Properties

Label 34-955e17-1.1-c1e17-0-0
Degree $34$
Conductor $4.571\times 10^{50}$
Sign $1$
Analytic cond. $9.97167\times 10^{14}$
Root an. cond. $2.76146$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 7·2-s − 3-s + 18·4-s − 17·5-s − 7·6-s − 2·7-s + 12·8-s − 11·9-s − 119·10-s + 23·11-s − 18·12-s − 12·13-s − 14·14-s + 17·15-s − 39·16-s − 17-s − 77·18-s + 2·19-s − 306·20-s + 2·21-s + 161·22-s + 10·23-s − 12·24-s + 153·25-s − 84·26-s + 9·27-s − 36·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 4.94·2-s − 0.577·3-s + 9·4-s − 7.60·5-s − 2.85·6-s − 0.755·7-s + 4.24·8-s − 3.66·9-s − 37.6·10-s + 6.93·11-s − 5.19·12-s − 3.32·13-s − 3.74·14-s + 4.38·15-s − 9.75·16-s − 0.242·17-s − 18.1·18-s + 0.458·19-s − 68.4·20-s + 0.436·21-s + 34.3·22-s + 2.08·23-s − 2.44·24-s + 30.5·25-s − 16.4·26-s + 1.73·27-s − 6.80·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{17} \cdot 191^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{17} \cdot 191^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(34\)
Conductor: \(5^{17} \cdot 191^{17}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(9.97167\times 10^{14}\)
Root analytic conductor: \(2.76146\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((34,\ 5^{17} \cdot 191^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(17.13975603\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(17.13975603\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad5 \( ( 1 + T )^{17} \)
191 \( ( 1 - T )^{17} \)
good2 \( 1 - 7 T + 31 T^{2} - 103 T^{3} + 143 p T^{4} - 695 T^{5} + 767 p T^{6} - 785 p^{2} T^{7} + 3031 p T^{8} - 2787 p^{2} T^{9} + 19697 T^{10} - 33609 T^{11} + 55593 T^{12} - 22315 p^{2} T^{13} + 139263 T^{14} - 211127 T^{15} + 155627 p T^{16} - 111559 p^{2} T^{17} + 155627 p^{2} T^{18} - 211127 p^{2} T^{19} + 139263 p^{3} T^{20} - 22315 p^{6} T^{21} + 55593 p^{5} T^{22} - 33609 p^{6} T^{23} + 19697 p^{7} T^{24} - 2787 p^{10} T^{25} + 3031 p^{10} T^{26} - 785 p^{12} T^{27} + 767 p^{12} T^{28} - 695 p^{12} T^{29} + 143 p^{14} T^{30} - 103 p^{14} T^{31} + 31 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
3 \( 1 + T + 4 p T^{2} + 14 T^{3} + 32 p T^{4} + 131 T^{5} + 583 T^{6} + 284 p T^{7} + 2951 T^{8} + 4613 T^{9} + 13040 T^{10} + 7031 p T^{11} + 17075 p T^{12} + 84547 T^{13} + 6793 p^{3} T^{14} + 300469 T^{15} + 199639 p T^{16} + 951616 T^{17} + 199639 p^{2} T^{18} + 300469 p^{2} T^{19} + 6793 p^{6} T^{20} + 84547 p^{4} T^{21} + 17075 p^{6} T^{22} + 7031 p^{7} T^{23} + 13040 p^{7} T^{24} + 4613 p^{8} T^{25} + 2951 p^{9} T^{26} + 284 p^{11} T^{27} + 583 p^{11} T^{28} + 131 p^{12} T^{29} + 32 p^{14} T^{30} + 14 p^{14} T^{31} + 4 p^{16} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
7 \( 1 + 2 T + 53 T^{2} + 85 T^{3} + 1394 T^{4} + 1906 T^{5} + 25049 T^{6} + 31077 T^{7} + 350243 T^{8} + 411951 T^{9} + 4060079 T^{10} + 4627879 T^{11} + 40446124 T^{12} + 44970339 T^{13} + 354231727 T^{14} + 382244698 T^{15} + 2765010737 T^{16} + 407707532 p T^{17} + 2765010737 p T^{18} + 382244698 p^{2} T^{19} + 354231727 p^{3} T^{20} + 44970339 p^{4} T^{21} + 40446124 p^{5} T^{22} + 4627879 p^{6} T^{23} + 4060079 p^{7} T^{24} + 411951 p^{8} T^{25} + 350243 p^{9} T^{26} + 31077 p^{10} T^{27} + 25049 p^{11} T^{28} + 1906 p^{12} T^{29} + 1394 p^{13} T^{30} + 85 p^{14} T^{31} + 53 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
