Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 6·2-s + 17·3-s + 11·4-s + 12·5-s + 102·6-s − 7-s − 4·8-s + 153·9-s + 72·10-s + 19·11-s + 187·12-s + 13-s − 6·14-s + 204·15-s − 41·16-s + 12·17-s + 918·18-s + 132·20-s − 17·21-s + 114·22-s + 18·23-s − 68·24-s + 42·25-s + 6·26-s + 969·27-s − 11·28-s + 10·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 4.24·2-s + 9.81·3-s + 11/2·4-s + 5.36·5-s + 41.6·6-s − 0.377·7-s − 1.41·8-s + 51·9-s + 22.7·10-s + 5.72·11-s + 53.9·12-s + 0.277·13-s − 1.60·14-s + 52.6·15-s − 10.2·16-s + 2.91·17-s + 216.·18-s + 29.5·20-s − 3.70·21-s + 24.3·22-s + 3.75·23-s − 13.8·24-s + 42/5·25-s + 1.17·26-s + 186.·27-s − 2.07·28-s + 1.85·29-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 293^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 293^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{17} \cdot 293^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.43512\times 10^{14}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.64931\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{17} \cdot 293^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(383516.2878\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(383516.2878\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 293 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 3 p T + 25 T^{2} - 5 p^{4} T^{3} + 111 p T^{4} - 17 p^{5} T^{5} + 307 p^{2} T^{6} - 2569 T^{7} + 5071 T^{8} - 9471 T^{9} + 16917 T^{10} - 14477 p T^{11} + 47853 T^{12} - 9553 p^{3} T^{13} + 118563 T^{14} - 178667 T^{15} + 262499 T^{16} - 375651 T^{17} + 262499 p T^{18} - 178667 p^{2} T^{19} + 118563 p^{3} T^{20} - 9553 p^{7} T^{21} + 47853 p^{5} T^{22} - 14477 p^{7} T^{23} + 16917 p^{7} T^{24} - 9471 p^{8} T^{25} + 5071 p^{9} T^{26} - 2569 p^{10} T^{27} + 307 p^{13} T^{28} - 17 p^{17} T^{29} + 111 p^{14} T^{30} - 5 p^{18} T^{31} + 25 p^{15} T^{32} - 3 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 12 T + 102 T^{2} - 642 T^{3} + 137 p^{2} T^{4} - 15788 T^{5} + 13119 p T^{6} - 248279 T^{7} + 174523 p T^{8} - 2865733 T^{9} + 8883868 T^{10} - 5218987 p T^{11} + 73060901 T^{12} - 195417879 T^{13} + 100231006 p T^{14} - 1233729449 T^{15} + 2921684658 T^{16} - 6657274819 T^{17} + 2921684658 p T^{18} - 1233729449 p^{2} T^{19} + 100231006 p^{4} T^{20} - 195417879 p^{4} T^{21} + 73060901 p^{5} T^{22} - 5218987 p^{7} T^{23} + 8883868 p^{7} T^{24} - 2865733 p^{8} T^{25} + 174523 p^{10} T^{26} - 248279 p^{10} T^{27} + 13119 p^{12} T^{28} - 15788 p^{12} T^{29} + 137 p^{15} T^{30} - 642 p^{14} T^{31} + 102 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + T + 50 T^{2} + 55 T^{3} + 1233 T^{4} + 204 p T^{5} + 20057 T^{6} + 24328 T^{7} + 242955 T^{8} + 318222 T^{9} + 2365759 T^{10} + 3519422 T^{11} + 19751797 T^{12} + 4925980 p T^{13} + 21406683 p T^{14} + 299347059 T^{15} + 1079679149 T^{16} + 2258674994 T^{17} + 1079679149 p T^{18} + 299347059 p^{2} T^{19} + 21406683 p^{4} T^{20} + 4925980 p^{5} T^{21} + 19751797 p^{5} T^{22} + 3519422 p^{6} T^{23} + 2365759 p^{7} T^{24} + 318222 p^{8} T^{25} + 242955 