Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 7·2-s + 2·3-s + 19·4-s + 12·5-s + 14·6-s + 17·7-s + 20·8-s − 11·9-s + 84·10-s + 20·11-s + 38·12-s + 11·13-s + 119·14-s + 24·15-s − 16·16-s + 19·17-s − 77·18-s − 4·19-s + 228·20-s + 34·21-s + 140·22-s + 22·23-s + 40·24-s + 40·25-s + 77·26-s − 29·27-s + 323·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 4.94·2-s + 1.15·3-s + 19/2·4-s + 5.36·5-s + 5.71·6-s + 6.42·7-s + 7.07·8-s − 3.66·9-s + 26.5·10-s + 6.03·11-s + 10.9·12-s + 3.05·13-s + 31.8·14-s + 6.19·15-s − 4·16-s + 4.60·17-s − 18.1·18-s − 0.917·19-s + 50.9·20-s + 7.41·21-s + 29.8·22-s + 4.58·23-s + 8.16·24-s + 8·25-s + 15.1·26-s − 5.58·27-s + 61.0·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{17} \cdot 109^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{17} \cdot 109^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(7^{17} \cdot 109^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.19597\times 10^{13}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.46831\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 7^{17} \cdot 109^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(28872.84856\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(28872.84856\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 7 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 109 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 7 T + 15 p T^{2} - 97 T^{3} + 265 T^{4} - 637 T^{5} + 87 p^{4} T^{6} - 351 p^{3} T^{7} + 1327 p^{2} T^{8} - 4733 p T^{9} + 16055 T^{10} - 26021 T^{11} + 1269 p^{5} T^{12} - 30685 p T^{13} + 90559 T^{14} - 65611 p T^{15} + 93983 p T^{16} - 16673 p^{4} T^{17} + 93983 p^{2} T^{18} - 65611 p^{3} T^{19} + 90559 p^{3} T^{20} - 30685 p^{5} T^{21} + 1269 p^{10} T^{22} - 26021 p^{6} T^{23} + 16055 p^{7} T^{24} - 4733 p^{9} T^{25} + 1327 p^{11} T^{26} - 351 p^{13} T^{27} + 87 p^{15} T^{28} - 637 p^{12} T^{29} + 265 p^{13} T^{30} - 97 p^{14} T^{31} + 15 p^{16} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 - 2 T + 5 p T^{2} - 23 T^{3} + 41 p T^{4} - 170 T^{5} + 257 p T^{6} - 998 T^{7} + 148 p^{3} T^{8} - 1604 p T^{9} + 17555 T^{10} - 19864 T^{11} + 68458 T^{12} - 74074 T^{13} + 242170 T^{14} - 249859 T^{15} + 260851 p T^{16} - 774556 T^{17} + 260851 p^{2} T^{18} - 249859 p^{2} T^{19} + 242170 p^{3} T^{20} - 74074 p^{4} T^{21} + 68458 p^{5} T^{22} - 19864 p^{6} T^{23} + 17555 p^{7} T^{24} - 1604 p^{9} T^{25} + 148 p^{12} T^{26} - 998 p^{10} T^{27} + 257 p^{12} T^{28} - 170 p^{12} T^{29} + 41 p^{14} T^{30} - 23 p^{14} T^{31} + 5 p^{16} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 - 12 T + 104 T^{2} - 668 T^{3} + 3689 T^{4} - 17697 T^{5} + 77044 T^{6} - 61219 p T^{7} + 1130042 T^{8} - 3892082 T^{9} + 2523614 p T^{10} - 38616823 T^{11} + 112091061 T^{12} - 309202291 T^{13} + 812571296 T^{14} - 2036948362 