11 \( 1 - 23 T + 360 T^{2} - 4140 T^{3} + 39628 T^{4} - 323672 T^{5} + 2344770 T^{6} - 15255083 T^{7} + 90736199 T^{8} - 496984050 T^{9} + 2531586161 T^{10} - 12046420512 T^{11} + 53871267897 T^{12} - 227011700612 T^{13} + 904833895253 T^{14} - 3415888434161 T^{15} + 12240812339443 T^{16} - 41645974435206 T^{17} + 12240812339443 p T^{18} - 3415888434161 p^{2} T^{19} + 904833895253 p^{3} T^{20} - 227011700612 p^{4} T^{21} + 53871267897 p^{5} T^{22} - 12046420512 p^{6} T^{23} + 2531586161 p^{7} T^{24} - 496984050 p^{8} T^{25} + 90736199 p^{9} T^{26} - 15255083 p^{10} T^{27} + 2344770 p^{11} T^{28} - 323672 p^{12} T^{29} + 39628 p^{13} T^{30} - 4140 p^{14} T^{31} + 360 p^{15} T^{32} - 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
13 \( 1 + 12 T + 170 T^{2} + 1424 T^{3} + 12228 T^{4} + 79987 T^{5} + 519490 T^{6} + 2803334 T^{7} + 14897878 T^{8} + 68362313 T^{9} + 309379383 T^{10} + 1232158371 T^{11} + 4891815464 T^{12} + 17323833080 T^{13} + 4840304191 p T^{14} + 208665573577 T^{15} + 749496010639 T^{16} + 2547640192892 T^{17} + 749496010639 p T^{18} + 208665573577 p^{2} T^{19} + 4840304191 p^{4} T^{20} + 17323833080 p^{4} T^{21} + 4891815464 p^{5} T^{22} + 1232158371 p^{6} T^{23} + 309379383 p^{7} T^{24} + 68362313 p^{8} T^{25} + 14897878 p^{9} T^{26} + 2803334 p^{10} T^{27} + 519490 p^{11} T^{28} + 79987 p^{12} T^{29} + 12228 p^{13} T^{30} + 1424 p^{14} T^{31} + 170 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
17 \( 1 + T + 138 T^{2} - T^{3} + 9831 T^{4} - 6825 T^{5} + 489868 T^{6} - 553555 T^{7} + 18999374 T^{8} - 26404629 T^{9} + 602354706 T^{10} - 918223491 T^{11} + 16050954743 T^{12} - 25139533153 T^{13} + 365393753215 T^{14} - 562400073715 T^{15} + 7172160404724 T^{16} - 10459995242720 T^{17} + 7172160404724 p T^{18} - 562400073715 p^{2} T^{19} + 365393753215 p^{3} T^{20} - 25139533153 p^{4} T^{21} + 16050954743 p^{5} T^{22} - 918223491 p^{6} T^{23} + 602354706 p^{7} T^{24} - 26404629 p^{8} T^{25} + 18999374 p^{9} T^{26} - 553555 p^{10} T^{27} + 489868 p^{11} T^{28} - 6825 p^{12} T^{29} + 9831 p^{13} T^{30} - p^{14} T^{31} + 138 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
19 \( 1 - 2 T + 147 T^{2} - 381 T^{3} + 10763 T^{4} - 34652 T^{5} + 540412 T^{6} - 1999235 T^{7} + 21467875 T^{8} - 83546201 T^{9} + 719434790 T^{10} - 2760003597 T^{11} + 20696971590 T^{12} - 76327302574 T^{13} + 513384255811 T^{14} - 1813652837251 T^{15} + 11086561763155 T^{16} - 37149918385398 T^{17} + 11086561763155 p T^{18} - 1813652837251 p^{2} T^{19} + 513384255811 p^{3} T^{20} - 76327302574 p^{4} T^{21} + 20696971590 p^{5} T^{22} - 2760003597 p^{6} T^{23} + 719434790 p^{7} T^{24} - 83546201 p^{8} T^{25} + 21467875 p^{9} T^{26} - 1999235 p^{10} T^{27} + 540412 p^{11} T^{28} - 34652 p^{12} T^{29} + 10763 p^{13} T^{30} - 381 p^{14} T^{31} + 147 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
