Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 4·2-s − 17·3-s + 4-s + 9·5-s − 68·6-s − 5·7-s − 17·8-s + 153·9-s + 36·10-s + 16·11-s − 17·12-s − 4·13-s − 20·14-s − 153·15-s − 21·16-s + 24·17-s + 612·18-s − 3·19-s + 9·20-s + 85·21-s + 64·22-s + 22·23-s + 289·24-s + 16·25-s − 16·26-s − 969·27-s − 5·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.82·2-s − 9.81·3-s + 1/2·4-s + 4.02·5-s − 27.7·6-s − 1.88·7-s − 6.01·8-s + 51·9-s + 11.3·10-s + 4.82·11-s − 4.90·12-s − 1.10·13-s − 5.34·14-s − 39.5·15-s − 5.25·16-s + 5.82·17-s + 144.·18-s − 0.688·19-s + 2.01·20-s + 18.5·21-s + 13.6·22-s + 4.58·23-s + 58.9·24-s + 16/5·25-s − 3.13·26-s − 186.·27-s − 0.944·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 277^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 277^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{17} \cdot 277^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(9.37407\times 10^{13}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.57595\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{17} \cdot 277^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(14.74645833\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(14.74645833\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 277 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - p^{2} T + 15 T^{2} - 39 T^{3} + 47 p T^{4} - 97 p T^{5} + 47 p^{3} T^{6} - 41 p^{4} T^{7} + 535 p T^{8} - 49 p^{5} T^{9} + 263 p^{3} T^{10} - 1207 p T^{11} + 1139 p T^{12} - 67 p^{4} T^{13} - 1425 T^{14} + 1487 p^{2} T^{15} - 11811 T^{16} + 18831 T^{17} - 11811 p T^{18} + 1487 p^{4} T^{19} - 1425 p^{3} T^{20} - 67 p^{8} T^{21} + 1139 p^{6} T^{22} - 1207 p^{7} T^{23} + 263 p^{10} T^{24} - 49 p^{13} T^{25} + 535 p^{10} T^{26} - 41 p^{14} T^{27} + 47 p^{14} T^{28} - 97 p^{13} T^{29} + 47 p^{14} T^{30} - 39 p^{14} T^{31} + 15 p^{15} T^{32} - p^{18} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 9 T + 13 p T^{2} - 333 T^{3} + 1521 T^{4} - 5863 T^{5} + 21063 T^{6} - 68162 T^{7} + 211508 T^{8} - 611984 T^{9} + 1727214 T^{10} - 926124 p T^{11} + 12206564 T^{12} - 30819202 T^{13} + 76648108 T^{14} - 183014276 T^{15} + 429967914 T^{16} - 969681298 T^{17} + 429967914 p T^{18} - 183014276 p^{2} T^{19} + 76648108 p^{3} T^{20} - 30819202 p^{4} T^{21} + 12206564 p^{5} T^{22} - 926124 p^{7} T^{23} + 1727214 p^{7} T^{24} - 611984 p^{8} T^{25} + 211508 p^{9} T^{26} - 68162 p^{10} T^{27} + 21063 p^{11} T^{28} - 5863 p^{12} T^{29} + 1521 p^{13} T^{30} - 333 p^{14} T^{31} + 13 p^{16} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 5 T + 47 T^{2} + 213 T^{3} + 1103 T^{4} + 4029 T^{5} + 15577 T^{6} + 44752 T^{7} + 139798 T^{8} + 320508 T^{9} + 889990 T^{10} + 1821116 T^{11} + 6026086 T^{12} + 2219624 p T^{13} + 62264952 T^{14} + 179205918 T^{15} + 622260672 T^{16} + 1545886358 T^{17} + 622260672 p T^{18} + 179205918 p^{2} T^{19} + 62264952 p^{3} T^{20} + 2219624 p^{5} T^{21} + 6026086 p^{5} T^{22} + 1821116 p^{6} T^{23} + 889990 p^{7} T^{24} + 320508 p^{8} T^{25} + 139798 p^{9} T^{26} + 44752 p^{10} T^{27} + 