T^{15} + 4876187629 T^{16} - 11153537716 T^{17} + 4876187629 p T^{18} - 2036948362 p^{2} T^{19} + 812571296 p^{3} T^{20} - 309202291 p^{4} T^{21} + 112091061 p^{5} T^{22} - 38616823 p^{6} T^{23} + 2523614 p^{8} T^{24} - 3892082 p^{8} T^{25} + 1130042 p^{9} T^{26} - 61219 p^{11} T^{27} + 77044 p^{11} T^{28} - 17697 p^{12} T^{29} + 3689 p^{13} T^{30} - 668 p^{14} T^{31} + 104 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 20 T + 290 T^{2} - 3078 T^{3} + 2509 p T^{4} - 211216 T^{5} + 1443005 T^{6} - 8866107 T^{7} + 50035648 T^{8} - 260704388 T^{9} + 1269463450 T^{10} - 5797233840 T^{11} + 25022676520 T^{12} - 102305110782 T^{13} + 398242619540 T^{14} - 134302666897 p T^{15} + 5239614096513 T^{16} - 17760514573916 T^{17} + 5239614096513 p T^{18} - 134302666897 p^{3} T^{19} + 398242619540 p^{3} T^{20} - 102305110782 p^{4} T^{21} + 25022676520 p^{5} T^{22} - 5797233840 p^{6} T^{23} + 1269463450 p^{7} T^{24} - 260704388 p^{8} T^{25} + 50035648 p^{9} T^{26} - 8866107 p^{10} T^{27} + 1443005 p^{11} T^{28} - 211216 p^{12} T^{29} + 2509 p^{14} T^{30} - 3078 p^{14} T^{31} + 290 p^{15} T^{32} - 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 11 T + 168 T^{2} - 1343 T^{3} + 12104 T^{4} - 76920 T^{5} + 521584 T^{6} - 2781198 T^{7} + 15624588 T^{8} - 72833591 T^{9} + 359273884 T^{10} - 1516857895 T^{11} + 6841322994 T^{12} - 26872409817 T^{13} + 113373860946 T^{14} - 419317517516 T^{15} + 1664666010507 T^{16} - 5797373179434 T^{17} + 1664666010507 p T^{18} - 419317517516 p^{2} T^{19} + 113373860946 p^{3} T^{20} - 26872409817 p^{4} T^{21} + 6841322994 p^{5} T^{22} - 1516857895 p^{6} T^{23} + 359273884 p^{7} T^{24} - 72833591 p^{8} T^{25} + 15624588 p^{9} T^{26} - 2781198 p^{10} T^{27} + 521584 p^{11} T^{28} - 76920 p^{12} T^{29} + 12104 p^{13} T^{30} - 1343 p^{14} T^{31} + 168 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 19 T + 327 T^{2} - 3888 T^{3} + 41943 T^{4} - 379483 T^{5} + 186706 p T^{6} - 23717592 T^{7} + 166148552 T^{8} - 1070454800 T^{9} + 6526902182 T^{10} - 37176047237 T^{11} + 201643501024 T^{12} - 60639140486 p T^{13} + 5038256493031 T^{14} - 23325042237675 T^{15} + 103456686217002 T^{16} - 435649468461096 T^{17} + 103456686217002 p T^{18} - 23325042237675 p^{2} T^{19} + 5038256493031 p^{3} T^{20} - 60639140486 p^{5} T^{21} + 201643501024 p^{5} T^{22} - 37176047237 p^{6} T^{23} + 6526902182 p^{7} T^{24} - 1070454800 p^{8} T^{25} + 166148552 p^{9} T^{26} - 23717592 p^{10} T^{27} + 186706 p^{12} T^{28} - 379483 p^{12} T^{29} + 41943 p^{13} T^{30} - 3888 p^{14} T^{31} + 327 p^{15} T^{32} - 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 4 T + 153 T^{2} + 729 T^{3} + 12305 T^{4} + 64338 T^{5} + 697074 T^{6} + 3729051 T^{7} + 30909164 T^{8} + 161282275 T^{9} + 1121741859 T^{10} + 5566530443 T^{11} + 34067231864 T^{12} + 159100038412 T^{13} + 