23 \( 1 - 10 T + 215 T^{2} - 1982 T^{3} + 23397 T^{4} - 191610 T^{5} + 1666784 T^{6} - 12039738 T^{7} + 3741535 p T^{8} - 551629496 T^{9} + 3421448192 T^{10} - 19707478560 T^{11} + 109956102992 T^{12} - 25224807284 p T^{13} + 3004360909046 T^{14} - 14905170583952 T^{15} + 73762901057030 T^{16} - 352825969897872 T^{17} + 73762901057030 p T^{18} - 14905170583952 p^{2} T^{19} + 3004360909046 p^{3} T^{20} - 25224807284 p^{5} T^{21} + 109956102992 p^{5} T^{22} - 19707478560 p^{6} T^{23} + 3421448192 p^{7} T^{24} - 551629496 p^{8} T^{25} + 3741535 p^{10} T^{26} - 12039738 p^{10} T^{27} + 1666784 p^{11} T^{28} - 191610 p^{12} T^{29} + 23397 p^{13} T^{30} - 1982 p^{14} T^{31} + 215 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
29 \( 1 - 41 T + 1055 T^{2} - 20216 T^{3} + 318498 T^{4} - 4298955 T^{5} + 51256093 T^{6} - 549569983 T^{7} + 5375118594 T^{8} - 48420277676 T^{9} + 404940580165 T^{10} - 3162023009532 T^{11} + 23164082380697 T^{12} - 159750599671301 T^{13} + 1040094975961675 T^{14} - 6405358705575687 T^{15} + 37366652930460058 T^{16} - 206640782577989834 T^{17} + 37366652930460058 p T^{18} - 6405358705575687 p^{2} T^{19} + 1040094975961675 p^{3} T^{20} - 159750599671301 p^{4} T^{21} + 23164082380697 p^{5} T^{22} - 3162023009532 p^{6} T^{23} + 404940580165 p^{7} T^{24} - 48420277676 p^{8} T^{25} + 5375118594 p^{9} T^{26} - 549569983 p^{10} T^{27} + 51256093 p^{11} T^{28} - 4298955 p^{12} T^{29} + 318498 p^{13} T^{30} - 20216 p^{14} T^{31} + 1055 p^{15} T^{32} - 41 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
31 \( 1 - 8 T + 230 T^{2} - 1809 T^{3} + 28222 T^{4} - 205520 T^{5} + 2358959 T^{6} - 15980835 T^{7} + 150388198 T^{8} - 960359300 T^{9} + 7856552174 T^{10} - 47833244602 T^{11} + 351600669442 T^{12} - 2051625943668 T^{13} + 13826920679628 T^{14} - 77050604857710 T^{15} + 482250868385660 T^{16} - 2546315854440264 T^{17} + 482250868385660 p T^{18} - 77050604857710 p^{2} T^{19} + 13826920679628 p^{3} T^{20} - 2051625943668 p^{4} T^{21} + 351600669442 p^{5} T^{22} - 47833244602 p^{6} T^{23} + 7856552174 p^{7} T^{24} - 960359300 p^{8} T^{25} + 150388198 p^{9} T^{26} - 15980835 p^{10} T^{27} + 2358959 p^{11} T^{28} - 205520 p^{12} T^{29} + 28222 p^{13} T^{30} - 1809 p^{14} T^{31} + 230 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
37 \( 1 - 32 T + 827 T^{2} - 14767 T^{3} + 228872 T^{4} - 2926559 T^{5} + 33712900 T^{6} - 340548399 T^{7} + 3176758921 T^{8} - 26857095342 T^{9} + 214213530599 T^{10} - 1587163116138 T^{11} + 11331943965113 T^{12} - 76724725215814 T^{13} + 509658459973082 T^{14} - 3253752408350236 T^{15} + 20574667036830553 T^{16} - 125616845496156322 T^{17} + 20574667036830553 p T^{18} - 3253752408350236 p^{2} T^{19} + 509658459973082 p^{3} T^{20} - 76724725215814 p^{4} T^{21} + 11331943965113 p^{5} T^{22} - 1587163116138 p^{6} T^{23} + 214213530599 p^{7} T^{24} - 26857095342 p^{8} T^{25} + 3176758921 p^{9} T^{26} - 340548399 p^{10} T^{27} + 33712900 p^{11} T^{28} - 2926559 p^{12} T^{29} + 228872 p^{13} T^{30} - 14767 p^{14} T^{31} + 827 p^{15} T^{32} - 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
