Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2-s + 17·3-s − 6·4-s + 4·5-s − 17·6-s + 16·7-s + 6·8-s + 153·9-s − 4·10-s + 5·11-s − 102·12-s + 17·13-s − 16·14-s + 68·15-s + 16·16-s − 153·18-s + 31·19-s − 24·20-s + 272·21-s − 5·22-s + 6·23-s + 102·24-s − 16·25-s − 17·26-s + 969·27-s − 96·28-s − 4·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.707·2-s + 9.81·3-s − 3·4-s + 1.78·5-s − 6.94·6-s + 6.04·7-s + 2.12·8-s + 51·9-s − 1.26·10-s + 1.50·11-s − 29.4·12-s + 4.71·13-s − 4.27·14-s + 17.5·15-s + 4·16-s − 36.0·18-s + 7.11·19-s − 5.36·20-s + 59.3·21-s − 1.06·22-s + 1.25·23-s + 20.8·24-s − 3.19·25-s − 3.33·26-s + 186.·27-s − 18.1·28-s − 0.742·29-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 271^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 271^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{17} \cdot 271^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(6.46026\times 10^{13}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.54790\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{17} \cdot 271^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(28459.06183\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(28459.06183\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 271 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 + T + 7 T^{2} + 7 T^{3} + 27 T^{4} + 7 p^{2} T^{5} + 85 T^{6} + 23 p^{2} T^{7} + 61 p^{2} T^{8} + 65 p^{2} T^{9} + 309 p T^{10} + 629 T^{11} + 1369 T^{12} + 1379 T^{13} + 2877 T^{14} + 2941 T^{15} + 2995 p T^{16} + 6061 T^{17} + 2995 p^{2} T^{18} + 2941 p^{2} T^{19} + 2877 p^{3} T^{20} + 1379 p^{4} T^{21} + 1369 p^{5} T^{22} + 629 p^{6} T^{23} + 309 p^{8} T^{24} + 65 p^{10} T^{25} + 61 p^{11} T^{26} + 23 p^{12} T^{27} + 85 p^{11} T^{28} + 7 p^{14} T^{29} + 27 p^{13} T^{30} + 7 p^{14} T^{31} + 7 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 - 4 T + 32 T^{2} - 103 T^{3} + 522 T^{4} - 1481 T^{5} + 5818 T^{6} - 14697 T^{7} + 9772 p T^{8} - 110721 T^{9} + 326338 T^{10} - 661996 T^{11} + 1807943 T^{12} - 3307806 T^{13} + 8801956 T^{14} - 598142 p^{2} T^{15} + 41357346 T^{16} - 70400052 T^{17} + 41357346 p T^{18} - 598142 p^{4} T^{19} + 8801956 p^{3} T^{20} - 3307806 p^{4} T^{21} + 1807943 p^{5} T^{22} - 661996 p^{6} T^{23} + 326338 p^{7} T^{24} - 110721 p^{8} T^{25} + 9772 p^{10} T^{26} - 14697 p^{10} T^{27} + 5818 p^{11} T^{28} - 1481 p^{12} T^{29} + 522 p^{13} T^{30} - 103 p^{14} T^{31} + 32 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - 16 T + 163 T^{2} - 1220 T^{3} + 7456 T^{4} - 38536 T^{5} + 173868 T^{6} - 694420 T^{7} + 2486028 T^{8} - 1143984 p T^{9} + 23242683 T^{10} - 1231128 p^{2} T^{11} + 137743049 T^{12} - 265041160 T^{13} + 382953524 T^{14} - 209292124 T^{15} - 963456412 T^{16} + 4014967416 T^{17} - 963456412 p T^{18} - 209292124 p^{2} T^{19} + 382953524 p^{3} T^{20} - 265041160 p^{4} T^{21} + 137743049 p^{5} T^{22} - 1231128 p^{8} T^{23} + 23242683 p^{7} T^{24} - 1143984 p^{9} T^{25} + 2486028 p^{9} T^{26} - 694420 p^{10} T^{27} + 173868 p^{11} T^{28} - 38536 