Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 3·3-s − 3·8-s + 3·9-s − 12·13-s + 6·17-s − 6·19-s − 9·24-s − 9·25-s − 2·27-s − 6·29-s − 36·39-s + 3·41-s − 6·43-s + 30·47-s + 42·49-s + 18·51-s − 60·53-s − 18·57-s + 3·59-s + 54·61-s + 3·64-s − 15·67-s + 36·71-s − 9·72-s − 42·73-s − 27·75-s − 6·79-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.73·3-s − 1.06·8-s + 9-s − 3.32·13-s + 1.45·17-s − 1.37·19-s − 1.83·24-s − 9/5·25-s − 0.384·27-s − 1.11·29-s − 5.76·39-s + 0.468·41-s − 0.914·43-s + 4.37·47-s + 6·49-s + 2.52·51-s − 8.24·53-s − 2.38·57-s + 0.390·59-s + 6.91·61-s + 3/8·64-s − 1.83·67-s + 4.27·71-s − 1.06·72-s − 4.91·73-s − 3.11·75-s − 0.675·79-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(0.184193\) |
| Root analytic conductor: | \(0.954093\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(1.108798838\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(1.108798838\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T^{3} + T^{6} )^{3} \) |
| 3 | \( 1 - p T + 2 p T^{2} - 7 T^{3} + 2 p T^{4} - p T^{5} - 8 T^{6} + p^{3} T^{7} - p^{2} T^{9} + p^{5} T^{11} - 8 p^{3} T^{12} - p^{5} T^{13} + 2 p^{6} T^{14} - 7 p^{6} T^{15} + 2 p^{8} T^{16} - p^{9} T^{17} + p^{9} T^{18} \) | |
| 19 | \( 1 + 6 T - 30 T^{2} - 275 T^{3} + 306 T^{4} + 6408 T^{5} - 4006 T^{6} - 139704 T^{7} + 47316 T^{8} + 2942011 T^{9} + 47316 p T^{10} - 139704 p^{2} T^{11} - 4006 p^{3} T^{12} + 6408 p^{4} T^{13} + 306 p^{5} T^{14} - 275 p^{6} T^{15} - 30 p^{7} T^{16} + 6 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} \) | |
| good | 5 | \( 1 + 9 T^{2} + 18 T^{4} + 108 T^{5} - 89 T^{6} + 954 T^{7} - 558 T^{8} + 1782 T^{9} + 4617 T^{10} - 17298 T^{11} + 52688 T^{12} - 161568 T^{13} + 85149 T^{14} - 403848 T^{15} - 1430298 T^{16} + 1525608 T^{17} - 12164327 T^{18} + 1525608 p T^{19} - 1430298 p^{2} T^{20} - 403848 p^{3} T^{21} + 85149 p^{4} T^{22} - 161568 p^{5} T^{23} + 52688 p^{6} T^{24} - 17298 p^{7} T^{25} + 4617 p^{8} T^{26} + 1782 p^{9} T^{27} - 558 p^{10} T^{28} + 954 p^{11} T^{29} - 89 p^{12} T^{30} + 108 p^{13} T^{31} + 18 p^{14} T^{32} + 9 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) |
| 7 | \( 1 - 6 p T^{2} - 4 T^{3} + 885 T^{4} + 120 T^{5} - 13234 T^{6} - 906 T^{7} + 162387 T^{8} - 5772 T^{9} - 1713330 T^{10} + 145500 T^{11} + 15871186 T^{12} - 1406388 T^{13} - 18960987 p T^{14} + 10232980 T^{15} + 146622534 p T^{16} - 34303050 T^{17} - 7420332713 T^{18} - 34303050 p T^{19} + 146622534 p^{3} T^{20} + 10232980 p^{3} T^{21} - 18960987 p^{5} T^{22} - 1406388 p^{5} T^{23} + 15871186 p^{6} T^{24} + 145500 p^{7} T^{25} - 1713330 p^{8} T^{26} - 5772 p^{9} T^{27} + 162387 p^{10} T^{28} - 906 p^{11} T^{29} - 13234 p^{12} T^{30} + 120 p^{13} T^{31} + 885 p^{14} T^{32} - 4 p^{15} T^{33} - 6 p^{17} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + 48 T^{2} + 1158 T^{4} + 1314 T^{5} + 