15577 p^{11} T^{28} + 4029 p^{12} T^{29} + 1103 p^{13} T^{30} + 213 p^{14} T^{31} + 47 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 16 T + 170 T^{2} - 1291 T^{3} + 8153 T^{4} - 43620 T^{5} + 1728 p^{2} T^{6} - 82224 p T^{7} + 331275 p T^{8} - 13744558 T^{9} + 4527393 p T^{10} - 174558462 T^{11} + 606786229 T^{12} - 2096113716 T^{13} + 7296716043 T^{14} - 25215406032 T^{15} + 86612852927 T^{16} - 289891760870 T^{17} + 86612852927 p T^{18} - 25215406032 p^{2} T^{19} + 7296716043 p^{3} T^{20} - 2096113716 p^{4} T^{21} + 606786229 p^{5} T^{22} - 174558462 p^{6} T^{23} + 4527393 p^{8} T^{24} - 13744558 p^{8} T^{25} + 331275 p^{10} T^{26} - 82224 p^{11} T^{27} + 1728 p^{13} T^{28} - 43620 p^{12} T^{29} + 8153 p^{13} T^{30} - 1291 p^{14} T^{31} + 170 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 4 T + 6 p T^{2} + 223 T^{3} + 3079 T^{4} + 6842 T^{5} + 85388 T^{6} + 152480 T^{7} + 1886309 T^{8} + 2848946 T^{9} + 35748879 T^{10} + 48998116 T^{11} + 605786985 T^{12} + 804203990 T^{13} + 721586433 p T^{14} + 12353213880 T^{15} + 133189163825 T^{16} + 170589241856 T^{17} + 133189163825 p T^{18} + 12353213880 p^{2} T^{19} + 721586433 p^{4} T^{20} + 804203990 p^{4} T^{21} + 605786985 p^{5} T^{22} + 48998116 p^{6} T^{23} + 35748879 p^{7} T^{24} + 2848946 p^{8} T^{25} + 1886309 p^{9} T^{26} + 152480 p^{10} T^{27} + 85388 p^{11} T^{28} + 6842 p^{12} T^{29} + 3079 p^{13} T^{30} + 223 p^{14} T^{31} + 6 p^{16} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 24 T + 369 T^{2} - 4212 T^{3} + 40104 T^{4} - 330472 T^{5} + 2445464 T^{6} - 16509820 T^{7} + 103462252 T^{8} - 606983152 T^{9} + 3366289324 T^{10} - 17736756564 T^{11} + 89321973576 T^{12} - 431254643864 T^{13} + 2004165521144 T^{14} - 8981368416700 T^{15} + 38909453395142 T^{16} - 163040966186224 T^{17} + 38909453395142 p T^{18} - 8981368416700 p^{2} T^{19} + 2004165521144 p^{3} T^{20} - 431254643864 p^{4} T^{21} + 89321973576 p^{5} T^{22} - 17736756564 p^{6} T^{23} + 3366289324 p^{7} T^{24} - 606983152 p^{8} T^{25} + 103462252 p^{9} T^{26} - 16509820 p^{10} T^{27} + 2445464 p^{11} T^{28} - 330472 p^{12} T^{29} + 40104 p^{13} T^{30} - 4212 p^{14} T^{31} + 369 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 3 T + 135 T^{2} + 479 T^{3} + 9779 T^{4} + 37603 T^{5} + 505273 T^{6} + 1989512 T^{7} + 20634654 T^{8} + 80315592 T^{9} + 698255462 T^{10} + 2633251280 T^{11} + 20088040334 T^{12} + 72570556464 T^{13} + 499251232884 T^{14} + 1712963515906 T^{15} + 10824096106920 T^{16} + 34954620701426 T^{17} + 10824096106920 p T^{18} + 1712963515906 p^{2} T^{19} + 499251232884 p^{3} T^{20} + 72570556464 p^{4} T^{21} + 20088040334 p^{5} T^{22} + 2633251280 p^{6} T^{23} + 698255462 p^{7} T^{24} + 80315592 p^{8} T^{25} + 20634654 p^{9} T^{26} + 1989512 p^{10} T^{27} + 505273 p^{11} T^{28} + 37603 p^{12} T^{29} + 9779 p^{13} T^{30} + 479 p^{14} T^{31} + 135 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 22 T + 363 T^{2} - 4320 T^{3} + 44708 T^{4} - 397216 T^{5} + 3246868 T^{6} - 24213568 T^{7} + 170735984 T^{8} - 