p^{12} T^{29} + 7456 p^{13} T^{30} - 1220 p^{14} T^{31} + 163 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 5 T + 114 T^{2} - 569 T^{3} + 6691 T^{4} - 32023 T^{5} + 264769 T^{6} - 1190181 T^{7} + 7824249 T^{8} - 32742773 T^{9} + 182017108 T^{10} - 706379137 T^{11} + 3438514367 T^{12} - 12345451374 T^{13} + 53755759542 T^{14} - 178114324494 T^{15} + 703137653184 T^{16} - 2142454477764 T^{17} + 703137653184 p T^{18} - 178114324494 p^{2} T^{19} + 53755759542 p^{3} T^{20} - 12345451374 p^{4} T^{21} + 3438514367 p^{5} T^{22} - 706379137 p^{6} T^{23} + 182017108 p^{7} T^{24} - 32742773 p^{8} T^{25} + 7824249 p^{9} T^{26} - 1190181 p^{10} T^{27} + 264769 p^{11} T^{28} - 32023 p^{12} T^{29} + 6691 p^{13} T^{30} - 569 p^{14} T^{31} + 114 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 17 T + 249 T^{2} - 2516 T^{3} + 22877 T^{4} - 173416 T^{5} + 1216049 T^{6} - 7585404 T^{7} + 44559274 T^{8} - 240331964 T^{9} + 1235395914 T^{10} - 5935431540 T^{11} + 27386682107 T^{12} - 119312660696 T^{13} + 501354298583 T^{14} - 1999671134716 T^{15} + 7707924037286 T^{16} - 28262548330790 T^{17} + 7707924037286 p T^{18} - 1999671134716 p^{2} T^{19} + 501354298583 p^{3} T^{20} - 119312660696 p^{4} T^{21} + 27386682107 p^{5} T^{22} - 5935431540 p^{6} T^{23} + 1235395914 p^{7} T^{24} - 240331964 p^{8} T^{25} + 44559274 p^{9} T^{26} - 7585404 p^{10} T^{27} + 1216049 p^{11} T^{28} - 173416 p^{12} T^{29} + 22877 p^{13} T^{30} - 2516 p^{14} T^{31} + 249 p^{15} T^{32} - 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 132 T^{2} - 77 T^{3} + 8802 T^{4} - 501 p T^{5} + 398088 T^{6} - 477349 T^{7} + 13687830 T^{8} - 18307943 T^{9} + 380827974 T^{10} - 540243296 T^{11} + 8966191667 T^{12} - 13064586930 T^{13} + 185068223616 T^{14} - 269978697940 T^{15} + 3439793391970 T^{16} - 4885750420984 T^{17} + 3439793391970 p T^{18} - 269978697940 p^{2} T^{19} + 185068223616 p^{3} T^{20} - 13064586930 p^{4} T^{21} + 8966191667 p^{5} T^{22} - 540243296 p^{6} T^{23} + 380827974 p^{7} T^{24} - 18307943 p^{8} T^{25} + 13687830 p^{9} T^{26} - 477349 p^{10} T^{27} + 398088 p^{11} T^{28} - 501 p^{13} T^{29} + 8802 p^{13} T^{30} - 77 p^{14} T^{31} + 132 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 31 T + 636 T^{2} - 9693 T^{3} + 122584 T^{4} - 1329436 T^{5} + 12786431 T^{6} - 110725043 T^{7} + 876549212 T^{8} - 6396239036 T^{9} + 43379530094 T^{10} - 274764747569 T^{11} + 1633321440129 T^{12} - 9138072413156 T^{13} + 48258205986950 T^{14} - 240920434838543 T^{15} + 1138791420822341 T^{16} - 5098901687789450 T^{17} + 1138791420822341 p T^{18} - 240920434838543 p^{2} T^{19} + 48258205986950 p^{3} T^{20} - 9138072413156 p^{4} T^{21} + 1633321440129 p^{5} T^{22} - 274764747569 p^{6} T^{23} + 43379530094 p^{7} T^{24} - 6396239036 p^{8} T^{25} + 876549212 p^{9} T^{26} - 110725043 p^{10} T^{27} + 12786431 p^{11} T^{28} - 1329436 p^{12} T^{29} + 122584 p^{13} T^{30} - 9693 p^{14} T^{31} + 636 p^{15} T^{32} - 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 6 T + 225 T^{2} - 1248 T^{3} + 26007 