20983 T^{6} + 59130 T^{7} + 321210 T^{8} + 1332396 T^{9} + 4917732 T^{10} + 22608792 T^{11} + 79556150 T^{12} + 318259620 T^{13} + 1177125408 T^{14} + 3883011912 T^{15} + 15730008942 T^{16} + 45082464102 T^{17} + 187351494091 T^{18} + 45082464102 p T^{19} + 15730008942 p^{2} T^{20} + 3883011912 p^{3} T^{21} + 1177125408 p^{4} T^{22} + 318259620 p^{5} T^{23} + 79556150 p^{6} T^{24} + 22608792 p^{7} T^{25} + 4917732 p^{8} T^{26} + 1332396 p^{9} T^{27} + 321210 p^{10} T^{28} + 59130 p^{11} T^{29} + 20983 p^{12} T^{30} + 1314 p^{13} T^{31} + 1158 p^{14} T^{32} + 48 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 + 12 T + 27 T^{2} - 318 T^{3} - 2016 T^{4} + 276 T^{5} + 34311 T^{6} + 68124 T^{7} - 228906 T^{8} - 626832 T^{9} + 876177 T^{10} - 7168332 T^{11} - 44288472 T^{12} + 168933792 T^{13} + 1227937095 T^{14} - 492511650 T^{15} - 15317424756 T^{16} - 4905480720 T^{17} + 155037380533 T^{18} - 4905480720 p T^{19} - 15317424756 p^{2} T^{20} - 492511650 p^{3} T^{21} + 1227937095 p^{4} T^{22} + 168933792 p^{5} T^{23} - 44288472 p^{6} T^{24} - 7168332 p^{7} T^{25} + 876177 p^{8} T^{26} - 626832 p^{9} T^{27} - 228906 p^{10} T^{28} + 68124 p^{11} T^{29} + 34311 p^{12} T^{30} + 276 p^{13} T^{31} - 2016 p^{14} T^{32} - 318 p^{15} T^{33} + 27 p^{16} T^{34} + 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 6 T + 21 T^{2} + 150 T^{3} - 66 p T^{4} + 6402 T^{5} - 31 p T^{6} - 57612 T^{7} + 635322 T^{8} - 954660 T^{9} + 3233433 T^{10} + 27099996 T^{11} - 24215494 T^{12} + 454155294 T^{13} + 806325141 T^{14} + 4532483178 T^{15} + 24436771518 T^{16} + 62821812054 T^{17} + 452385711361 T^{18} + 62821812054 p T^{19} + 24436771518 p^{2} T^{20} + 4532483178 p^{3} T^{21} + 806325141 p^{4} T^{22} + 454155294 p^{5} T^{23} - 24215494 p^{6} T^{24} + 27099996 p^{7} T^{25} + 3233433 p^{8} T^{26} - 954660 p^{9} T^{27} + 635322 p^{10} T^{28} - 57612 p^{11} T^{29} - 31 p^{13} T^{30} + 6402 p^{13} T^{31} - 66 p^{15} T^{32} + 150 p^{15} T^{33} + 21 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 105 T^{2} + 306 T^{3} + 282 p T^{4} - 30186 T^{5} - 243515 T^{6} + 1820970 T^{7} + 5972118 T^{8} - 75696948 T^{9} - 45593781 T^{10} + 2436071598 T^{11} - 3368630716 T^{12} - 59621322114 T^{13} + 211038011391 T^{14} + 1068936440778 T^{15} - 7352150061234 T^{16} - 9132576534612 T^{17} + 192674644050967 T^{18} - 9132576534612 p T^{19} - 7352150061234 p^{2} T^{20} + 1068936440778 p^{3} T^{21} + 211038011391 p^{4} T^{22} - 59621322114 p^{5} T^{23} - 3368630716 p^{6} T^{24} + 2436071598 p^{7} T^{25} - 45593781 p^{8} T^{26} - 75696948 p^{9} T^{27} + 5972118 p^{10} T^{28} + 1820970 p^{11} T^{29} - 243515 p^{12} T^{30} - 30186 p^{13} T^{31} + 282 p^{15} T^{32} + 306 p^{15} T^{33} - 105 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 6 T + 111 T^{2} + 432 T^{3} + 6756 T^{4} + 25854 T^{5} + 359037 T^{6} + 1347846 