p^{9} T^{26} + 24328 p^{10} T^{27} + 20057 p^{11} T^{28} + 204 p^{13} T^{29} + 1233 p^{13} T^{30} + 55 p^{14} T^{31} + 50 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 19 T + 266 T^{2} - 2769 T^{3} + 24580 T^{4} - 188216 T^{5} + 1294559 T^{6} - 8060213 T^{7} + 46249188 T^{8} - 245794026 T^{9} + 1221682322 T^{10} - 5697004080 T^{11} + 2279226397 p T^{12} - 104321039997 T^{13} + 411931077886 T^{14} - 1544875339221 T^{15} + 5515088765568 T^{16} - 18738752336341 T^{17} + 5515088765568 p T^{18} - 1544875339221 p^{2} T^{19} + 411931077886 p^{3} T^{20} - 104321039997 p^{4} T^{21} + 2279226397 p^{6} T^{22} - 5697004080 p^{6} T^{23} + 1221682322 p^{7} T^{24} - 245794026 p^{8} T^{25} + 46249188 p^{9} T^{26} - 8060213 p^{10} T^{27} + 1294559 p^{11} T^{28} - 188216 p^{12} T^{29} + 24580 p^{13} T^{30} - 2769 p^{14} T^{31} + 266 p^{15} T^{32} - 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - T + 88 T^{2} - 127 T^{3} + 3905 T^{4} - 8705 T^{5} + 120038 T^{6} - 370872 T^{7} + 2959252 T^{8} - 10982904 T^{9} + 63685858 T^{10} - 247883054 T^{11} + 1228821216 T^{12} - 4560915735 T^{13} + 21028479229 T^{14} - 71751966627 T^{15} + 314698417801 T^{16} - 991470504190 T^{17} + 314698417801 p T^{18} - 71751966627 p^{2} T^{19} + 21028479229 p^{3} T^{20} - 4560915735 p^{4} T^{21} + 1228821216 p^{5} T^{22} - 247883054 p^{6} T^{23} + 63685858 p^{7} T^{24} - 10982904 p^{8} T^{25} + 2959252 p^{9} T^{26} - 370872 p^{10} T^{27} + 120038 p^{11} T^{28} - 8705 p^{12} T^{29} + 3905 p^{13} T^{30} - 127 p^{14} T^{31} + 88 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 12 T + 190 T^{2} - 1600 T^{3} + 15654 T^{4} - 106336 T^{5} + 806517 T^{6} - 4697329 T^{7} + 30194914 T^{8} - 156977946 T^{9} + 898278500 T^{10} - 4287163517 T^{11} + 22500809925 T^{12} - 100350755928 T^{13} + 490659897104 T^{14} - 2059181105778 T^{15} + 9436466628155 T^{16} - 37270054488388 T^{17} + 9436466628155 p T^{18} - 2059181105778 p^{2} T^{19} + 490659897104 p^{3} T^{20} - 100350755928 p^{4} T^{21} + 22500809925 p^{5} T^{22} - 4287163517 p^{6} T^{23} + 898278500 p^{7} T^{24} - 156977946 p^{8} T^{25} + 30194914 p^{9} T^{26} - 4697329 p^{10} T^{27} + 806517 p^{11} T^{28} - 106336 p^{12} T^{29} + 15654 p^{13} T^{30} - 1600 p^{14} T^{31} + 190 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 130 T^{2} + 50 T^{3} + 8413 T^{4} + 5135 T^{5} + 18882 p T^{6} + 234155 T^{7} + 11136680 T^{8} + 5236372 T^{9} + 262838246 T^{10} - 11036517 T^{11} + 4832011172 T^{12} - 5234029607 T^{13} + 72105900487 T^{14} - 207416539024 T^{15} + 54020545013 p T^{16} - 4853264503512 T^{17} + 54020545013 p^{2} T^{18} - 207416539024 p^{2} T^{19} + 72105900487 p^{3} T^{20} - 5234029607 p^{4} T^{21} + 4832011172 p^{5} T^{22} - 11036517 p^{6} T^{23} + 262838246 p^{7} T^{24} + 5236372 p^{8} T^{25} + 11136680 p^{9} T^{26} + 234155 p^{10} T^{27} + 18882 p^{12} T^{28} + 5135 p^{12} T^{29} + 8413 p^{13} T^{30} + 50 p^{14} T^{31} + 130 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 18 T + 318 T^{2} - 168 p T^{3} + 43788 T^{4} - 417826 T^{5} + 3741182 T^{6} - 30124487 