T^{4} - 134562 T^{5} + 2024985 T^{6} - 9839744 T^{7} + 118389772 T^{8} - 541754140 T^{9} + 5497393040 T^{10} - 23687429056 T^{11} + 209512040161 T^{12} - 847658785342 T^{13} + 6684449560447 T^{14} - 25263658435808 T^{15} + 180596628423260 T^{16} - 632879801180028 T^{17} + 180596628423260 p T^{18} - 25263658435808 p^{2} T^{19} + 6684449560447 p^{3} T^{20} - 847658785342 p^{4} T^{21} + 209512040161 p^{5} T^{22} - 23687429056 p^{6} T^{23} + 5497393040 p^{7} T^{24} - 541754140 p^{8} T^{25} + 118389772 p^{9} T^{26} - 9839744 p^{10} T^{27} + 2024985 p^{11} T^{28} - 134562 p^{12} T^{29} + 26007 p^{13} T^{30} - 1248 p^{14} T^{31} + 225 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 4 T + 219 T^{2} + 1022 T^{3} + 24798 T^{4} + 121928 T^{5} + 1931757 T^{6} + 329032 p T^{7} + 115735995 T^{8} + 565889764 T^{9} + 5690887575 T^{10} + 27396012628 T^{11} + 239570281185 T^{12} + 1127134207016 T^{13} + 8840225147024 T^{14} + 40162971726230 T^{15} + 9958360274370 p T^{16} + 1247089714755024 T^{17} + 9958360274370 p^{2} T^{18} + 40162971726230 p^{2} T^{19} + 8840225147024 p^{3} T^{20} + 1127134207016 p^{4} T^{21} + 239570281185 p^{5} T^{22} + 27396012628 p^{6} T^{23} + 5690887575 p^{7} T^{24} + 565889764 p^{8} T^{25} + 115735995 p^{9} T^{26} + 329032 p^{11} T^{27} + 1931757 p^{11} T^{28} + 121928 p^{12} T^{29} + 24798 p^{13} T^{30} + 1022 p^{14} T^{31} + 219 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 24 T + 506 T^{2} - 7376 T^{3} + 98795 T^{4} - 1109092 T^{5} + 11707292 T^{6} - 110341576 T^{7} + 990074207 T^{8} - 8167924376 T^{9} + 64643371622 T^{10} - 477886044052 T^{11} + 3405396521253 T^{12} - 22872954901332 T^{13} + 148526034617312 T^{14} - 913692667829780 T^{15} + 5442939851406572 T^{16} - 30788184976254128 T^{17} + 5442939851406572 p T^{18} - 913692667829780 p^{2} T^{19} + 148526034617312 p^{3} T^{20} - 22872954901332 p^{4} T^{21} + 3405396521253 p^{5} T^{22} - 477886044052 p^{6} T^{23} + 64643371622 p^{7} T^{24} - 8167924376 p^{8} T^{25} + 990074207 p^{9} T^{26} - 110341576 p^{10} T^{27} + 11707292 p^{11} T^{28} - 1109092 p^{12} T^{29} + 98795 p^{13} T^{30} - 7376 p^{14} T^{31} + 506 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 14 T + 295 T^{2} - 2801 T^{3} + 38054 T^{4} - 298342 T^{5} + 3323365 T^{6} - 607866 p T^{7} + 217481938 T^{8} - 1274362989 T^{9} + 11297863927 T^{10} - 58182039636 T^{11} + 494559567877 T^{12} - 2241669060682 T^{13} + 19065245248174 T^{14} - 78479039842700 T^{15} + 701188542340420 T^{16} - 2810977888642886 T^{17} + 701188542340420 p T^{18} - 78479039842700 p^{2} T^{19} + 19065245248174 p^{3} T^{20} - 2241669060682 p^{4} T^{21} + 494559567877 p^{5} T^{22} - 58182039636 p^{6} T^{23} + 11297863927 p^{7} T^{24} - 1274362989 p^{8} T^{25} + 217481938 p^{9} T^{26} - 607866 p^{11} T^{27} + 3323365 p^{11} T^{28} - 298342 p^{12} T^{29} + 38054 p^{13} T^{30} - 2801 p^{14} T^{31} + 295 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 18 T + 395 T^{2} + 5110 T^{3} + 67800 T^{4} + 687444 T^{5} + 6864156 T^{6} + 56641420 T^{7} + 