T^{7} + 15292992 T^{8} + 52656642 T^{9} + 547390905 T^{10} + 1907356866 T^{11} + 18071986176 T^{12} + 2153611542 p T^{13} + 526205563113 T^{14} + 1810034045028 T^{15} + 14839402855758 T^{16} + 54064521051522 T^{17} + 433746062243863 T^{18} + 54064521051522 p T^{19} + 14839402855758 p^{2} T^{20} + 1810034045028 p^{3} T^{21} + 526205563113 p^{4} T^{22} + 2153611542 p^{6} T^{23} + 18071986176 p^{6} T^{24} + 1907356866 p^{7} T^{25} + 547390905 p^{8} T^{26} + 52656642 p^{9} T^{27} + 15292992 p^{10} T^{28} + 1347846 p^{11} T^{29} + 359037 p^{12} T^{30} + 25854 p^{13} T^{31} + 6756 p^{14} T^{32} + 432 p^{15} T^{33} + 111 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 + 114 T^{2} + 5601 T^{4} - 9990 T^{5} + 219930 T^{6} - 696546 T^{7} + 9357981 T^{8} - 5530194 T^{9} + 364518102 T^{10} + 294224670 T^{11} + 9695245116 T^{12} + 2532085866 T^{13} + 120281065773 T^{14} + 18818524098 p T^{15} + 3558442900152 T^{16} + 1461668988960 p T^{17} + 205885978276165 T^{18} + 1461668988960 p^{2} T^{19} + 3558442900152 p^{2} T^{20} + 18818524098 p^{4} T^{21} + 120281065773 p^{4} T^{22} + 2532085866 p^{5} T^{23} + 9695245116 p^{6} T^{24} + 294224670 p^{7} T^{25} + 364518102 p^{8} T^{26} - 5530194 p^{9} T^{27} + 9357981 p^{10} T^{28} - 696546 p^{11} T^{29} + 219930 p^{12} T^{30} - 9990 p^{13} T^{31} + 5601 p^{14} T^{32} + 114 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 324 T^{2} + 51984 T^{4} - 5307594 T^{6} + 373443840 T^{8} - 18097521588 T^{10} + 530319518007 T^{12} - 1456970393160 T^{14} - 747058665149136 T^{16} + 40979990975507188 T^{18} - 747058665149136 p^{2} T^{20} - 1456970393160 p^{4} T^{22} + 530319518007 p^{6} T^{24} - 18097521588 p^{8} T^{26} + 373443840 p^{10} T^{28} - 5307594 p^{12} T^{30} + 51984 p^{14} T^{32} - 324 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 - 3 T - 81 T^{2} + 729 T^{3} + 3150 T^{4} - 51888 T^{5} + 65235 T^{6} + 1923639 T^{7} - 9379107 T^{8} - 27894240 T^{9} + 443543373 T^{10} - 29506533 p T^{11} - 11724901572 T^{12} + 125864370879 T^{13} - 126907771644 T^{14} - 6812152423767 T^{15} + 40936056170904 T^{16} + 121589755652562 T^{17} - 2550730175210513 T^{18} + 121589755652562 p T^{19} + 40936056170904 p^{2} T^{20} - 6812152423767 p^{3} T^{21} - 126907771644 p^{4} T^{22} + 125864370879 p^{5} T^{23} - 11724901572 p^{6} T^{24} - 29506533 p^{8} T^{25} + 443543373 p^{8} T^{26} - 27894240 p^{9} T^{27} - 9379107 p^{10} T^{28} + 1923639 p^{11} T^{29} + 65235 p^{12} T^{30} - 51888 p^{13} T^{31} + 3150 p^{14} T^{32} + 729 p^{15} T^{33} - 81 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 6 T - 21 T^{2} - 186 T^{3} + 189 T^{4} + 33264 T^{5} + 209640 T^{6} - 423348 T^{7} - 6295659 T^{8} + 1746038 T^{9} + 448365285 T^{10} + 3074511312 T^{11} + 5605719 p T^{12} - 69848346114 T^{13} + 174658804875 T^{14} + 3378420352086 T^{15} + 24837189432183 T^{16} + 79669539140166 