·101^-s + 3.84·109^-s + 23.7·116^-s + 16.8·121^-s + 1.72·124^-s + 5.50e−6·127^-s + 5.09e−6·131^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{36} \cdot 13^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{36} \cdot 13^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$36$
Conductor:	$5^{36} \cdot 13^{18}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$8.06845\times 10^{30}$
Root analytic conductor:	$7.21974$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(36,\ 5^{36} \cdot 13^{18} ,\ ( \ : [5/2]^{18} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$6.938050271$
$L(\frac12)$	$\approx$	$6.938050271$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ 1 $
	13	$ ( 1 + p^{4} T^{2} )^{9} $
good	2	$ 1 - 197 T^{2} + 21391 T^{4} - 1687867 T^{6} + 26616317 p^{2} T^{8} - 1408948947 p^{2} T^{10} + 16175526703 p^{4} T^{12} - 164875908589 p^{6} T^{14} + 1515142612545 p^{8} T^{16} - 49525168899 p^{18} T^{18} + 1515142612545 p^{18} T^{20} - 164875908589 p^{26} T^{22} + 16175526703 p^{34} T^{24} - 1408948947 p^{42} T^{26} + 26616317 p^{52} T^{28} - 1687867 p^{60} T^{30} + 21391 p^{70} T^{32} - 197 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	3	$ 1 - 1625 T^{2} + 474521 p T^{4} - 854110210 T^{6} + 389017966415 T^{8} - 47381390841967 p T^{10} + 43466838221051095 T^{12} - 11619588433681190762 T^{14} + $$31\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{16} - $$85\!\cdots\!84$$ p^{4} T^{18} + $$31\!\cdots\!50$$ p^{12} T^{20} - 11619588433681190762 p^{20} T^{22} + 43466838221051095 p^{30} T^{24} - 47381390841967 p^{41} T^{26} + 389017966415 p^{50} T^{28} - 854110210 p^{60} T^{30} + 474521 p^{71} T^{32} - 1625 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	7	$ 1 - 192170 T^{2} + 18282622639 T^{4} - 1147353618549576 T^{6} + 53316097782252620615 T^{8} - $$19\!\cdots\!98$$ T^{10} + $$58\!\cdots\!43$$ T^{12} - $$14\!\cdots\!20$$ T^{14} + $$30\!\cdots\!94$$ T^{16} - $$56\!\cdots\!72$$ T^{18} + $$30\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{20} - $$14\!\cdots\!20$$ p^{20} T^{22} + $$58\!\cdots\!43$$ p^{30} T^{24} - $$19\!\cdots\!98$$ p^{40} T^{26} + 53316097782252620615 p^{50} T^{28} - 1147353618549576 p^{60} T^{30} + 18282622639 p^{70} T^{32} - 192170 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	11	$ ( 1 + 1422 T + 1678928 T^{2} + 1457218782 T^{3} + 1113094396148 T^{4} + 714749702584070 T^{5} + 415158952053473389 T^{6} + $$21\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$90\!\cdots\!88$$ p T^{8} + $$34\!\cdots\!96$$ p^{2} T^{9} + $$90\!\cdots\!88$$ p^{6} T^{10} + $$21\!\cdots\!24$$ p^{10} T^{11} + 415158952053473389 p^{15} T^{12} + 714749702584070 p^{20} T^{13} + 1113094396148 p^{25} T^{14} + 1457218782 p^{30} T^{15} + 1678928 p^{35} T^{16} + 1422 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	17	$ 1 - 7275344 T^{2} + 25862767234512 T^{4} - 66713441953355505338 T^{6} + $$15\!\cdots\!76$$ T^{8} - $$32\!\cdots\!60$$ T^{10} + $$60\!\cdots\!47$$ T^{12} - $$10\!\cdots\!76$$ T^{14} + $$16\!\cdots\!44$$ T^{16} - $$24\!\cdots\!04$$ T^{18} + $$16\!\cdots\!44$$ p^{10} T^{20} - $$10\!\cdots\!76$$ p^{20} T^{22} + $$60\!\cdots\!47$$ p^{30} T^{24} - $$32\!\cdots\!60$$ p^{40} T^{26} + $$15\!