452228256 T^{8} + 3024930764 T^{9} + 19082724529 T^{10} + 93369692656 T^{11} + 368288938109 T^{12} + 200915624 T^{13} - 13182626026634 T^{14} - 176504635941972 T^{15} - 1433039176158872 T^{16} - 10402849641270024 T^{17} - 1433039176158872 p T^{18} - 176504635941972 p^{2} T^{19} - 13182626026634 p^{3} T^{20} + 200915624 p^{4} T^{21} + 368288938109 p^{5} T^{22} + 93369692656 p^{6} T^{23} + 19082724529 p^{7} T^{24} + 3024930764 p^{8} T^{25} + 452228256 p^{9} T^{26} + 56641420 p^{10} T^{27} + 6864156 p^{11} T^{28} + 687444 p^{12} T^{29} + 67800 p^{13} T^{30} + 5110 p^{14} T^{31} + 395 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 29 T + 652 T^{2} - 10139 T^{3} + 132208 T^{4} - 1412940 T^{5} + 13276011 T^{6} - 110393193 T^{7} + 865110800 T^{8} - 6605241828 T^{9} + 51898099418 T^{10} - 413010558139 T^{11} + 3271488030733 T^{12} - 24539787587700 T^{13} + 173847345762262 T^{14} - 1156353486300977 T^{15} + 7509818704776269 T^{16} - 48636730091523262 T^{17} + 7509818704776269 p T^{18} - 1156353486300977 p^{2} T^{19} + 173847345762262 p^{3} T^{20} - 24539787587700 p^{4} T^{21} + 3271488030733 p^{5} T^{22} - 413010558139 p^{6} T^{23} + 51898099418 p^{7} T^{24} - 6605241828 p^{8} T^{25} + 865110800 p^{9} T^{26} - 110393193 p^{10} T^{27} + 13276011 p^{11} T^{28} - 1412940 p^{12} T^{29} + 132208 p^{13} T^{30} - 10139 p^{14} T^{31} + 652 p^{15} T^{32} - 29 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 11 T + 580 T^{2} - 5981 T^{3} + 163362 T^{4} - 1562516 T^{5} + 29650428 T^{6} - 261551839 T^{7} + 3888747431 T^{8} - 31569885260 T^{9} + 392406883103 T^{10} - 2932292778389 T^{11} + 31706054105968 T^{12} - 218338287258860 T^{13} + 2107442231378838 T^{14} - 13384728801926639 T^{15} + 117272282375359147 T^{16} - 686145082951946066 T^{17} + 117272282375359147 p T^{18} - 13384728801926639 p^{2} T^{19} + 2107442231378838 p^{3} T^{20} - 218338287258860 p^{4} T^{21} + 31706054105968 p^{5} T^{22} - 2932292778389 p^{6} T^{23} + 392406883103 p^{7} T^{24} - 31569885260 p^{8} T^{25} + 3888747431 p^{9} T^{26} - 261551839 p^{10} T^{27} + 29650428 p^{11} T^{28} - 1562516 p^{12} T^{29} + 163362 p^{13} T^{30} - 5981 p^{14} T^{31} + 580 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + T + 230 T^{2} + 1255 T^{3} + 36726 T^{4} + 235614 T^{5} + 4645374 T^{6} + 34037574 T^{7} + 461062516 T^{8} + 3655593371 T^{9} + 40385554020 T^{10} + 322887507351 T^{11} + 2998982229943 T^{12} + 24424168602026 T^{13} + 200377552347546 T^{14} + 1573552519891250 T^{15} + 11821194408946856 T^{16} + 89887285803972436 T^{17} + 11821194408946856 p T^{18} + 1573552519891250 p^{2} T^{19} + 200377552347546 p^{3} T^{20} + 24424168602026 p^{4} T^{21} + 2998982229943 p^{5} T^{22} + 322887507351 p^{6} T^{23} + 40385554020 p^{7} T^{24} + 3655593371 p^{8} T^{25} + 461062516 p^{9} T^{26} + 34037574 p^{10} T^{27} + 4645374 p^{11} T^{28} + 235614 p^{12} T^{29} + 36726 p^{13} T^{30} + 1255 p^{14} T^{31} + 230 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 6 T + 600 T^{2} + 3906 T^{3} + 179630 T^{4} + 