T^{17} - 556166859942453 T^{18} + 79669539140166 p T^{19} + 24837189432183 p^{2} T^{20} + 3378420352086 p^{3} T^{21} + 174658804875 p^{4} T^{22} - 69848346114 p^{5} T^{23} + 5605719 p^{7} T^{24} + 3074511312 p^{7} T^{25} + 448365285 p^{8} T^{26} + 1746038 p^{9} T^{27} - 6295659 p^{10} T^{28} - 423348 p^{11} T^{29} + 209640 p^{12} T^{30} + 33264 p^{13} T^{31} + 189 p^{14} T^{32} - 186 p^{15} T^{33} - 21 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 - 30 T + 513 T^{2} - 7080 T^{3} + 82653 T^{4} - 839658 T^{5} + 7834750 T^{6} - 68409582 T^{7} + 564354339 T^{8} - 4487696358 T^{9} + 34855810623 T^{10} - 265959739158 T^{11} + 2009262496811 T^{12} - 15134745403848 T^{13} + 113276083053393 T^{14} - 839189032735482 T^{15} + 6142918374289473 T^{16} - 43955605156298646 T^{17} + 305538102586585597 T^{18} - 43955605156298646 p T^{19} + 6142918374289473 p^{2} T^{20} - 839189032735482 p^{3} T^{21} + 113276083053393 p^{4} T^{22} - 15134745403848 p^{5} T^{23} + 2009262496811 p^{6} T^{24} - 265959739158 p^{7} T^{25} + 34855810623 p^{8} T^{26} - 4487696358 p^{9} T^{27} + 564354339 p^{10} T^{28} - 68409582 p^{11} T^{29} + 7834750 p^{12} T^{30} - 839658 p^{13} T^{31} + 82653 p^{14} T^{32} - 7080 p^{15} T^{33} + 513 p^{16} T^{34} - 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 + 60 T + 1650 T^{2} + 27432 T^{3} + 301668 T^{4} + 2105628 T^{5} + 4281813 T^{6} - 119664084 T^{7} - 2040984564 T^{8} - 18553996944 T^{9} - 97195599030 T^{10} + 6711373824 T^{11} + 6282268912998 T^{12} + 76409942308296 T^{13} + 541422906597858 T^{14} + 1929763576020600 T^{15} - 8353932299807628 T^{16} - 204027698698036896 T^{17} - 1895432192029963487 T^{18} - 204027698698036896 p T^{19} - 8353932299807628 p^{2} T^{20} + 1929763576020600 p^{3} T^{21} + 541422906597858 p^{4} T^{22} + 76409942308296 p^{5} T^{23} + 6282268912998 p^{6} T^{24} + 6711373824 p^{7} T^{25} - 97195599030 p^{8} T^{26} - 18553996944 p^{9} T^{27} - 2040984564 p^{10} T^{28} - 119664084 p^{11} T^{29} + 4281813 p^{12} T^{30} + 2105628 p^{13} T^{31} + 301668 p^{14} T^{32} + 27432 p^{15} T^{33} + 1650 p^{16} T^{34} + 60 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 - 3 T + 147 T^{2} - 171 T^{3} + 14145 T^{4} + 20985 T^{5} + 1008486 T^{6} + 2985972 T^{7} + 69846681 T^{8} + 198304002 T^{9} + 4259411502 T^{10} + 13599227022 T^{11} + 172659954987 T^{12} + 1030334779743 T^{13} + 3618940408428 T^{14} + 63172843841151 T^{15} + 36030527777310 T^{16} + 2630542860701457 T^{17} + 552420470270473 T^{18} + 2630542860701457 p T^{19} + 36030527777310 p^{2} T^{20} + 63172843841151 p^{3} T^{21} + 3618940408428 p^{4} T^{22} + 1030334779743 p^{5} T^{23} + 172659954987 p^{6} T^{24} + 13599227022 p^{7} T^{25} + 4259411502 p^{8} T^{26} + 198304002 p^{9} T^{27} + 69846681 p^{10} T^{28} + 2985972 p^{11} T^{29} + 1008486 p^{12} T^{30} + 20985 p^{13} T^{31} + 14145 