877849676745 T^{14} + 3839775046221 T^{15} + 19374596853341 T^{16} + 78946667017134 T^{17} + 19374596853341 p T^{18} + 3839775046221 p^{2} T^{19} + 877849676745 p^{3} T^{20} + 159100038412 p^{4} T^{21} + 34067231864 p^{5} T^{22} + 5566530443 p^{6} T^{23} + 1121741859 p^{7} T^{24} + 161282275 p^{8} T^{25} + 30909164 p^{9} T^{26} + 3729051 p^{10} T^{27} + 697074 p^{11} T^{28} + 64338 p^{12} T^{29} + 12305 p^{13} T^{30} + 729 p^{14} T^{31} + 153 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 22 T + 463 T^{2} - 6698 T^{3} + 88029 T^{4} - 42519 p T^{5} + 9946739 T^{6} - 91060553 T^{7} + 772604786 T^{8} - 6057240455 T^{9} + 44445379705 T^{10} - 305310795604 T^{11} + 85934453723 p T^{12} - 12064131969665 T^{13} + 69708069535353 T^{14} - 381233559188413 T^{15} + 1978677845881095 T^{16} - 9737016290798362 T^{17} + 1978677845881095 p T^{18} - 381233559188413 p^{2} T^{19} + 69708069535353 p^{3} T^{20} - 12064131969665 p^{4} T^{21} + 85934453723 p^{6} T^{22} - 305310795604 p^{6} T^{23} + 44445379705 p^{7} T^{24} - 6057240455 p^{8} T^{25} + 772604786 p^{9} T^{26} - 91060553 p^{10} T^{27} + 9946739 p^{11} T^{28} - 42519 p^{13} T^{29} + 88029 p^{13} T^{30} - 6698 p^{14} T^{31} + 463 p^{15} T^{32} - 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 37 T + 32 p T^{2} - 16811 T^{3} + 252324 T^{4} - 3199473 T^{5} + 35916970 T^{6} - 360508387 T^{7} + 3314276610 T^{8} - 28065700419 T^{9} + 222173909796 T^{10} - 1648815735125 T^{11} + 11581763468765 T^{12} - 77047759186580 T^{13} + 488484773047378 T^{14} - 2948408765427742 T^{15} + 17014051437121216 T^{16} - 93664221563232452 T^{17} + 17014051437121216 p T^{18} - 2948408765427742 p^{2} T^{19} + 488484773047378 p^{3} T^{20} - 77047759186580 p^{4} T^{21} + 11581763468765 p^{5} T^{22} - 1648815735125 p^{6} T^{23} + 222173909796 p^{7} T^{24} - 28065700419 p^{8} T^{25} + 3314276610 p^{9} T^{26} - 360508387 p^{10} T^{27} + 35916970 p^{11} T^{28} - 3199473 p^{12} T^{29} + 252324 p^{13} T^{30} - 16811 p^{14} T^{31} + 32 p^{16} T^{32} - 37 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 + 10 T + 319 T^{2} + 3070 T^{3} + 53473 T^{4} + 478139 T^{5} + 6061645 T^{6} + 49830172 T^{7} + 512738111 T^{8} + 3866349506 T^{9} + 34067801254 T^{10} + 235759694062 T^{11} + 1832751620426 T^{12} + 11648821902561 T^{13} + 81322798719554 T^{14} + 474712181125112 T^{15} + 3008572049059593 T^{16} + 16105131006954544 T^{17} + 3008572049059593 p T^{18} + 474712181125112 p^{2} T^{19} + 81322798719554 p^{3} T^{20} + 11648821902561 p^{4} T^{21} + 1832751620426 p^{5} T^{22} + 235759694062 p^{6} T^{23} + 34067801254 p^{7} T^{24} + 3866349506 p^{8} T^{25} + 512738111 p^{9} T^{26} + 49830172 p^{10} T^{27} + 6061645 p^{11} T^{28} + 478139 p^{12} T^{29} + 53473 p^{13} T^{30} + 3070 p^{14} T^{31} + 319 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 