T^{7} + 229600134 T^{8} - 1622094111 T^{9} + 10923972888 T^{10} - 69298479819 T^{11} + 421146233755 T^{12} - 2432867580449 T^{13} + 13505875590272 T^{14} - 71622335321369 T^{15} + 365609537488106 T^{16} - 1786676055043619 T^{17} + 365609537488106 p T^{18} - 71622335321369 p^{2} T^{19} + 13505875590272 p^{3} T^{20} - 2432867580449 p^{4} T^{21} + 421146233755 p^{5} T^{22} - 69298479819 p^{6} T^{23} + 10923972888 p^{7} T^{24} - 1622094111 p^{8} T^{25} + 229600134 p^{9} T^{26} - 30124487 p^{10} T^{27} + 3741182 p^{11} T^{28} - 417826 p^{12} T^{29} + 43788 p^{13} T^{30} - 168 p^{15} T^{31} + 318 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 10 T + 191 T^{2} - 1700 T^{3} + 19644 T^{4} - 153810 T^{5} + 1356503 T^{6} - 9326607 T^{7} + 69088366 T^{8} - 417872111 T^{9} + 2708120329 T^{10} - 14469572241 T^{11} + 84550009845 T^{12} - 404224893469 T^{13} + 2220193737602 T^{14} - 9939326659179 T^{15} + 55929432386888 T^{16} - 260590115259479 T^{17} + 55929432386888 p T^{18} - 9939326659179 p^{2} T^{19} + 2220193737602 p^{3} T^{20} - 404224893469 p^{4} T^{21} + 84550009845 p^{5} T^{22} - 14469572241 p^{6} T^{23} + 2708120329 p^{7} T^{24} - 417872111 p^{8} T^{25} + 69088366 p^{9} T^{26} - 9326607 p^{10} T^{27} + 1356503 p^{11} T^{28} - 153810 p^{12} T^{29} + 19644 p^{13} T^{30} - 1700 p^{14} T^{31} + 191 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 14 T + 291 T^{2} - 2884 T^{3} + 37318 T^{4} - 300782 T^{5} + 3074835 T^{6} - 21296337 T^{7} + 187349218 T^{8} - 1146467395 T^{9} + 9116131431 T^{10} - 50373592541 T^{11} + 374782823077 T^{12} - 1907035214683 T^{13} + 13607323191616 T^{14} - 65117640691939 T^{15} + 452007366911728 T^{16} - 2076088278220487 T^{17} + 452007366911728 p T^{18} - 65117640691939 p^{2} T^{19} + 13607323191616 p^{3} T^{20} - 1907035214683 p^{4} T^{21} + 374782823077 p^{5} T^{22} - 50373592541 p^{6} T^{23} + 9116131431 p^{7} T^{24} - 1146467395 p^{8} T^{25} + 187349218 p^{9} T^{26} - 21296337 p^{10} T^{27} + 3074835 p^{11} T^{28} - 300782 p^{12} T^{29} + 37318 p^{13} T^{30} - 2884 p^{14} T^{31} + 291 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 11 T + 266 T^{2} + 3060 T^{3} + 40235 T^{4} + 421064 T^{5} + 4278304 T^{6} + 39313417 T^{7} + 345600321 T^{8} + 2824010663 T^{9} + 22400960002 T^{10} + 166796230282 T^{11} + 1216887087065 T^{12} + 8422945934159 T^{13} + 57224757502728 T^{14} + 372393500721523 T^{15} + 2376168537400650 T^{16} + 14601980448486163 T^{17} + 2376168537400650 p T^{18} + 372393500721523 p^{2} T^{19} + 57224757502728 p^{3} T^{20} + 8422945934159 p^{4} T^{21} + 1216887087065 p^{5} T^{22} + 166796230282 p^{6} T^{23} + 22400960002 p^{7} T^{24} + 2824010663 p^{8} T^{25} + 345600321 p^{9} T^{26} + 39313417 p^{10} T^{27} + 4278304 p^{11} T^{28} + 421064 p^{12} T^{29} + 40235 p^{13} T^{30} + 3060 p^{14} T^{31} + 266 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 44 T + 1112 T^{2} - 20004 T^{3} + 287903 T^{4} - 3513170 T^{5} + 37908603 T^{6} - 369533707 T^{7} + 3298833363 T^{8} - 27121332549 T^{9} + 206680126242 T^{10} - 1467438207735 