\cdots\!76$$ p^{50} T^{28} - 66713441953355505338 p^{60} T^{30} + 25862767234512 p^{70} T^{32} - 7275344 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	19	$ ( 1 - 408 T + 13870454 T^{2} - 362063268 p T^{3} + 96344427116891 T^{4} - 49973344519545016 T^{5} + $$44\!\cdots\!51$$ T^{6} - $$21\!\cdots\!32$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!93$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!80$$ p T^{9} + $$14\!\cdots\!93$$ p^{5} T^{10} - $$21\!\cdots\!32$$ p^{10} T^{11} + $$44\!\cdots\!51$$ p^{15} T^{12} - 49973344519545016 p^{20} T^{13} + 96344427116891 p^{25} T^{14} - 362063268 p^{31} T^{15} + 13870454 p^{35} T^{16} - 408 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	23	$ 1 - 51758299 T^{2} + 1344831484700204 T^{4} - $$23\!\cdots\!05$$ T^{6} + $$32\!\cdots\!37$$ T^{8} - $$37\!\cdots\!98$$ T^{10} + $$15\!\cdots\!49$$ p T^{12} - $$31\!\cdots\!27$$ T^{14} + $$24\!\cdots\!51$$ T^{16} - $$16\!\cdots\!82$$ T^{18} + $$24\!\cdots\!51$$ p^{10} T^{20} - $$31\!\cdots\!27$$ p^{20} T^{22} + $$15\!\cdots\!49$$ p^{31} T^{24} - $$37\!\cdots\!98$$ p^{40} T^{26} + $$32\!\cdots\!37$$ p^{50} T^{28} - $$23\!\cdots\!05$$ p^{60} T^{30} + 1344831484700204 p^{70} T^{32} - 51758299 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	29	$ ( 1 - 8737 T + 100263490 T^{2} - 812860482637 T^{3} + 5877575658032654 T^{4} - 37024407518884704661 T^{5} + $$22\!\cdots\!59$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!90$$ T^{7} + $$61\!\cdots\!04$$ T^{8} - $$28\!\cdots\!94$$ T^{9} + $$61\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{10} - $$11\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{11} + $$22\!\cdots\!59$$ p^{15} T^{12} - 37024407518884704661 p^{20} T^{13} + 5877575658032654 p^{25} T^{14} - 812860482637 p^{30} T^{15} + 100263490 p^{35} T^{16} - 8737 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	31	$ ( 1 - 748 T + 75897937 T^{2} + 87335748108 T^{3} + 3911511988579655 T^{4} + 5672812818384581976 T^{5} + $$17\!\cdots\!49$$ T^{6} + $$26\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$56\!\cdots\!86$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$56\!\cdots\!86$$ p^{5} T^{10} + $$26\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{11} + $$17\!\cdots\!49$$ p^{15} T^{12} + 5672812818384581976 p^{20} T^{13} + 3911511988579655 p^{25} T^{14} + 87335748108 p^{30} T^{15} + 75897937 p^{35} T^{16} - 748 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	37	$ 1 - 572251966 T^{2} + 166130683246580257 T^{4} - $$32\!\cdots\!44$$ T^{6} + $$49\!\cdots\!68$$ T^{8} - $$62\!\cdots\!32$$ T^{10} + $$66\!\cdots\!36$$ T^{12} - $$62\!\cdots\!80$$ T^{14} + $$51\!\cdots\!94$$ T^{16} - $$37\!\cdots\!56$$ T^{18} + $$51\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{20} - $$62\!\cdots\!80$$ p^{20} T^{22} + $$66\!\cdots\!36$$ p^{30} T^{24} - $$62\!\cdots\!32$$ p^{40} T^{26} + $$49\!\cdots\!68$$ p^{50} T^{28} - $$32\!\cdots\!44$$ p^{60} T^{30} + 166130683246580257 p^{70} T^{32} - 572251966 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	41	$ ( 1 + 28676 T + 807443290 T^{2} + 15162634916010 T^{3} + 279540162665697191 T^{4} + $$41\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!69$$ T^{6} + $$77\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$96\!