41 \( 1 - 27 T + 588 T^{2} - 9347 T^{3} + 130333 T^{4} - 1547028 T^{5} + 16606166 T^{6} - 158625129 T^{7} + 1386970779 T^{8} - 10932435548 T^{9} + 78817083097 T^{10} - 508061690907 T^{11} + 2933971157136 T^{12} - 14423098850032 T^{13} + 57759472043852 T^{14} - 3449859067851 p T^{15} - 111302978836948 T^{16} + 3379098733453106 T^{17} - 111302978836948 p T^{18} - 3449859067851 p^{3} T^{19} + 57759472043852 p^{3} T^{20} - 14423098850032 p^{4} T^{21} + 2933971157136 p^{5} T^{22} - 508061690907 p^{6} T^{23} + 78817083097 p^{7} T^{24} - 10932435548 p^{8} T^{25} + 1386970779 p^{9} T^{26} - 158625129 p^{10} T^{27} + 16606166 p^{11} T^{28} - 1547028 p^{12} T^{29} + 130333 p^{13} T^{30} - 9347 p^{14} T^{31} + 588 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
43 \( 1 + 19 T + 525 T^{2} + 7003 T^{3} + 114383 T^{4} + 1212088 T^{5} + 15017486 T^{6} + 135181238 T^{7} + 1398341619 T^{8} + 11139757370 T^{9} + 101115888564 T^{10} + 733279565340 T^{11} + 6032251603597 T^{12} + 40741685310445 T^{13} + 311617335691177 T^{14} + 1998039321516143 T^{15} + 14507463776345736 T^{16} + 89385623602843972 T^{17} + 14507463776345736 p T^{18} + 1998039321516143 p^{2} T^{19} + 311617335691177 p^{3} T^{20} + 40741685310445 p^{4} T^{21} + 6032251603597 p^{5} T^{22} + 733279565340 p^{6} T^{23} + 101115888564 p^{7} T^{24} + 11139757370 p^{8} T^{25} + 1398341619 p^{9} T^{26} + 135181238 p^{10} T^{27} + 15017486 p^{11} T^{28} + 1212088 p^{12} T^{29} + 114383 p^{13} T^{30} + 7003 p^{14} T^{31} + 525 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
47 \( 1 - 9 T + 464 T^{2} - 4407 T^{3} + 110974 T^{4} - 1064714 T^{5} + 17961318 T^{6} - 169470603 T^{7} + 2185315440 T^{8} - 19927093160 T^{9} + 210903957218 T^{10} - 1835591240593 T^{11} + 354367746569 p T^{12} - 136946169059666 T^{13} + 1096595416245485 T^{14} - 8435891238974853 T^{15} + 60850144496064639 T^{16} - 433439843385828054 T^{17} + 60850144496064639 p T^{18} - 8435891238974853 p^{2} T^{19} + 1096595416245485 p^{3} T^{20} - 136946169059666 p^{4} T^{21} + 354367746569 p^{6} T^{22} - 1835591240593 p^{6} T^{23} + 210903957218 p^{7} T^{24} - 19927093160 p^{8} T^{25} + 2185315440 p^{9} T^{26} - 169470603 p^{10} T^{27} + 17961318 p^{11} T^{28} - 1064714 p^{12} T^{29} + 110974 p^{13} T^{30} - 4407 p^{14} T^{31} + 464 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
53 \( 1 - 41 T + 1186 T^{2} - 25226 T^{3} + 449301 T^{4} - 6863674 T^{5} + 93624998 T^{6} - 1158631853 T^{7} + 13260209080 T^{8} - 141795719393 T^{9} + 1430889622638 T^{10} - 13702722004042 T^{11} + 125106160772564 T^{12} - 1091969887628143 T^{13} + 9132306178461155 T^{14} - 73304548958821516 T^{15} + 565510624819819638 T^{16} - 4196935634245609408 T^{17} + 565510624819819638 p T^{18} - 73304548958821516 p^{2} T^{19} + 9132306178461155 p^{3} T^{20} - 1091969887628143 p^{4} T^{21} + 125106160772564 p^{5} T^{22} - 13702722004042 p^{6} T^{23} + 1430889622638 p^{7} T^{24} - 141795719393 p^{8} T^{25} + 13260209080 p^{9} T^{26} - 1158631853 p^{10} T^{27} + 93624998 p^{11} T^{28} - 6863674 p^{12} T^{29} + 449301 p^{13} T^{30} - 25226 p^{14} T^{31} + 1186 p^{15} T^{32} - 41 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