p^{14} T^{32} - 171 p^{15} T^{33} + 147 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 54 T + 1419 T^{2} - 24196 T^{3} + 298188 T^{4} - 2773170 T^{5} + 19625393 T^{6} - 102502452 T^{7} + 335429073 T^{8} + 12010950 T^{9} - 5870177721 T^{10} - 27572569602 T^{11} + 1258817150338 T^{12} - 15125142990834 T^{13} + 94725395808498 T^{14} - 97890584096768 T^{15} - 4855539132950343 T^{16} + 66754071035652906 T^{17} - 593552957411241911 T^{18} + 66754071035652906 p T^{19} - 4855539132950343 p^{2} T^{20} - 97890584096768 p^{3} T^{21} + 94725395808498 p^{4} T^{22} - 15125142990834 p^{5} T^{23} + 1258817150338 p^{6} T^{24} - 27572569602 p^{7} T^{25} - 5870177721 p^{8} T^{26} + 12010950 p^{9} T^{27} + 335429073 p^{10} T^{28} - 102502452 p^{11} T^{29} + 19625393 p^{12} T^{30} - 2773170 p^{13} T^{31} + 298188 p^{14} T^{32} - 24196 p^{15} T^{33} + 1419 p^{16} T^{34} - 54 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 + 15 T + 261 T^{2} - 141 T^{3} - 10899 T^{4} - 414861 T^{5} - 707334 T^{6} + 127626 T^{7} + 366702183 T^{8} + 1265766858 T^{9} + 7693768710 T^{10} - 157969256568 T^{11} - 934704180705 T^{12} - 3849388888953 T^{13} + 21174817187466 T^{14} + 571406655639057 T^{15} - 239625722079108 T^{16} + 15635582643657549 T^{17} - 283713925369319687 T^{18} + 15635582643657549 p T^{19} - 239625722079108 p^{2} T^{20} + 571406655639057 p^{3} T^{21} + 21174817187466 p^{4} T^{22} - 3849388888953 p^{5} T^{23} - 934704180705 p^{6} T^{24} - 157969256568 p^{7} T^{25} + 7693768710 p^{8} T^{26} + 1265766858 p^{9} T^{27} + 366702183 p^{10} T^{28} + 127626 p^{11} T^{29} - 707334 p^{12} T^{30} - 414861 p^{13} T^{31} - 10899 p^{14} T^{32} - 141 p^{15} T^{33} + 261 p^{16} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 36 T + 783 T^{2} - 12294 T^{3} + 151929 T^{4} - 1490724 T^{5} + 11252010 T^{6} - 56430666 T^{7} + 21405141 T^{8} + 2944849464 T^{9} - 32608974411 T^{10} + 2028352392 p T^{11} + 788706469095 T^{12} - 19730660420844 T^{13} + 146027357453205 T^{14} + 296958247957530 T^{15} - 22225401167018517 T^{16} + 338162280479965170 T^{17} - 3347740106755531157 T^{18} + 338162280479965170 p T^{19} - 22225401167018517 p^{2} T^{20} + 296958247957530 p^{3} T^{21} + 146027357453205 p^{4} T^{22} - 19730660420844 p^{5} T^{23} + 788706469095 p^{6} T^{24} + 2028352392 p^{8} T^{25} - 32608974411 p^{8} T^{26} + 2944849464 p^{9} T^{27} + 21405141 p^{10} T^{28} - 56430666 p^{11} T^{29} + 11252010 p^{12} T^{30} - 1490724 p^{13} T^{31} + 151929 p^{14} T^{32} - 12294 p^{15} T^{33} + 783 p^{16} T^{34} - 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 + 42 T + 987 T^{2} + 18237 T^{3} + 294471 T^{4} + 4232547 T^{5} + 54899301 T^{6} + 657717267 T^{7} + 7388296041 T^{8} + 78246890120 T^{9} + 786613667418 T^{10} + 7581280265856 T^{11} + 70571415355692 T^{12} + 637318813879413 T^{13} + 5622272403642198 T^{14} + 