1129611656 T^{9} + 7164521576 T^{10} - 43236221184 T^{11} + 251881332868 T^{12} - 1406486497760 T^{13} + 7609256717780 T^{14} - 39606503650272 T^{15} + 200062440599530 T^{16} - 973740846501060 T^{17} + 200062440599530 p T^{18} - 39606503650272 p^{2} T^{19} + 7609256717780 p^{3} T^{20} - 1406486497760 p^{4} T^{21} + 251881332868 p^{5} T^{22} - 43236221184 p^{6} T^{23} + 7164521576 p^{7} T^{24} - 1129611656 p^{8} T^{25} + 170735984 p^{9} T^{26} - 24213568 p^{10} T^{27} + 3246868 p^{11} T^{28} - 397216 p^{12} T^{29} + 44708 p^{13} T^{30} - 4320 p^{14} T^{31} + 363 p^{15} T^{32} - 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - p T + 567 T^{2} - 7912 T^{3} + 91670 T^{4} - 890984 T^{5} + 7685650 T^{6} - 58872008 T^{7} + 413453050 T^{8} - 2650213996 T^{9} + 15865839998 T^{10} - 87969042680 T^{11} + 461783540622 T^{12} - 78421213240 p T^{13} + 10869786992730 T^{14} - 50534531437912 T^{15} + 244442129763340 T^{16} - 1247028840462510 T^{17} + 244442129763340 p T^{18} - 50534531437912 p^{2} T^{19} + 10869786992730 p^{3} T^{20} - 78421213240 p^{5} T^{21} + 461783540622 p^{5} T^{22} - 87969042680 p^{6} T^{23} + 15865839998 p^{7} T^{24} - 2650213996 p^{8} T^{25} + 413453050 p^{9} T^{26} - 58872008 p^{10} T^{27} + 7685650 p^{11} T^{28} - 890984 p^{12} T^{29} + 91670 p^{13} T^{30} - 7912 p^{14} T^{31} + 567 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 11 T + 229 T^{2} + 2080 T^{3} + 24334 T^{4} + 180248 T^{5} + 1579502 T^{6} + 9784560 T^{7} + 72181458 T^{8} + 392752436 T^{9} + 2670847618 T^{10} + 13575687024 T^{11} + 92148475414 T^{12} + 461421576104 T^{13} + 3181908528054 T^{14} + 15790441479040 T^{15} + 106835415577204 T^{16} + 16502777122750 p T^{17} + 106835415577204 p T^{18} + 15790441479040 p^{2} T^{19} + 3181908528054 p^{3} T^{20} + 461421576104 p^{4} T^{21} + 92148475414 p^{5} T^{22} + 13575687024 p^{6} T^{23} + 2670847618 p^{7} T^{24} + 392752436 p^{8} T^{25} + 72181458 p^{9} T^{26} + 9784560 p^{10} T^{27} + 1579502 p^{11} T^{28} + 180248 p^{12} T^{29} + 24334 p^{13} T^{30} + 2080 p^{14} T^{31} + 229 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 8 T + 265 T^{2} - 1824 T^{3} + 35164 T^{4} - 228912 T^{5} + 3310084 T^{6} - 21156448 T^{7} + 247788680 T^{8} - 1551891328 T^{9} + 15413866080 T^{10} - 94315402784 T^{11} + 824511241596 T^{12} - 4904967514832 T^{13} + 38692128648772 T^{14} - 221242541210208 T^{15} + 1606465040978754 T^{16} - 8729464297742064 T^{17} + 1606465040978754 p T^{18} - 221242541210208 p^{2} T^{19} + 38692128648772 p^{3} T^{20} - 4904967514832 p^{4} T^{21} + 824511241596 p^{5} T^{22} - 94315402784 p^{6} T^{23} + 15413866080 p^{7} T^{24} - 1551891328 p^{8} T^{25} + 247788680 p^{9} T^{26} - 21156448 p^{10} T^{27} + 3310084 p^{11} T^{28} - 228912 p^{12} T^{29} + 35164 p^{13} T^{30} - 1824 p^{14} T^{31} + 265 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 21 T + 513 T^{2} - 7808 T^{3} + 118692 T^{4} - 1460248 T^{5} + 17348148 T^{6} - 182250336 T^{7} + 1836481068 T^{8} - 17018260876 T^{9} + 151435356828 T^{10} - 1263867748448 T^{11} + 