13 T + 457 T^{2} - 5472 T^{3} + 103432 T^{4} - 1121870 T^{5} + 15283865 T^{6} - 149288040 T^{7} + 1643938061 T^{8} - 14472394681 T^{9} + 136292952362 T^{10} - 1085753813552 T^{11} + 9014130622432 T^{12} - 65272657078878 T^{13} + 485987695579563 T^{14} - 3208818379435144 T^{15} + 21638805157049663 T^{16} - 130377439523258876 T^{17} + 21638805157049663 p T^{18} - 3208818379435144 p^{2} T^{19} + 485987695579563 p^{3} T^{20} - 65272657078878 p^{4} T^{21} + 9014130622432 p^{5} T^{22} - 1085753813552 p^{6} T^{23} + 136292952362 p^{7} T^{24} - 14472394681 p^{8} T^{25} + 1643938061 p^{9} T^{26} - 149288040 p^{10} T^{27} + 15283865 p^{11} T^{28} - 1121870 p^{12} T^{29} + 103432 p^{13} T^{30} - 5472 p^{14} T^{31} + 457 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 6 T + 425 T^{2} + 2565 T^{3} + 91555 T^{4} + 544659 T^{5} + 13158017 T^{6} + 76248475 T^{7} + 1407053475 T^{8} + 7870343681 T^{9} + 118583640936 T^{10} + 634898771849 T^{11} + 8151068226358 T^{12} + 41403566213685 T^{13} + 466770583526154 T^{14} + 2226744571230199 T^{15} + 22550569330644327 T^{16} + 99826945901134946 T^{17} + 22550569330644327 p T^{18} + 2226744571230199 p^{2} T^{19} + 466770583526154 p^{3} T^{20} + 41403566213685 p^{4} T^{21} + 8151068226358 p^{5} T^{22} + 634898771849 p^{6} T^{23} + 118583640936 p^{7} T^{24} + 7870343681 p^{8} T^{25} + 1407053475 p^{9} T^{26} + 76248475 p^{10} T^{27} + 13158017 p^{11} T^{28} + 544659 p^{12} T^{29} + 91555 p^{13} T^{30} + 2565 p^{14} T^{31} + 425 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 9 T + 345 T^{2} - 2499 T^{3} + 56356 T^{4} - 340185 T^{5} + 5943142 T^{6} - 30639642 T^{7} + 464995631 T^{8} - 2112341558 T^{9} + 29622418240 T^{10} - 124443828095 T^{11} + 1651642758820 T^{12} - 6750962905116 T^{13} + 84183608447836 T^{14} - 341089512692176 T^{15} + 3955890831719047 T^{16} - 15569343057786768 T^{17} + 3955890831719047 p T^{18} - 341089512692176 p^{2} T^{19} + 84183608447836 p^{3} T^{20} - 6750962905116 p^{4} T^{21} + 1651642758820 p^{5} T^{22} - 124443828095 p^{6} T^{23} + 29622418240 p^{7} T^{24} - 2112341558 p^{8} T^{25} + 464995631 p^{9} T^{26} - 30639642 p^{10} T^{27} + 5943142 p^{11} T^{28} - 340185 p^{12} T^{29} + 56356 p^{13} T^{30} - 2499 p^{14} T^{31} + 345 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 4 T + 416 T^{2} + 2098 T^{3} + 85989 T^{4} + 494415 T^{5} + 11860486 T^{6} + 72287699 T^{7} + 1230385887 T^{8} + 7541685487 T^{9} + 2175722071 p T^{10} + 610059672189 T^{11} + 7085294038940 T^{12} + 40534041247029 T^{13} + 421955432359287 T^{14} + 2305118253633999 T^{15} + 22149604342524601 T^{16} + 115110434220562132 T^{17} + 22149604342524601 p T^{18} + 2305118253633999 p^{2} T^{19} + 421955432359287 p^{3} T^{20} + 40534041247029 p^{4} T^{21} + 7085294038940 p^{5} T^{22} + 610059672189 p^{6} T^{23} + 2175722071 