\cdots\!69$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!84$$ T^{9} + $$96\!\cdots\!69$$ p^{5} T^{10} + $$77\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{11} + $$61\!\cdots\!69$$ p^{15} T^{12} + $$41\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{13} + 279540162665697191 p^{25} T^{14} + 15162634916010 p^{30} T^{15} + 807443290 p^{35} T^{16} + 28676 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	43	$ 1 - 990035971 T^{2} + 519279523875318452 T^{4} - $$19\!\cdots\!61$$ T^{6} + $$56\!\cdots\!25$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!02$$ T^{10} + $$29\!\cdots\!39$$ T^{12} - $$55\!\cdots\!39$$ T^{14} + $$95\!\cdots\!15$$ T^{16} - $$14\!\cdots\!54$$ T^{18} + $$95\!\cdots\!15$$ p^{10} T^{20} - $$55\!\cdots\!39$$ p^{20} T^{22} + $$29\!\cdots\!39$$ p^{30} T^{24} - $$13\!\cdots\!02$$ p^{40} T^{26} + $$56\!\cdots\!25$$ p^{50} T^{28} - $$19\!\cdots\!61$$ p^{60} T^{30} + 519279523875318452 p^{70} T^{32} - 990035971 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	47	$ 1 - 1825978010 T^{2} + 1843382503948781503 T^{4} - $$13\!\cdots\!64$$ T^{6} + $$71\!\cdots\!55$$ T^{8} - $$32\!\cdots\!42$$ T^{10} + $$12\!\cdots\!67$$ T^{12} - $$39\!\cdots\!76$$ T^{14} + $$11\!\cdots\!66$$ T^{16} - $$27\!\cdots\!04$$ T^{18} + $$11\!\cdots\!66$$ p^{10} T^{20} - $$39\!\cdots\!76$$ p^{20} T^{22} + $$12\!\cdots\!67$$ p^{30} T^{24} - $$32\!\cdots\!42$$ p^{40} T^{26} + $$71\!\cdots\!55$$ p^{50} T^{28} - $$13\!\cdots\!64$$ p^{60} T^{30} + 1843382503948781503 p^{70} T^{32} - 1825978010 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	53	$ 1 - 2851089603 T^{2} + 3625929698990790926 T^{4} - $$26\!\cdots\!39$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!58$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!83$$ T^{10} - $$69\!\cdots\!81$$ T^{12} + $$18\!\cdots\!14$$ T^{14} + $$20\!\cdots\!32$$ T^{16} - $$15\!\cdots\!78$$ T^{18} + $$20\!\cdots\!32$$ p^{10} T^{20} + $$18\!\cdots\!14$$ p^{20} T^{22} - $$69\!\cdots\!81$$ p^{30} T^{24} - $$13\!\cdots\!83$$ p^{40} T^{26} + $$10\!\cdots\!58$$ p^{50} T^{28} - $$26\!\cdots\!39$$ p^{60} T^{30} + 3625929698990790926 p^{70} T^{32} - 2851089603 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	59	$ ( 1 - 88142 T + 7408012125 T^{2} - 418488720267288 T^{3} + 21514792833002089743 T^{4} - $$91\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$35\!\cdots\!37$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$37\!\cdots\!18$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!16$$ T^{9} + $$37\!\cdots\!18$$ p^{5} T^{10} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{11} + $$35\!\cdots\!37$$ p^{15} T^{12} - $$91\!\cdots\!78$$ p^{20} T^{13} + 21514792833002089743 p^{25} T^{14} - 418488720267288 p^{30} T^{15} + 7408012125 p^{35} T^{16} - 88142 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	61	$ ( 1 - 28165 T + 5525406634 T^{2} - 111231076019257 T^{3} + 13564817030465760102 T^{4} - $$20\!\cdots\!21$$ T^{5} + $$20\!\cdots\!83$$ T^{6} - $$23\!\cdots\!82$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!32$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!54$$ T^{9} + $$23\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{10} - $$23\!\cdots\!82$$ p^{10} T^{11} + $$20\!\cdots\!83$$ p^{15} T^{12} - $$20\!