10163197385484 T^{12} - 77457302362536 T^{13} + 570758440533404 T^{14} - 4007921275001792 T^{15} + 27277734445152766 T^{16} - 177337121784808894 T^{17} + 27277734445152766 p T^{18} - 4007921275001792 p^{2} T^{19} + 570758440533404 p^{3} T^{20} - 77457302362536 p^{4} T^{21} + 10163197385484 p^{5} T^{22} - 1263867748448 p^{6} T^{23} + 151435356828 p^{7} T^{24} - 17018260876 p^{8} T^{25} + 1836481068 p^{9} T^{26} - 182250336 p^{10} T^{27} + 17348148 p^{11} T^{28} - 1460248 p^{12} T^{29} + 118692 p^{13} T^{30} - 7808 p^{14} T^{31} + 513 p^{15} T^{32} - 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 5 T + 337 T^{2} + 1504 T^{3} + 54578 T^{4} + 215072 T^{5} + 5779602 T^{6} + 20189376 T^{7} + 464455586 T^{8} + 1464555804 T^{9} + 31067144586 T^{10} + 89742862464 T^{11} + 1815614133394 T^{12} + 4791374476064 T^{13} + 94505127955586 T^{14} + 227482542726624 T^{15} + 4441723726240332 T^{16} + 10019045214001406 T^{17} + 4441723726240332 p T^{18} + 227482542726624 p^{2} T^{19} + 94505127955586 p^{3} T^{20} + 4791374476064 p^{4} T^{21} + 1815614133394 p^{5} T^{22} + 89742862464 p^{6} T^{23} + 31067144586 p^{7} T^{24} + 1464555804 p^{8} T^{25} + 464455586 p^{9} T^{26} + 20189376 p^{10} T^{27} + 5779602 p^{11} T^{28} + 215072 p^{12} T^{29} + 54578 p^{13} T^{30} + 1504 p^{14} T^{31} + 337 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 10 T + 463 T^{2} - 4140 T^{3} + 104976 T^{4} - 867576 T^{5} + 15696624 T^{6} - 122159684 T^{7} + 1748008364 T^{8} - 12931890536 T^{9} + 154825321172 T^{10} - 1092276397996 T^{11} + 11358361877680 T^{12} - 76308684270856 T^{13} + 708625116524368 T^{14} - 4510538425631460 T^{15} + 38219083535983878 T^{16} - 228507086966230812 T^{17} + 38219083535983878 p T^{18} - 4510538425631460 p^{2} T^{19} + 708625116524368 p^{3} T^{20} - 76308684270856 p^{4} T^{21} + 11358361877680 p^{5} T^{22} - 1092276397996 p^{6} T^{23} + 154825321172 p^{7} T^{24} - 12931890536 p^{8} T^{25} + 1748008364 p^{9} T^{26} - 122159684 p^{10} T^{27} + 15696624 p^{11} T^{28} - 867576 p^{12} T^{29} + 104976 p^{13} T^{30} - 4140 p^{14} T^{31} + 463 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 43 T + 1467 T^{2} - 35161 T^{3} + 729191 T^{4} - 12651127 T^{5} + 197709593 T^{6} - 2743044708 T^{7} + 662004470 p T^{8} - 410327197132 T^{9} + 4491721058150 T^{10} - 45748457243228 T^{11} + 440742520821830 T^{12} - 3995036638406064 T^{13} + 34497572742765498 T^{14} - 282204088139240242 T^{15} + 2208435639380865890 T^{16} - 16426649187021585482 T^{17} + 2208435639380865890 p T^{18} - 282204088139240242 p^{2} T^{19} + 34497572742765498 p^{3} T^{20} - 3995036638406064 p^{4} T^{21} + 440742520821830 p^{5} T^{22} - 45748457243228 p^{6} T^{23} + 4491721058150 p^{7} T^{24} - 410327197132 p^{8} T^{25} + 662004470 p^{10} T^{26} - 2743044708 p^{10} T^{27} + 197709593 p^{11} T^{28} - 12651127 p^{12} T^{29} + 729191 p^{13} T^{30} - 35161 p^{14} T^{31} + 1467 p^{15} T^{32} - 43 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 30 T + 787 T^{2} - 14732 T^{3} + 241272 T^{4} - 3362968 T^{5} + 