p^{8} T^{24} + 7541685487 p^{8} T^{25} + 1230385887 p^{9} T^{26} + 72287699 p^{10} T^{27} + 11860486 p^{11} T^{28} + 494415 p^{12} T^{29} + 85989 p^{13} T^{30} + 2098 p^{14} T^{31} + 416 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 45 T + 30 p T^{2} - 744 p T^{3} + 842268 T^{4} - 15016409 T^{5} + 240467135 T^{6} - 3411012915 T^{7} + 44528924119 T^{8} - 530512148386 T^{9} + 5909577882368 T^{10} - 61146460181595 T^{11} + 597804798016048 T^{12} - 5487315588417539 T^{13} + 47900127637315177 T^{14} - 394931347624024578 T^{15} + 3106816948061252630 T^{16} - 23143916201964306666 T^{17} + 3106816948061252630 p T^{18} - 394931347624024578 p^{2} T^{19} + 47900127637315177 p^{3} T^{20} - 5487315588417539 p^{4} T^{21} + 597804798016048 p^{5} T^{22} - 61146460181595 p^{6} T^{23} + 5909577882368 p^{7} T^{24} - 530512148386 p^{8} T^{25} + 44528924119 p^{9} T^{26} - 3411012915 p^{10} T^{27} + 240467135 p^{11} T^{28} - 15016409 p^{12} T^{29} + 842268 p^{13} T^{30} - 744 p^{15} T^{31} + 30 p^{16} T^{32} - 45 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 12 T + 546 T^{2} + 106 p T^{3} + 151117 T^{4} + 1639563 T^{5} + 28309637 T^{6} + 289183429 T^{7} + 4023150252 T^{8} + 38514138051 T^{9} + 459217484676 T^{10} + 4108254842517 T^{11} + 43485113398678 T^{12} + 363006758938004 T^{13} + 3483940694638504 T^{14} + 27101528850938028 T^{15} + 238898154023558679 T^{16} + 1727623782944815564 T^{17} + 238898154023558679 p T^{18} + 27101528850938028 p^{2} T^{19} + 3483940694638504 p^{3} T^{20} + 363006758938004 p^{4} T^{21} + 43485113398678 p^{5} T^{22} + 4108254842517 p^{6} T^{23} + 459217484676 p^{7} T^{24} + 38514138051 p^{8} T^{25} + 4023150252 p^{9} T^{26} + 289183429 p^{10} T^{27} + 28309637 p^{11} T^{28} + 1639563 p^{12} T^{29} + 151117 p^{13} T^{30} + 106 p^{15} T^{31} + 546 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - 6 T + 529 T^{2} - 3591 T^{3} + 143398 T^{4} - 1063175 T^{5} + 26427415 T^{6} - 208650589 T^{7} + 3703873656 T^{8} - 30502744595 T^{9} + 418814582200 T^{10} - 3526206460574 T^{11} + 39588080424192 T^{12} - 333370234185367 T^{13} + 3198531780552509 T^{14} - 26275043905811638 T^{15} + 223847447910378368 T^{16} - 1743876893900638706 T^{17} + 223847447910378368 p T^{18} - 26275043905811638 p^{2} T^{19} + 3198531780552509 p^{3} T^{20} - 333370234185367 p^{4} T^{21} + 39588080424192 p^{5} T^{22} - 3526206460574 p^{6} T^{23} + 418814582200 p^{7} T^{24} - 30502744595 p^{8} T^{25} + 3703873656 p^{9} T^{26} - 208650589 p^{10} T^{27} + 26427415 p^{11} T^{28} - 1063175 p^{12} T^{29} + 143398 p^{13} T^{30} - 3591 p^{14} T^{31} + 529 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 + 3 T + 688 T^{2} + 2079 T^{3} + 236234 T^{4} + 712295 T^{5} + 53922325 T^{6} + 160347284 T^{7} + 9178763025 T^{8} + 26599661319 T^{9} + 1237454274482 T^{10} + 3455096432406 T^{11} + 