T^{11} + 9782723590907 T^{12} - 1505011187989 p T^{13} + 373393360834150 T^{14} - 2211789720094241 T^{15} + 13236487365551174 T^{16} - 82448751127755793 T^{17} + 13236487365551174 p T^{18} - 2211789720094241 p^{2} T^{19} + 373393360834150 p^{3} T^{20} - 1505011187989 p^{5} T^{21} + 9782723590907 p^{5} T^{22} - 1467438207735 p^{6} T^{23} + 206680126242 p^{7} T^{24} - 27121332549 p^{8} T^{25} + 3298833363 p^{9} T^{26} - 369533707 p^{10} T^{27} + 37908603 p^{11} T^{28} - 3513170 p^{12} T^{29} + 287903 p^{13} T^{30} - 20004 p^{14} T^{31} + 1112 p^{15} T^{32} - 44 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 27 T + 770 T^{2} + 14262 T^{3} + 249327 T^{4} + 3571330 T^{5} + 47803518 T^{6} + 564266385 T^{7} + 6260583135 T^{8} + 63316230045 T^{9} + 606616161954 T^{10} + 5397922136984 T^{11} + 45837759981565 T^{12} + 365964571145315 T^{13} + 2805814911158648 T^{14} + 20389215625728727 T^{15} + 142912869642002576 T^{16} + 953424258789378003 T^{17} + 142912869642002576 p T^{18} + 20389215625728727 p^{2} T^{19} + 2805814911158648 p^{3} T^{20} + 365964571145315 p^{4} T^{21} + 45837759981565 p^{5} T^{22} + 5397922136984 p^{6} T^{23} + 606616161954 p^{7} T^{24} + 63316230045 p^{8} T^{25} + 6260583135 p^{9} T^{26} + 564266385 p^{10} T^{27} + 47803518 p^{11} T^{28} + 3571330 p^{12} T^{29} + 249327 p^{13} T^{30} + 14262 p^{14} T^{31} + 770 p^{15} T^{32} + 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 36 T + 863 T^{2} - 15329 T^{3} + 231374 T^{4} - 3047451 T^{5} + 36631594 T^{6} - 405228126 T^{7} + 4205730432 T^{8} - 41053334042 T^{9} + 380976531929 T^{10} - 3364691718591 T^{11} + 605944309667 p T^{12} - 230994423986077 T^{13} + 1803450464573888 T^{14} - 13539640279406873 T^{15} + 98064013157690010 T^{16} - 684185944395681755 T^{17} + 98064013157690010 p T^{18} - 13539640279406873 p^{2} T^{19} + 1803450464573888 p^{3} T^{20} - 230994423986077 p^{4} T^{21} + 605944309667 p^{6} T^{22} - 3364691718591 p^{6} T^{23} + 380976531929 p^{7} T^{24} - 41053334042 p^{8} T^{25} + 4205730432 p^{9} T^{26} - 405228126 p^{10} T^{27} + 36631594 p^{11} T^{28} - 3047451 p^{12} T^{29} + 231374 p^{13} T^{30} - 15329 p^{14} T^{31} + 863 p^{15} T^{32} - 36 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 13 T + 616 T^{2} - 6997 T^{3} + 183218 T^{4} - 35141 p T^{5} + 35401277 T^{6} - 327006906 T^{7} + 5015614572 T^{8} - 42499771840 T^{9} + 555431342762 T^{10} - 4340735259476 T^{11} + 49905225764169 T^{12} - 360559814556303 T^{13} + 70202724495084 p T^{14} - 24848251668425365 T^{15} + 233190885363259049 T^{16} - 1435838335908130838 T^{17} + 233190885363259049 p T^{18} - 24848251668425365 p^{2} T^{19} + 70202724495084 p^{4} T^{20} - 360559814556303 p^{4} T^{21} + 49905225764169 p^{5} T^{22} - 4340735259476 p^{6} T^{23} + 555431342762 p^{7} T^{24} - 42499771840 p^{8} T^{25} + 5015614572 p^{9} T^{26} - 327006906 p^{10} T^{27} + 35401277 p^{11} T^{28} - 35141 p^{13} T^{29} + 183218 p^{13} T^{30} - 6997 p^{14} T^{31} + 616 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 39 T + 1299 T^{2} - 30290 T^{3} + 