42374520 T^{6} - 479884612 T^{7} + 5050015236 T^{8} - 49376539544 T^{9} + 460181343164 T^{10} - 4103172573516 T^{11} + 35700923979576 T^{12} - 303141543859688 T^{13} + 2537508734667384 T^{14} - 20758019329509028 T^{15} + 166431874479578046 T^{16} - 1294733657380137236 T^{17} + 166431874479578046 p T^{18} - 20758019329509028 p^{2} T^{19} + 2537508734667384 p^{3} T^{20} - 303141543859688 p^{4} T^{21} + 35700923979576 p^{5} T^{22} - 4103172573516 p^{6} T^{23} + 460181343164 p^{7} T^{24} - 49376539544 p^{8} T^{25} + 5050015236 p^{9} T^{26} - 479884612 p^{10} T^{27} + 42374520 p^{11} T^{28} - 3362968 p^{12} T^{29} + 241272 p^{13} T^{30} - 14732 p^{14} T^{31} + 787 p^{15} T^{32} - 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 14 T + 661 T^{2} - 7916 T^{3} + 203400 T^{4} - 2132408 T^{5} + 39267576 T^{6} - 365687396 T^{7} + 5389788948 T^{8} - 44997835544 T^{9} + 565097041044 T^{10} - 4263310268268 T^{11} + 47761074072968 T^{12} - 329758867630536 T^{13} + 3433683914602936 T^{14} - 22193265281323396 T^{15} + 222486823593173326 T^{16} - 1385207603309914932 T^{17} + 222486823593173326 p T^{18} - 22193265281323396 p^{2} T^{19} + 3433683914602936 p^{3} T^{20} - 329758867630536 p^{4} T^{21} + 47761074072968 p^{5} T^{22} - 4263310268268 p^{6} T^{23} + 565097041044 p^{7} T^{24} - 44997835544 p^{8} T^{25} + 5389788948 p^{9} T^{26} - 365687396 p^{10} T^{27} + 39267576 p^{11} T^{28} - 2132408 p^{12} T^{29} + 203400 p^{13} T^{30} - 7916 p^{14} T^{31} + 661 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 43 T + 1381 T^{2} + 32009 T^{3} + 639107 T^{4} + 10911627 T^{5} + 169384703 T^{6} + 2383565048 T^{7} + 31307611348 T^{8} + 382850624024 T^{9} + 4429956725196 T^{10} + 48386036102648 T^{11} + 503980803161364 T^{12} + 4994671622439512 T^{13} + 47427556296573802 T^{14} + 430440636313680810 T^{15} + 3752443841471160850 T^{16} + 31327865184482469862 T^{17} + 3752443841471160850 p T^{18} + 430440636313680810 p^{2} T^{19} + 47427556296573802 p^{3} T^{20} + 4994671622439512 p^{4} T^{21} + 503980803161364 p^{5} T^{22} + 48386036102648 p^{6} T^{23} + 4429956725196 p^{7} T^{24} + 382850624024 p^{8} T^{25} + 31307611348 p^{9} T^{26} + 2383565048 p^{10} T^{27} + 169384703 p^{11} T^{28} + 10911627 p^{12} T^{29} + 639107 p^{13} T^{30} + 32009 p^{14} T^{31} + 1381 p^{15} T^{32} + 43 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 26 T + 1043 T^{2} - 20900 T^{3} + 489404 T^{4} - 8072776 T^{5} + 141686812 T^{6} - 2000668204 T^{7} + 28891028696 T^{8} - 358341411784 T^{9} + 4464896921616 T^{10} - 49537931105764 T^{11} + 547887121429260 T^{12} - 5509897272979384 T^{13} + 55082348246810348 T^{14} - 506677207604405964 T^{15} + 4630068446905802978 T^{16} - 39143280420719769916 T^{17} + 4630068446905802978 p T^{18} - 506677207604405964 p^{2} T^{19} + 55082348246810348 p^{3} T^{20} - 5509897272979384 p^{4} T^{21} + 547887121429260 p^{5} T^{22} - 49537931105764 p^{6} T^{23} + 4464896921616 p^{7} T^{24} - 358341411784 p^{8} T^{25} + 28891028696 p^{9} T^{26} - 2000668204 p^{10} T^{27} + 141686812 