59 \( 1 - 9 T + 497 T^{2} - 3591 T^{3} + 116827 T^{4} - 666168 T^{5} + 17497459 T^{6} - 75793547 T^{7} + 1915140070 T^{8} - 5913372632 T^{9} + 168181373923 T^{10} - 338827099459 T^{11} + 12739374455508 T^{12} - 15340485179016 T^{13} + 873903680712331 T^{14} - 630504743377827 T^{15} + 55477915813852224 T^{16} - 30873888561071470 T^{17} + 55477915813852224 p T^{18} - 630504743377827 p^{2} T^{19} + 873903680712331 p^{3} T^{20} - 15340485179016 p^{4} T^{21} + 12739374455508 p^{5} T^{22} - 338827099459 p^{6} T^{23} + 168181373923 p^{7} T^{24} - 5913372632 p^{8} T^{25} + 1915140070 p^{9} T^{26} - 75793547 p^{10} T^{27} + 17497459 p^{11} T^{28} - 666168 p^{12} T^{29} + 116827 p^{13} T^{30} - 3591 p^{14} T^{31} + 497 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
61 \( 1 - 4 T + 659 T^{2} - 1675 T^{3} + 211154 T^{4} - 279435 T^{5} + 44323150 T^{6} - 14957729 T^{7} + 6899285316 T^{8} + 2813745239 T^{9} + 850094728600 T^{10} + 778071445702 T^{11} + 85985597906280 T^{12} + 103765500594165 T^{13} + 7284879698507693 T^{14} + 9585837180949104 T^{15} + 522490955056192443 T^{16} + 667079011026669490 T^{17} + 522490955056192443 p T^{18} + 9585837180949104 p^{2} T^{19} + 7284879698507693 p^{3} T^{20} + 103765500594165 p^{4} T^{21} + 85985597906280 p^{5} T^{22} + 778071445702 p^{6} T^{23} + 850094728600 p^{7} T^{24} + 2813745239 p^{8} T^{25} + 6899285316 p^{9} T^{26} - 14957729 p^{10} T^{27} + 44323150 p^{11} T^{28} - 279435 p^{12} T^{29} + 211154 p^{13} T^{30} - 1675 p^{14} T^{31} + 659 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
67 \( 1 + 12 T + 538 T^{2} + 5472 T^{3} + 148732 T^{4} + 1326891 T^{5} + 28008008 T^{6} + 224627977 T^{7} + 4051177009 T^{8} + 29687736878 T^{9} + 479186574629 T^{10} + 3248396316135 T^{11} + 48088729500698 T^{12} + 303958455973548 T^{13} + 4180368837191399 T^{14} + 24754935757288100 T^{15} + 318308018728362042 T^{16} + 1768651519281191542 T^{17} + 318308018728362042 p T^{18} + 24754935757288100 p^{2} T^{19} + 4180368837191399 p^{3} T^{20} + 303958455973548 p^{4} T^{21} + 48088729500698 p^{5} T^{22} + 3248396316135 p^{6} T^{23} + 479186574629 p^{7} T^{24} + 29687736878 p^{8} T^{25} + 4051177009 p^{9} T^{26} + 224627977 p^{10} T^{27} + 28008008 p^{11} T^{28} + 1326891 p^{12} T^{29} + 148732 p^{13} T^{30} + 5472 p^{14} T^{31} + 538 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
71 \( 1 - 21 T + 711 T^{2} - 11357 T^{3} + 226787 T^{4} - 3006068 T^{5} + 45918220 T^{6} - 533591312 T^{7} + 6911140528 T^{8} - 73050545821 T^{9} + 845355375030 T^{10} - 8300006395507 T^{11} + 88094014955525 T^{12} - 810458426667106 T^{13} + 7994038747780877 T^{14} - 69163997227318020 T^{15} + 639319366047514741 T^{16} - 5213636375035756648 T^{17} + 639319366047514741 p T^{18} - 69163997227318020 p^{2} T^{19} + 7994038747780877 p^{3} T^{20} - 810458426667106 p^{4} T^{21} + 88094014955525 p^{5} T^{22} - 8300006395507 p^{6} T^{23} + 845355375030 p^{7} T^{24} - 73050545821 p^{8} T^{25} + 6911140528 p^{9} T^{26} - 533591312 p^{10} T^{27} + 45918220 p^{11} T^{28} - 3006068 p^{12} T^{29} + 226787 p^{13} T^{30} - 11357 p^{14} T^{31} + 711 p^{15} T^{32} - 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