624979 T^{4} - 10860514 T^{5} + 171990474 T^{6} - 2438170081 T^{7} + 32112953377 T^{8} - 389637127926 T^{9} + 4447618682551 T^{10} - 47508210884185 T^{11} + 481217883320316 T^{12} - 4602429637145094 T^{13} + 41941591900830321 T^{14} - 362683427079300764 T^{15} + 2995930405704194304 T^{16} - 23535478725085552950 T^{17} + 2995930405704194304 p T^{18} - 362683427079300764 p^{2} T^{19} + 41941591900830321 p^{3} T^{20} - 4602429637145094 p^{4} T^{21} + 481217883320316 p^{5} T^{22} - 47508210884185 p^{6} T^{23} + 4447618682551 p^{7} T^{24} - 389637127926 p^{8} T^{25} + 32112953377 p^{9} T^{26} - 2438170081 p^{10} T^{27} + 171990474 p^{11} T^{28} - 10860514 p^{12} T^{29} + 624979 p^{13} T^{30} - 30290 p^{14} T^{31} + 1299 p^{15} T^{32} - 39 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 6 T + 695 T^{2} + 3443 T^{3} + 230338 T^{4} + 918207 T^{5} + 48775606 T^{6} + 150554376 T^{7} + 7466408684 T^{8} + 16883452406 T^{9} + 886851820531 T^{10} + 1362639754213 T^{11} + 85693926723031 T^{12} + 82103026815141 T^{13} + 6966882321336474 T^{14} + 4034938046006333 T^{15} + 487669614126574744 T^{16} + 211350229715798179 T^{17} + 487669614126574744 p T^{18} + 4034938046006333 p^{2} T^{19} + 6966882321336474 p^{3} T^{20} + 82103026815141 p^{4} T^{21} + 85693926723031 p^{5} T^{22} + 1362639754213 p^{6} T^{23} + 886851820531 p^{7} T^{24} + 16883452406 p^{8} T^{25} + 7466408684 p^{9} T^{26} + 150554376 p^{10} T^{27} + 48775606 p^{11} T^{28} + 918207 p^{12} T^{29} + 230338 p^{13} T^{30} + 3443 p^{14} T^{31} + 695 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 32 T + 1261 T^{2} + 28479 T^{3} + 673888 T^{4} + 12023064 T^{5} + 215479873 T^{6} + 3213927805 T^{7} + 47465581332 T^{8} + 611604629546 T^{9} + 7761475588933 T^{10} + 88184967173865 T^{11} + 984874735238197 T^{12} + 9996410829303421 T^{13} + 99674850715094776 T^{14} + 910895071777002685 T^{15} + 8176765508881113444 T^{16} + 67531129055751005045 T^{17} + 8176765508881113444 p T^{18} + 910895071777002685 p^{2} T^{19} + 99674850715094776 p^{3} T^{20} + 9996410829303421 p^{4} T^{21} + 984874735238197 p^{5} T^{22} + 88184967173865 p^{6} T^{23} + 7761475588933 p^{7} T^{24} + 611604629546 p^{8} T^{25} + 47465581332 p^{9} T^{26} + 3213927805 p^{10} T^{27} + 215479873 p^{11} T^{28} + 12023064 p^{12} T^{29} + 673888 p^{13} T^{30} + 28479 p^{14} T^{31} + 1261 p^{15} T^{32} + 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 25 T + 877 T^{2} - 16698 T^{3} + 360982 T^{4} - 5708294 T^{5} + 95664266 T^{6} - 1313215703 T^{7} + 18525769724 T^{8} - 226293839194 T^{9} + 2795822907568 T^{10} - 30843720632639 T^{11} + 341126093698106 T^{12} - 3429508954725810 T^{13} + 34394013559991830 T^{14} - 316705912863614240 T^{15} + 2901697997194404824 T^{16} - 24521166946806160682 T^{17} + 2901697997194404824 p T^{18} - 316705912863614240 p^{2} T^{19} + 34394013559991830 p^{3} T^{20} - 3429508954725810 p^{4} T^{21} + 341126093698106 p^{5} T^{22} - 30843720632639 p^{6} T^{23} + 2795822907568 p^{7} T^{24} - 226293839194 p^{8} T^{25} + 18525769724 p^{9} T^{26} - 1313215703 