\cdots\!21$$ p^{20} T^{13} + 13564817030465760102 p^{25} T^{14} - 111231076019257 p^{30} T^{15} + 5525406634 p^{35} T^{16} - 28165 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	67	$ 1 - 20432561388 T^{2} + $$20\!\cdots\!28$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!34$$ T^{6} + $$57\!\cdots\!84$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$53\!\cdots\!63$$ T^{12} - $$11\!\cdots\!32$$ T^{14} + $$21\!\cdots\!96$$ T^{16} - $$31\!\cdots\!92$$ T^{18} + $$21\!\cdots\!96$$ p^{10} T^{20} - $$11\!\cdots\!32$$ p^{20} T^{22} + $$53\!\cdots\!63$$ p^{30} T^{24} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{40} T^{26} + $$57\!\cdots\!84$$ p^{50} T^{28} - $$12\!\cdots\!34$$ p^{60} T^{30} + $$20\!\cdots\!28$$ p^{70} T^{32} - 20432561388 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	71	$ ( 1 + 70562 T + 145680381 p T^{2} + 535896116798952 T^{3} + 45814913528036188080 T^{4} + $$19\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$50\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$27\!\cdots\!26$$ T^{8} + $$98\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$27\!\cdots\!26$$ p^{5} T^{10} + $$50\!\cdots\!60$$ p^{10} T^{11} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{12} + $$19\!\cdots\!72$$ p^{20} T^{13} + 45814913528036188080 p^{25} T^{14} + 535896116798952 p^{30} T^{15} + 145680381 p^{36} T^{16} + 70562 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	73	$ 1 - 19367316048 T^{2} + $$17\!\cdots\!62$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!46$$ T^{6} + $$44\!\cdots\!39$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!64$$ T^{10} + $$38\!\cdots\!57$$ T^{12} - $$85\!\cdots\!62$$ T^{14} + $$17\!\cdots\!41$$ T^{16} - $$34\!\cdots\!60$$ T^{18} + $$17\!\cdots\!41$$ p^{10} T^{20} - $$85\!\cdots\!62$$ p^{20} T^{22} + $$38\!\cdots\!57$$ p^{30} T^{24} - $$14\!\cdots\!64$$ p^{40} T^{26} + $$44\!\cdots\!39$$ p^{50} T^{28} - $$10\!\cdots\!46$$ p^{60} T^{30} + $$17\!\cdots\!62$$ p^{70} T^{32} - 19367316048 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	79	$ ( 1 - 164073 T + 28189254670 T^{2} - 2711262477059871 T^{3} + $$27\!\cdots\!51$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!66$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!63$$ T^{6} - $$95\!\cdots\!53$$ T^{7} + $$64\!\cdots\!81$$ T^{8} - $$34\!\cdots\!70$$ T^{9} + $$64\!\cdots\!81$$ p^{5} T^{10} - $$95\!\cdots\!53$$ p^{10} T^{11} + $$15\!\cdots\!63$$ p^{15} T^{12} - $$19\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{13} + $$27\!\cdots\!51$$ p^{25} T^{14} - 2711262477059871 p^{30} T^{15} + 28189254670 p^{35} T^{16} - 164073 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	83	$ 1 - 7801150812 T^{2} + 54997530227452870688 T^{4} - $$32\!\cdots\!42$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!28$$ T^{8} - $$67\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$31\!\cdots\!23$$ T^{12} - $$13\!\cdots\!08$$ T^{14} + $$56\!\cdots\!16$$ T^{16} - $$23\!\cdots\!40$$ T^{18} + $$56\!\cdots\!16$$ p^{10} T^{20} - $$13\!\cdots\!08$$ p^{20} T^{22} + $$31\!\cdots\!23$$ p^{30} T^{24} - $$67\!\cdots\!68$$ p^{40} T^{26} + $$14\!\cdots\!28$$ p^{50} T^{28} - $$32\!\cdots\!42$$ p^{60} T^{30} + 54997530227452870688 p^{70} T^{32} - 7801150812 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