73 \( 1 + 66 T + 2627 T^{2} + 1060 p T^{3} + 1848710 T^{4} + 37464964 T^{5} + 662643928 T^{6} + 10417580083 T^{7} + 147520197468 T^{8} + 1900277075615 T^{9} + 22450412463138 T^{10} + 245077052534251 T^{11} + 2491631412504152 T^{12} + 23813537372080067 T^{13} + 216511520322357738 T^{14} + 1900129684620951785 T^{15} + 16353176330892416705 T^{16} + \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{17} + 16353176330892416705 p T^{18} + 1900129684620951785 p^{2} T^{19} + 216511520322357738 p^{3} T^{20} + 23813537372080067 p^{4} T^{21} + 2491631412504152 p^{5} T^{22} + 245077052534251 p^{6} T^{23} + 22450412463138 p^{7} T^{24} + 1900277075615 p^{8} T^{25} + 147520197468 p^{9} T^{26} + 10417580083 p^{10} T^{27} + 662643928 p^{11} T^{28} + 37464964 p^{12} T^{29} + 1848710 p^{13} T^{30} + 1060 p^{15} T^{31} + 2627 p^{15} T^{32} + 66 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
79 \( 1 - 51 T + 1987 T^{2} - 54392 T^{3} + 1274918 T^{4} - 24845698 T^{5} + 433650855 T^{6} - 6660464585 T^{7} + 93896216981 T^{8} - 1198023974352 T^{9} + 14272563921395 T^{10} - 156767355295881 T^{11} + 1634429117579954 T^{12} - 15991797770691006 T^{13} + 151679001444964968 T^{14} - 1380115091637120416 T^{15} + 158030378798155169 p T^{16} - \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{17} + 158030378798155169 p^{2} T^{18} - 1380115091637120416 p^{2} T^{19} + 151679001444964968 p^{3} T^{20} - 15991797770691006 p^{4} T^{21} + 1634429117579954 p^{5} T^{22} - 156767355295881 p^{6} T^{23} + 14272563921395 p^{7} T^{24} - 1198023974352 p^{8} T^{25} + 93896216981 p^{9} T^{26} - 6660464585 p^{10} T^{27} + 433650855 p^{11} T^{28} - 24845698 p^{12} T^{29} + 1274918 p^{13} T^{30} - 54392 p^{14} T^{31} + 1987 p^{15} T^{32} - 51 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
83 \( 1 - 21 T + 742 T^{2} - 11364 T^{3} + 229547 T^{4} - 2788072 T^{5} + 42157711 T^{6} - 435125083 T^{7} + 5648005321 T^{8} - 53410107570 T^{9} + 650218525991 T^{10} - 5902576114476 T^{11} + 68624149138431 T^{12} - 592173393259567 T^{13} + 6492380036795512 T^{14} - 52811649736420727 T^{15} + 557652649761432128 T^{16} - 4415292009470411224 T^{17} + 557652649761432128 p T^{18} - 52811649736420727 p^{2} T^{19} + 6492380036795512 p^{3} T^{20} - 592173393259567 p^{4} T^{21} + 68624149138431 p^{5} T^{22} - 5902576114476 p^{6} T^{23} + 650218525991 p^{7} T^{24} - 53410107570 p^{8} T^{25} + 5648005321 p^{9} T^{26} - 435125083 p^{10} T^{27} + 42157711 p^{11} T^{28} - 2788072 p^{12} T^{29} + 229547 p^{13} T^{30} - 11364 p^{14} T^{31} + 742 p^{15} T^{32} - 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