p^{10} T^{27} + 95664266 p^{11} T^{28} - 5708294 p^{12} T^{29} + 360982 p^{13} T^{30} - 16698 p^{14} T^{31} + 877 p^{15} T^{32} - 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 8 T + 588 T^{2} - 3333 T^{3} + 169352 T^{4} - 712390 T^{5} + 33294514 T^{6} - 108480799 T^{7} + 5081499790 T^{8} - 13414923696 T^{9} + 640355428728 T^{10} - 1437675757827 T^{11} + 68901609402239 T^{12} - 137038392932943 T^{13} + 6451078609572542 T^{14} - 11703208824428925 T^{15} + 531727870854285390 T^{16} - 899639832576843791 T^{17} + 531727870854285390 p T^{18} - 11703208824428925 p^{2} T^{19} + 6451078609572542 p^{3} T^{20} - 137038392932943 p^{4} T^{21} + 68901609402239 p^{5} T^{22} - 1437675757827 p^{6} T^{23} + 640355428728 p^{7} T^{24} - 13414923696 p^{8} T^{25} + 5081499790 p^{9} T^{26} - 108480799 p^{10} T^{27} + 33294514 p^{11} T^{28} - 712390 p^{12} T^{29} + 169352 p^{13} T^{30} - 3333 p^{14} T^{31} + 588 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 14 T + 545 T^{2} + 5798 T^{3} + 134016 T^{4} + 1131834 T^{5} + 20525345 T^{6} + 144820423 T^{7} + 2328274297 T^{8} + 15016623410 T^{9} + 224324214799 T^{10} + 1509820825671 T^{11} + 20465439206371 T^{12} + 156629665875534 T^{13} + 1847338210482994 T^{14} + 15528612175350444 T^{15} + 159768379637653718 T^{16} + 1338684042485993072 T^{17} + 159768379637653718 p T^{18} + 15528612175350444 p^{2} T^{19} + 1847338210482994 p^{3} T^{20} + 156629665875534 p^{4} T^{21} + 20465439206371 p^{5} T^{22} + 1509820825671 p^{6} T^{23} + 224324214799 p^{7} T^{24} + 15016623410 p^{8} T^{25} + 2328274297 p^{9} T^{26} + 144820423 p^{10} T^{27} + 20525345 p^{11} T^{28} + 1131834 p^{12} T^{29} + 134016 p^{13} T^{30} + 5798 p^{14} T^{31} + 545 p^{15} T^{32} + 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 27 T + 1206 T^{2} - 24982 T^{3} + 663062 T^{4} - 11411605 T^{5} + 229297235 T^{6} - 3412877739 T^{7} + 56694263816 T^{8} - 746799073124 T^{9} + 10708987030238 T^{10} - 126602797777859 T^{11} + 19345567056491 p T^{12} - 17181591790656147 T^{13} + 195546844503943304 T^{14} - 1902642677607380036 T^{15} + 19600411285217182411 T^{16} - \)\(17\!\cdots\!42\)\( T^{17} + 19600411285217182411 p T^{18} - 1902642677607380036 p^{2} T^{19} + 195546844503943304 p^{3} T^{20} - 17181591790656147 p^{4} T^{21} + 19345567056491 p^{6} T^{22} - 126602797777859 p^{6} T^{23} + 10708987030238 p^{7} T^{24} - 746799073124 p^{8} T^{25} + 56694263816 p^{9} T^{26} - 3412877739 p^{10} T^{27} + 229297235 p^{11} T^{28} - 11411605 p^{12} T^{29} + 663062 p^{13} T^{30} - 24982 p^{14} T^{31} + 1206 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 55 T + 2362 T^{2} - 73105 T^{3} + 1949819 T^{4} - 44203042 T^{5} + 901732252 T^{6} - 16504903221 T^{7} + 278265393525 T^{8} - 4318206608290 T^{9} + 62589918872598 T^{10} - 846912582146218 T^{11} + 10796415857521403 T^{12} - 129554316012674117 T^{13} + 1472372375380757914 T^{14} - 15825546952949976581 T^{15} + \)\(16\!\cdots\!54\)\( T^{16} - \)\(15\!