48866439365813094 T^{15} + 420712573911451605 T^{16} + 3599514157362254064 T^{17} + 30740101302597031740 T^{18} + 3599514157362254064 p T^{19} + 420712573911451605 p^{2} T^{20} + 48866439365813094 p^{3} T^{21} + 5622272403642198 p^{4} T^{22} + 637318813879413 p^{5} T^{23} + 70571415355692 p^{6} T^{24} + 7581280265856 p^{7} T^{25} + 786613667418 p^{8} T^{26} + 78246890120 p^{9} T^{27} + 7388296041 p^{10} T^{28} + 657717267 p^{11} T^{29} + 54899301 p^{12} T^{30} + 4232547 p^{13} T^{31} + 294471 p^{14} T^{32} + 18237 p^{15} T^{33} + 987 p^{16} T^{34} + 42 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 + 6 T + 105 T^{2} + 12 T^{3} - 7521 T^{4} - 174786 T^{5} - 1839648 T^{6} - 15531168 T^{7} - 84472401 T^{8} + 500721516 T^{9} + 9828562413 T^{10} + 183247507110 T^{11} + 1703096733405 T^{12} + 13936667143614 T^{13} + 70953323686269 T^{14} - 63562841678010 T^{15} - 6626064358334913 T^{16} - 117320535019130334 T^{17} - 1023587231020301171 T^{18} - 117320535019130334 p T^{19} - 6626064358334913 p^{2} T^{20} - 63562841678010 p^{3} T^{21} + 70953323686269 p^{4} T^{22} + 13936667143614 p^{5} T^{23} + 1703096733405 p^{6} T^{24} + 183247507110 p^{7} T^{25} + 9828562413 p^{8} T^{26} + 500721516 p^{9} T^{27} - 84472401 p^{10} T^{28} - 15531168 p^{11} T^{29} - 1839648 p^{12} T^{30} - 174786 p^{13} T^{31} - 7521 p^{14} T^{32} + 12 p^{15} T^{33} + 105 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 36 T + 933 T^{2} - 18036 T^{3} + 288726 T^{4} - 3894066 T^{5} + 44585626 T^{6} - 427832820 T^{7} + 3238148952 T^{8} - 15314831406 T^{9} - 41770983672 T^{10} + 2031136646670 T^{11} - 28546456613887 T^{12} + 267157369918080 T^{13} - 1619051199635544 T^{14} + 1166445387626454 T^{15} + 131515615370951265 T^{16} - 2209564952357871564 T^{17} + 23659712196432683167 T^{18} - 2209564952357871564 p T^{19} + 131515615370951265 p^{2} T^{20} + 1166445387626454 p^{3} T^{21} - 1619051199635544 p^{4} T^{22} + 267157369918080 p^{5} T^{23} - 28546456613887 p^{6} T^{24} + 2031136646670 p^{7} T^{25} - 41770983672 p^{8} T^{26} - 15314831406 p^{9} T^{27} + 3238148952 p^{10} T^{28} - 427832820 p^{11} T^{29} + 44585626 p^{12} T^{30} - 3894066 p^{13} T^{31} + 288726 p^{14} T^{32} - 18036 p^{15} T^{33} + 933 p^{16} T^{34} - 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 + 60 T + 1776 T^{2} + 34614 T^{3} + 496338 T^{4} + 5534214 T^{5} + 49734306 T^{6} + 369669372 T^{7} + 2296624737 T^{8} + 12045834756 T^{9} + 64847325075 T^{10} + 666977776530 T^{11} + 10435284988407 T^{12} + 129666784460280 T^{13} + 947893176853536 T^{14} - 915051609860724 T^{15} - 142365550113566094 T^{16} - 2442885993414165792 T^{17} - 27130214352755261423 T^{18} - 2442885993414165792 p T^{19} - 142365550113566094 p^{2} T^{20} - 915051609860724 p^{3} T^{21} + 947893176853536 p^{4} T^{22} + 129666784460280 p^{5} T^{23} + 10435284988407 p^{6} T^{24} + 666977776530 