	89	$ ( 1 - 252698 T + 59335278754 T^{2} - 8555077606937916 T^{3} + $$11\!\cdots\!11$$ T^{4} - $$11\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!97$$ T^{6} - $$77\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$59\!\cdots\!77$$ T^{8} - $$42\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$59\!\cdots\!77$$ p^{5} T^{10} - $$77\!\cdots\!76$$ p^{10} T^{11} + $$10\!\cdots\!97$$ p^{15} T^{12} - $$11\!\cdots\!76$$ p^{20} T^{13} + $$11\!\cdots\!11$$ p^{25} T^{14} - 8555077606937916 p^{30} T^{15} + 59335278754 p^{35} T^{16} - 252698 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} )^{2} $
	97	$ 1 - 79630306238 T^{2} + $$29\!\cdots\!29$$ T^{4} - $$69\!\cdots\!16$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!56$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!84$$ T^{10} + $$15\!\cdots\!36$$ T^{12} - $$14\!\cdots\!12$$ T^{14} + $$13\!\cdots\!50$$ T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{18} + $$13\!\cdots\!50$$ p^{10} T^{20} - $$14\!\cdots\!12$$ p^{20} T^{22} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{30} T^{24} - $$14\!\cdots\!84$$ p^{40} T^{26} + $$11\!\cdots\!56$$ p^{50} T^{28} - $$69\!\cdots\!16$$ p^{60} T^{30} + $$29\!\cdots\!29$$ p^{70} T^{32} - 79630306238 p^{80} T^{34} + p^{90} T^{36} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.11760821420929738348589662071, −2.11426362595565290552993169300, −2.05023243237425102238506974366, −2.01807941354538640865905245492, −1.86540403610743283646628988876, −1.85393009214672584364261957931, −1.64530475903753231304915022638, −1.43612129908459935773676515898, −1.41641279620037327964612203024, −1.37378004706762973458519324724, −1.28991080725586359721882999750, −1.21033263059149027270926338228, −1.18182845500242653281802114521, −1.05602310791307346173127558315, −0.940284335217437725910994376327, −0.929598601928396284561748694266, −0.874186170545733273698688366043, −0.72583150274931120706694165845, −0.68573794385259305979094688765, −0.64512586621269880656358124284, −0.49713505281481723689920794454, −0.33727142883327324018425899725, −0.28018021364497598991012094497, −0.18475467836405768476338680412, −0.01155801536580284930525462507, 0.01155801536580284930525462507, 0.18475467836405768476338680412, 0.28018021364497598991012094497, 0.33727142883327324018425899725, 0.49713505281481723689920794454, 0.64512586621269880656358124284, 0.68573794385259305979094688765, 0.72583150274931120706694165845, 0.874186170545733273698688366043, 0.929598601928396284561748694266, 0.940284335217437725910994376327, 1.05602310791307346173127558315, 1.18182845500242653281802114521, 1.21033263059149027270926338228, 1.28991080725586359721882999750, 1.37378004706762973458519324724, 1.41641279620037327964612203024, 1.43612129908459935773676515898, 1.64530475903753231304915022638, 1.85393009214672584364261957931, 1.86540403610743283646628988876, 2.01807941354538640865905245492, 2.05023243237425102238506974366, 2.11426362595565290552993169300, 2.11760821420929738348589662071

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(6.938050271\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(6.938050271\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more