\cdots\!21\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!54\)\( p T^{18} - 15825546952949976581 p^{2} T^{19} + 1472372375380757914 p^{3} T^{20} - 129554316012674117 p^{4} T^{21} + 10796415857521403 p^{5} T^{22} - 846912582146218 p^{6} T^{23} + 62589918872598 p^{7} T^{24} - 4318206608290 p^{8} T^{25} + 278265393525 p^{9} T^{26} - 16504903221 p^{10} T^{27} + 901732252 p^{11} T^{28} - 44203042 p^{12} T^{29} + 1949819 p^{13} T^{30} - 73105 p^{14} T^{31} + 2362 p^{15} T^{32} - 55 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 37 T + 1705 T^{2} - 43829 T^{3} + 1207514 T^{4} - 24396603 T^{5} + 507916327 T^{6} - 8570426546 T^{7} + 147106064148 T^{8} - 2148772633158 T^{9} + 31810922303469 T^{10} - 411888929023706 T^{11} + 5406418185506709 T^{12} - 63093830490787855 T^{13} + 747738571193426306 T^{14} - 7955428990543523383 T^{15} + 86104631496278031652 T^{16} - \)\(84\!\cdots\!43\)\( T^{17} + 86104631496278031652 p T^{18} - 7955428990543523383 p^{2} T^{19} + 747738571193426306 p^{3} T^{20} - 63093830490787855 p^{4} T^{21} + 5406418185506709 p^{5} T^{22} - 411888929023706 p^{6} T^{23} + 31810922303469 p^{7} T^{24} - 2148772633158 p^{8} T^{25} + 147106064148 p^{9} T^{26} - 8570426546 p^{10} T^{27} + 507916327 p^{11} T^{28} - 24396603 p^{12} T^{29} + 1207514 p^{13} T^{30} - 43829 p^{14} T^{31} + 1705 p^{15} T^{32} - 37 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.61079683393790142580483903011, −2.60976643277855758811445957631, −2.48375592881115540738373588619, −2.45639987298233347994875941589, −2.21178260223360140593742279360, −2.17571310628131923136749732268, −2.17543844014275611563785766782, −2.12049008234671876065237297717, −2.06938323992316426762921156898, −1.97596551468324695086386927270, −1.96374899584694914535973686007, −1.85633729018511005603259014165, −1.80799056061348278857985931719, −1.66673559046719017043196576059, −1.48523127002748937556509387233, −1.42962352236036404866375368629, −1.31301513088061589633422977506, −1.24608060295231211677910498584, −1.21860328166143431211470738039, −1.21284877073324518177253060205, −1.14654911025709651304602092782, −0.956522519246960149812331262387, −0.882456501721768727942357120392, −0.77443096034942573692153148442, −0.59594146837357470677042231405, 0.59594146837357470677042231405, 0.77443096034942573692153148442, 0.882456501721768727942357120392, 0.956522519246960149812331262387, 1.14654911025709651304602092782, 1.21284877073324518177253060205, 1.21860328166143431211470738039, 1.24608060295231211677910498584, 1.31301513088061589633422977506, 1.42962352236036404866375368629, 1.48523127002748937556509387233, 1.66673559046719017043196576059, 1.80799056061348278857985931719, 1.85633729018511005603259014165, 1.96374899584694914535973686007, 1.97596551468324695086386927270, 2.06938323992316426762921156898, 2.12049008234671876065237297717, 2.17543844014275611563785766782, 2.17571310628131923136749732268, 2.21178260223360140593742279360, 2.45639987298233347994875941589, 2.48375592881115540738373588619, 2.60976643277855758811445957631, 2.61079683393790142580483903011
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.