1225886 T^{5} + 35838284 T^{6} + 249393726 T^{7} + 90694941 p T^{8} + 37104802756 T^{9} + 634790046731 T^{10} + 72886925694 p T^{11} + 61893849814056 T^{12} + 402596407155298 T^{13} + 5058672703986530 T^{14} + 31100273331826774 T^{15} + 350410572406205335 T^{16} + 2004983524926565420 T^{17} + 350410572406205335 p T^{18} + 31100273331826774 p^{2} T^{19} + 5058672703986530 p^{3} T^{20} + 402596407155298 p^{4} T^{21} + 61893849814056 p^{5} T^{22} + 72886925694 p^{7} T^{23} + 634790046731 p^{7} T^{24} + 37104802756 p^{8} T^{25} + 90694941 p^{10} T^{26} + 249393726 p^{10} T^{27} + 35838284 p^{11} T^{28} + 1225886 p^{12} T^{29} + 179630 p^{13} T^{30} + 3906 p^{14} T^{31} + 600 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 5 T + 527 T^{2} - 1512 T^{3} + 134002 T^{4} - 174089 T^{5} + 22836793 T^{6} - 4524137 T^{7} + 2982668238 T^{8} + 1558707712 T^{9} + 318126969915 T^{10} + 304558999877 T^{11} + 28720148041371 T^{12} + 34003419652746 T^{13} + 2246469240773912 T^{14} + 2839849492425208 T^{15} + 154552301735948954 T^{16} + 191212136629006890 T^{17} + 154552301735948954 p T^{18} + 2839849492425208 p^{2} T^{19} + 2246469240773912 p^{3} T^{20} + 34003419652746 p^{4} T^{21} + 28720148041371 p^{5} T^{22} + 304558999877 p^{6} T^{23} + 318126969915 p^{7} T^{24} + 1558707712 p^{8} T^{25} + 2982668238 p^{9} T^{26} - 4524137 p^{10} T^{27} + 22836793 p^{11} T^{28} - 174089 p^{12} T^{29} + 134002 p^{13} T^{30} - 1512 p^{14} T^{31} + 527 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 57 T + 2162 T^{2} - 60143 T^{3} + 1378952 T^{4} - 26854390 T^{5} + 460847350 T^{6} - 7076516418 T^{7} + 99010156368 T^{8} - 1274453784997 T^{9} + 15262336340794 T^{10} - 171183349316179 T^{11} + 1811841637671889 T^{12} - 18176109978234960 T^{13} + 173662409755258180 T^{14} - 1583933430352682288 T^{15} + 13827561432143748512 T^{16} - \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{17} + 13827561432143748512 p T^{18} - 1583933430352682288 p^{2} T^{19} + 173662409755258180 p^{3} T^{20} - 18176109978234960 p^{4} T^{21} + 1811841637671889 p^{5} T^{22} - 171183349316179 p^{6} T^{23} + 15262336340794 p^{7} T^{24} - 1274453784997 p^{8} T^{25} + 99010156368 p^{9} T^{26} - 7076516418 p^{10} T^{27} + 460847350 p^{11} T^{28} - 26854390 p^{12} T^{29} + 1378952 p^{13} T^{30} - 60143 p^{14} T^{31} + 2162 p^{15} T^{32} - 57 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 5 T + 593 T^{2} + 3138 T^{3} + 178149 T^{4} + 1010626 T^{5} + 36301247 T^{6} + 220003054 T^{7} + 5654268108 T^{8} + 35972709344 T^{9} + 717750281728 T^{10} + 4670301578314 T^{11} + 77069716994959 T^{12} + 498569920496798 T^{13} + 7148855744671605 T^{14} + 44793806754789958 T^{15} + 578942969028660268 T^{16} + 3434561991225471606 T^{17} + 578942969028660268 p T^{18} + 44793806754789958 p^{2} T^{19} + 7148855744671605 p^{3} T^{20} + 498569920496798 p^{4} T^{21} + 77069716994959 p^{5} T^{22} + 4670301578314 p^{6} T^{23} + 717750281728 p^{7} T^{24} + 35972709344 p^{8} T^{25} + 5654268108 p^{9} T^{26} + 220003054 p^{10} T^{27} + 