p^{7} T^{25} + 64847325075 p^{8} T^{26} + 12045834756 p^{9} T^{27} + 2296624737 p^{10} T^{28} + 369669372 p^{11} T^{29} + 49734306 p^{12} T^{30} + 5534214 p^{13} T^{31} + 496338 p^{14} T^{32} + 34614 p^{15} T^{33} + 1776 p^{16} T^{34} + 60 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 - 9 T - 144 T^{2} + 738 T^{3} + 24876 T^{4} - 33426 T^{5} - 3312222 T^{6} + 7543458 T^{7} + 194381685 T^{8} + 180299952 T^{9} - 17434826145 T^{10} + 30673420866 T^{11} + 1593626340066 T^{12} - 12345639540786 T^{13} - 123372283755096 T^{14} + 798341631533874 T^{15} + 21902978789430156 T^{16} - 35315966793092571 T^{17} - 2473083691139187794 T^{18} - 35315966793092571 p T^{19} + 21902978789430156 p^{2} T^{20} + 798341631533874 p^{3} T^{21} - 123372283755096 p^{4} T^{22} - 12345639540786 p^{5} T^{23} + 1593626340066 p^{6} T^{24} + 30673420866 p^{7} T^{25} - 17434826145 p^{8} T^{26} + 180299952 p^{9} T^{27} + 194381685 p^{10} T^{28} + 7543458 p^{11} T^{29} - 3312222 p^{12} T^{30} - 33426 p^{13} T^{31} + 24876 p^{14} T^{32} + 738 p^{15} T^{33} - 144 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.95619283489636826910107381957, −3.83073855748623438737217431605, −3.68612650456436155842637875513, −3.65279498717152511685221818015, −3.34483724372996788864475836307, −3.32136686441162803471039806262, −3.31321013956548319010295501370, −3.30090229005543295211359344759, −3.28313176425333694518102268593, −3.20806724500156506145965291447, −2.71487538198983525595867719210, −2.71185842033480500845573931040, −2.57545820937354260546543606300, −2.55037531086282043472881374126, −2.51589671024885738769020426549, −2.38166520906636266129014018465, −2.34059615826681349755095999868, −2.23289135280257140548934229893, −2.16018919362293811871625935937, −1.85814406342591140448233541344, −1.61950410827600855092488691341, −1.59828000032087878682008238102, −1.59069469670810495414271526190, −0.811678746607932647894916086709, −0.70143382369172338886617560540, 0.70143382369172338886617560540, 0.811678746607932647894916086709, 1.59069469670810495414271526190, 1.59828000032087878682008238102, 1.61950410827600855092488691341, 1.85814406342591140448233541344, 2.16018919362293811871625935937, 2.23289135280257140548934229893, 2.34059615826681349755095999868, 2.38166520906636266129014018465, 2.51589671024885738769020426549, 2.55037531086282043472881374126, 2.57545820937354260546543606300, 2.71185842033480500845573931040, 2.71487538198983525595867719210, 3.20806724500156506145965291447, 3.28313176425333694518102268593, 3.30090229005543295211359344759, 3.31321013956548319010295501370, 3.32136686441162803471039806262, 3.34483724372996788864475836307, 3.65279498717152511685221818015, 3.68612650456436155842637875513, 3.83073855748623438737217431605, 3.95619283489636826910107381957
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.