p^{11} T^{28} - 8072776 p^{12} T^{29} + 489404 p^{13} T^{30} - 20900 p^{14} T^{31} + 1043 p^{15} T^{32} - 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 14 T + 773 T^{2} - 10312 T^{3} + 300900 T^{4} - 3812544 T^{5} + 78166284 T^{6} - 935471000 T^{7} + 15128974912 T^{8} - 170067016744 T^{9} + 2308315378632 T^{10} - 24252114549000 T^{11} + 286766685766564 T^{12} - 2803457913576384 T^{13} + 29571510693861932 T^{14} - 267813477156567576 T^{15} + 2559249341102110298 T^{16} - 21361195701241921940 T^{17} + 2559249341102110298 p T^{18} - 267813477156567576 p^{2} T^{19} + 29571510693861932 p^{3} T^{20} - 2803457913576384 p^{4} T^{21} + 286766685766564 p^{5} T^{22} - 24252114549000 p^{6} T^{23} + 2308315378632 p^{7} T^{24} - 170067016744 p^{8} T^{25} + 15128974912 p^{9} T^{26} - 935471000 p^{10} T^{27} + 78166284 p^{11} T^{28} - 3812544 p^{12} T^{29} + 300900 p^{13} T^{30} - 10312 p^{14} T^{31} + 773 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 7 T + 763 T^{2} + 6311 T^{3} + 287627 T^{4} + 2670959 T^{5} + 71942205 T^{6} + 716379448 T^{7} + 13483790638 T^{8} + 138430728176 T^{9} + 2018861546118 T^{10} + 20731587900944 T^{11} + 250611933191694 T^{12} + 2518493885215368 T^{13} + 26407819408914316 T^{14} + 255129223927644106 T^{15} + 2399326919352457056 T^{16} + 21865041384245299698 T^{17} + 2399326919352457056 p T^{18} + 255129223927644106 p^{2} T^{19} + 26407819408914316 p^{3} T^{20} + 2518493885215368 p^{4} T^{21} + 250611933191694 p^{5} T^{22} + 20731587900944 p^{6} T^{23} + 2018861546118 p^{7} T^{24} + 138430728176 p^{8} T^{25} + 13483790638 p^{9} T^{26} + 716379448 p^{10} T^{27} + 71942205 p^{11} T^{28} + 2670959 p^{12} T^{29} + 287627 p^{13} T^{30} + 6311 p^{14} T^{31} + 763 p^{15} T^{32} + 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 14 T + 743 T^{2} - 9044 T^{3} + 269444 T^{4} - 2984120 T^{5} + 65323444 T^{6} - 677751260 T^{7} + 12054127440 T^{8} - 118948109336 T^{9} + 1807564437640 T^{10} - 17053648720596 T^{11} + 228396713123764 T^{12} - 2058146122126536 T^{13} + 24840458075800740 T^{14} - 212638403661469372 T^{15} + 2353661623982237178 T^{16} - 18968656861428310836 T^{17} + 2353661623982237178 p T^{18} - 212638403661469372 p^{2} T^{19} + 24840458075800740 p^{3} T^{20} - 2058146122126536 p^{4} T^{21} + 228396713123764 p^{5} T^{22} - 17053648720596 p^{6} T^{23} + 1807564437640 p^{7} T^{24} - 118948109336 p^{8} T^{25} + 12054127440 p^{9} T^{26} - 677751260 p^{10} T^{27} + 65323444 p^{11} T^{28} - 2984120 p^{12} T^{29} + 269444 p^{13} T^{30} - 9044 p^{14} T^{31} + 743 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 53 T + 2287 T^{2} - 68240 T^{3} + 1779334 T^{4} - 38422488 T^{5} + 751413586 T^{6} - 12940214256 T^{7} + 206215037710 T^{8} - 2983339403276 T^{9} + 40552267744978 T^{10} - 510064908615248 T^{11} + 6104957090502454 T^{12} - 68598120458447848 T^{13} + 742063016173929682 T^{14} - 7624273112351081776 T^{15} + 76125044601135301576 T^{16} - \)\(72\!