36301247 p^{11} T^{28} + 1010626 p^{12} T^{29} + 178149 p^{13} T^{30} + 3138 p^{14} T^{31} + 593 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 40 T + 1428 T^{2} - 33390 T^{3} + 714616 T^{4} - 12264424 T^{5} + 197708734 T^{6} - 2749164874 T^{7} + 36684569799 T^{8} - 438699274288 T^{9} + 5123083427833 T^{10} - 54854884330670 T^{11} + 580651582068350 T^{12} - 5708401140786328 T^{13} + 55855944649358844 T^{14} - 510722878964221402 T^{15} + 4661302033272894259 T^{16} - 39847418062244981840 T^{17} + 4661302033272894259 p T^{18} - 510722878964221402 p^{2} T^{19} + 55855944649358844 p^{3} T^{20} - 5708401140786328 p^{4} T^{21} + 580651582068350 p^{5} T^{22} - 54854884330670 p^{6} T^{23} + 5123083427833 p^{7} T^{24} - 438699274288 p^{8} T^{25} + 36684569799 p^{9} T^{26} - 2749164874 p^{10} T^{27} + 197708734 p^{11} T^{28} - 12264424 p^{12} T^{29} + 714616 p^{13} T^{30} - 33390 p^{14} T^{31} + 1428 p^{15} T^{32} - 40 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 2 T + 273 T^{2} + 2032 T^{3} + 58584 T^{4} + 590438 T^{5} + 9610584 T^{6} + 116033722 T^{7} + 1465690564 T^{8} + 17001875048 T^{9} + 194005790001 T^{10} + 2099883832062 T^{11} + 22632486776809 T^{12} + 224882739855712 T^{13} + 2280057609226904 T^{14} + 21447224155793780 T^{15} + 202680757131436440 T^{16} + 1801448101246979432 T^{17} + 202680757131436440 p T^{18} + 21447224155793780 p^{2} T^{19} + 2280057609226904 p^{3} T^{20} + 224882739855712 p^{4} T^{21} + 22632486776809 p^{5} T^{22} + 2099883832062 p^{6} T^{23} + 194005790001 p^{7} T^{24} + 17001875048 p^{8} T^{25} + 1465690564 p^{9} T^{26} + 116033722 p^{10} T^{27} + 9610584 p^{11} T^{28} + 590438 p^{12} T^{29} + 58584 p^{13} T^{30} + 2032 p^{14} T^{31} + 273 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 31 T + 1175 T^{2} - 25820 T^{3} + 604956 T^{4} - 10678447 T^{5} + 193589365 T^{6} - 2906882777 T^{7} + 44236982592 T^{8} - 583769916752 T^{9} + 7767987967173 T^{10} - 91948524982767 T^{11} + 1095644807452643 T^{12} - 11789298522707178 T^{13} + 127669947535428404 T^{14} - 1259298579252811948 T^{15} + 12503670178971933040 T^{16} - \)\(11\!\cdots\!24\)\( T^{17} + 12503670178971933040 p T^{18} - 1259298579252811948 p^{2} T^{19} + 127669947535428404 p^{3} T^{20} - 11789298522707178 p^{4} T^{21} + 1095644807452643 p^{5} T^{22} - 91948524982767 p^{6} T^{23} + 7767987967173 p^{7} T^{24} - 583769916752 p^{8} T^{25} + 44236982592 p^{9} T^{26} - 2906882777 p^{10} T^{27} + 193589365 p^{11} T^{28} - 10678447 p^{12} T^{29} + 604956 p^{13} T^{30} - 25820 p^{14} T^{31} + 1175 p^{15} T^{32} - 31 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 18 T + 892 T^{2} + 14079 T^{3} + 402728 T^{4} + 5693365 T^{5} + 121536388 T^{6} + 1562280779 T^{7} + 27432816434 T^{8} + 323778730765 T^{9} + 4911278793978 T^{10} + 53539942545142 T^{11} + 721690754939075 T^{12} + 7288616745433902 T^{13} + 88857297055060924 T^{14} + 831821617548240674 T^{15} + 9276320026982089008 T^{16} + 80350111065799650416 T^{17} + 9276320026982089008 p T^{18} + 831821617548240674 