89 \( 1 - 34 T + 1086 T^{2} - 22249 T^{3} + 447087 T^{4} - 7127456 T^{5} + 113054158 T^{6} - 1520533092 T^{7} + 20537412161 T^{8} - 242870333385 T^{9} + 2917625392089 T^{10} - 31178353964124 T^{11} + 342922077318783 T^{12} - 3389913267069230 T^{13} + 35101375004995089 T^{14} - 329327674366203769 T^{15} + 3290248151034198590 T^{16} - 29960460484474208930 T^{17} + 3290248151034198590 p T^{18} - 329327674366203769 p^{2} T^{19} + 35101375004995089 p^{3} T^{20} - 3389913267069230 p^{4} T^{21} + 342922077318783 p^{5} T^{22} - 31178353964124 p^{6} T^{23} + 2917625392089 p^{7} T^{24} - 242870333385 p^{8} T^{25} + 20537412161 p^{9} T^{26} - 1520533092 p^{10} T^{27} + 113054158 p^{11} T^{28} - 7127456 p^{12} T^{29} + 447087 p^{13} T^{30} - 22249 p^{14} T^{31} + 1086 p^{15} T^{32} - 34 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
97 \( 1 + 21 T + 805 T^{2} + 11810 T^{3} + 276259 T^{4} + 3134874 T^{5} + 58219224 T^{6} + 526709601 T^{7} + 8809616449 T^{8} + 64441720941 T^{9} + 1094960807464 T^{10} + 6899145580036 T^{11} + 129538019788676 T^{12} + 792535381740872 T^{13} + 15462389523013155 T^{14} + 96019941440370305 T^{15} + 1733337639472239039 T^{16} + 10300253426527907464 T^{17} + 1733337639472239039 p T^{18} + 96019941440370305 p^{2} T^{19} + 15462389523013155 p^{3} T^{20} + 792535381740872 p^{4} T^{21} + 129538019788676 p^{5} T^{22} + 6899145580036 p^{6} T^{23} + 1094960807464 p^{7} T^{24} + 64441720941 p^{8} T^{25} + 8809616449 p^{9} T^{26} + 526709601 p^{10} T^{27} + 58219224 p^{11} T^{28} + 3134874 p^{12} T^{29} + 276259 p^{13} T^{30} + 11810 p^{14} T^{31} + 805 p^{15} T^{32} + 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.75227834706826115807796954645, −2.67713460677885381560141731763, −2.52908390276694575108936097837, −2.47232679504148935265273790377, −2.38330025662479495922794500549, −2.24652091546229534668823399713, −2.19909201127762419170578962575, −2.10481326957221904508161019442, −2.10155759393071037521982681452, −1.83896861601918209817371470655, −1.69980777438594839549565742635, −1.56606676592342192580620300509, −1.38570822563183188769076171813, −1.33362221891670163062067375616, −1.23899237217481951299549533135, −1.00963059083626008231155696848, −0.926335652753499164871246887972, −0.889573430176910133052011242284, −0.886383942146589958050627672379, −0.65846758447181574285600030956, −0.65642150036974600435750729303, −0.61404479903240287360644894244, −0.56732405713691005523009211566, −0.34618490108485120058415031203, −0.18601481318682197039838286204, 0.18601481318682197039838286204, 0.34618490108485120058415031203, 0.56732405713691005523009211566, 0.61404479903240287360644894244, 0.65642150036974600435750729303, 0.65846758447181574285600030956, 0.886383942146589958050627672379, 0.889573430176910133052011242284, 0.926335652753499164871246887972, 1.00963059083626008231155696848, 1.23899237217481951299549533135, 1.33362221891670163062067375616, 1.38570822563183188769076171813, 1.56606676592342192580620300509, 1.69980777438594839549565742635, 1.83896861601918209817371470655, 2.10155759393071037521982681452, 2.10481326957221904508161019442, 2.19909201127762419170578962575, 2.24652091546229534668823399713, 2.38330025662479495922794500549, 2.47232679504148935265273790377, 2.52908390276694575108936097837, 2.67713460677885381560141731763, 2.75227834706826115807796954645

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.