\cdots\!14\)\( T^{17} + 76125044601135301576 p T^{18} - 7624273112351081776 p^{2} T^{19} + 742063016173929682 p^{3} T^{20} - 68598120458447848 p^{4} T^{21} + 6104957090502454 p^{5} T^{22} - 510064908615248 p^{6} T^{23} + 40552267744978 p^{7} T^{24} - 2983339403276 p^{8} T^{25} + 206215037710 p^{9} T^{26} - 12940214256 p^{10} T^{27} + 751413586 p^{11} T^{28} - 38422488 p^{12} T^{29} + 1779334 p^{13} T^{30} - 68240 p^{14} T^{31} + 2287 p^{15} T^{32} - 53 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 26 T + 1121 T^{2} + 22716 T^{3} + 589320 T^{4} + 9992904 T^{5} + 198519080 T^{6} + 2935213076 T^{7} + 48856719580 T^{8} + 646458847368 T^{9} + 9432998747868 T^{10} + 113591336360540 T^{11} + 1490958163321432 T^{12} + 16510023300593464 T^{13} + 197917978412692472 T^{14} + 2026780813935453908 T^{15} + 22386059248316476230 T^{16} + \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{17} + 22386059248316476230 p T^{18} + 2026780813935453908 p^{2} T^{19} + 197917978412692472 p^{3} T^{20} + 16510023300593464 p^{4} T^{21} + 1490958163321432 p^{5} T^{22} + 113591336360540 p^{6} T^{23} + 9432998747868 p^{7} T^{24} + 646458847368 p^{8} T^{25} + 48856719580 p^{9} T^{26} + 2935213076 p^{10} T^{27} + 198519080 p^{11} T^{28} + 9992904 p^{12} T^{29} + 589320 p^{13} T^{30} + 22716 p^{14} T^{31} + 1121 p^{15} T^{32} + 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.49662773325768189412963569948, −2.48348254116910017310983032827, −2.35449183661676446578306763722, −2.23525516508617683842873514537, −2.14979178362485379037421715473, −2.11769091868562361744402885012, −2.08035701965502944169910396914, −1.82189515703149445424578683803, −1.80513493527577457070642852430, −1.71731184981328604789032705313, −1.57536948502441998958431853337, −1.46906762400417297208780533894, −1.39377848639679527232029774457, −1.35756827630351767559621406702, −1.24678262353373609881669736495, −1.02277802568509018802262974440, −1.00543325536217220383844206307, −0.994761087259752558762391525402, −0.965679648922394273715104905071, −0.906956064209996380406004567869, −0.59040441197571535896932838801, −0.58308602253776072284609205821, −0.51803311420286280639642934294, −0.47502425962770159351731679654, −0.43602361013364794817691894486, 0.43602361013364794817691894486, 0.47502425962770159351731679654, 0.51803311420286280639642934294, 0.58308602253776072284609205821, 0.59040441197571535896932838801, 0.906956064209996380406004567869, 0.965679648922394273715104905071, 0.994761087259752558762391525402, 1.00543325536217220383844206307, 1.02277802568509018802262974440, 1.24678262353373609881669736495, 1.35756827630351767559621406702, 1.39377848639679527232029774457, 1.46906762400417297208780533894, 1.57536948502441998958431853337, 1.71731184981328604789032705313, 1.80513493527577457070642852430, 1.82189515703149445424578683803, 2.08035701965502944169910396914, 2.11769091868562361744402885012, 2.14979178362485379037421715473, 2.23525516508617683842873514537, 2.35449183661676446578306763722, 2.48348254116910017310983032827, 2.49662773325768189412963569948
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.