p^{2} T^{19} + 88857297055060924 p^{3} T^{20} + 7288616745433902 p^{4} T^{21} + 721690754939075 p^{5} T^{22} + 53539942545142 p^{6} T^{23} + 4911278793978 p^{7} T^{24} + 323778730765 p^{8} T^{25} + 27432816434 p^{9} T^{26} + 1562280779 p^{10} T^{27} + 121536388 p^{11} T^{28} + 5693365 p^{12} T^{29} + 402728 p^{13} T^{30} + 14079 p^{14} T^{31} + 892 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 42 T + 1597 T^{2} - 40289 T^{3} + 936755 T^{4} - 17805102 T^{5} + 319744375 T^{6} - 5068999971 T^{7} + 77231254586 T^{8} - 11119643988 p T^{9} + 14600384003090 T^{10} - 184685200236945 T^{11} + 2271463764440209 T^{12} - 26381345701688946 T^{13} + 298335473580756965 T^{14} - 3205307415036561515 T^{15} + 33558844363682765174 T^{16} - \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{17} + 33558844363682765174 p T^{18} - 3205307415036561515 p^{2} T^{19} + 298335473580756965 p^{3} T^{20} - 26381345701688946 p^{4} T^{21} + 2271463764440209 p^{5} T^{22} - 184685200236945 p^{6} T^{23} + 14600384003090 p^{7} T^{24} - 11119643988 p^{9} T^{25} + 77231254586 p^{9} T^{26} - 5068999971 p^{10} T^{27} + 319744375 p^{11} T^{28} - 17805102 p^{12} T^{29} + 936755 p^{13} T^{30} - 40289 p^{14} T^{31} + 1597 p^{15} T^{32} - 42 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.54631461439108621742832329470, −2.46621166647104442971470048577, −2.32405846891934600209440155042, −2.31734239313018369300255179563, −2.23053666440305852651525606362, −2.15530923734287645644123405197, −2.13182435435404338557596481824, −2.07543596796136074882239054281, −2.02681113070114934312740030113, −2.01163500001446079060841516871, −1.93391893220139835036780903626, −1.66496180679465884944408512174, −1.56553868870462014593496882420, −1.52483073937319563538433826659, −1.44455698955944344808282645279, −1.28021050900030970322505183417, −1.25021293966775147669837589632, −1.22581547854227778928443578259, −1.20573491750862831061415406155, −1.11871320129550513624859837999, −1.09581911167390655006818766206, −0.951034955331312390969703084240, −0.915660549561803902873166430927, −0.817976635487864755885974235063, −0.61918415063617222953577853091, 0.61918415063617222953577853091, 0.817976635487864755885974235063, 0.915660549561803902873166430927, 0.951034955331312390969703084240, 1.09581911167390655006818766206, 1.11871320129550513624859837999, 1.20573491750862831061415406155, 1.22581547854227778928443578259, 1.25021293966775147669837589632, 1.28021050900030970322505183417, 1.44455698955944344808282645279, 1.52483073937319563538433826659, 1.56553868870462014593496882420, 1.66496180679465884944408512174, 1.93391893220139835036780903626, 2.01163500001446079060841516871, 2.02681113070114934312740030113, 2.07543596796136074882239054281, 2.13182435435404338557596481824, 2.15530923734287645644123405197, 2.23053666440305852651525606362, 2.31734239313018369300255179563, 2.32405846891934600209440155042, 2.46621166647104442971470048577, 2.54631461439108621742832329470
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.