136852367540768 T^{12} + 364080417237137 T^{13} + 12680011309697529 T^{14} + 31776909774464543 T^{15} + 996295343254086324 T^{16} + 2322571971126546940 T^{17} + 996295343254086324 p T^{18} + 31776909774464543 p^{2} T^{19} + 12680011309697529 p^{3} T^{20} + 364080417237137 p^{4} T^{21} + 136852367540768 p^{5} T^{22} + 3455096432406 p^{6} T^{23} + 1237454274482 p^{7} T^{24} + 26599661319 p^{8} T^{25} + 9178763025 p^{9} T^{26} + 160347284 p^{10} T^{27} + 53922325 p^{11} T^{28} + 712295 p^{12} T^{29} + 236234 p^{13} T^{30} + 2079 p^{14} T^{31} + 688 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 36 T + 1116 T^{2} - 24261 T^{3} + 471457 T^{4} - 7747708 T^{5} + 1651250 p T^{6} - 1598039658 T^{7} + 20463971565 T^{8} - 243358285000 T^{9} + 2755988144492 T^{10} - 29488904839673 T^{11} + 303243885342710 T^{12} - 2977682154576449 T^{13} + 28275447536414315 T^{14} - 258087639951242412 T^{15} + 2286901497295230596 T^{16} - 19544284016091622630 T^{17} + 2286901497295230596 p T^{18} - 258087639951242412 p^{2} T^{19} + 28275447536414315 p^{3} T^{20} - 2977682154576449 p^{4} T^{21} + 303243885342710 p^{5} T^{22} - 29488904839673 p^{6} T^{23} + 2755988144492 p^{7} T^{24} - 243358285000 p^{8} T^{25} + 20463971565 p^{9} T^{26} - 1598039658 p^{10} T^{27} + 1651250 p^{12} T^{28} - 7747708 p^{12} T^{29} + 471457 p^{13} T^{30} - 24261 p^{14} T^{31} + 1116 p^{15} T^{32} - 36 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 4 T + 521 T^{2} + 2703 T^{3} + 144357 T^{4} + 820573 T^{5} + 27936608 T^{6} + 160087083 T^{7} + 4174043991 T^{8} + 23088344595 T^{9} + 508505937213 T^{10} + 2650876528380 T^{11} + 52497145669967 T^{12} + 255187066958119 T^{13} + 4733039726054858 T^{14} + 21515855032972414 T^{15} + 381380944646503860 T^{16} + 1641154552128092514 T^{17} + 381380944646503860 p T^{18} + 21515855032972414 p^{2} T^{19} + 4733039726054858 p^{3} T^{20} + 255187066958119 p^{4} T^{21} + 52497145669967 p^{5} T^{22} + 2650876528380 p^{6} T^{23} + 508505937213 p^{7} T^{24} + 23088344595 p^{8} T^{25} + 4174043991 p^{9} T^{26} + 160087083 p^{10} T^{27} + 27936608 p^{11} T^{28} + 820573 p^{12} T^{29} + 144357 p^{13} T^{30} + 2703 p^{14} T^{31} + 521 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 5 T + 522 T^{2} - 1692 T^{3} + 136388 T^{4} - 272793 T^{5} + 24112144 T^{6} - 20537144 T^{7} + 3213971545 T^{8} + 1478215755 T^{9} + 344982226356 T^{10} + 708916664914 T^{11} + 31505884600875 T^{12} + 123713969848429 T^{13} + 2587082415314483 T^{14} + 14732795895641922 T^{15} + 203593717246502280 T^{16} + 1323889132229830348 T^{17} + 203593717246502280 p T^{18} + 14732795895641922 p^{2} T^{19} + 2587082415314483 p^{3} T^{20} + 123713969848429 p^{4} T^{21} + 31505884600875 p^{5} T^{22} + 708916664914 p^{6} T^{23} + 344982226356 p^{7} T^{24} + 1478215755 p^{8} T^{25} + 3213971545 p^{9} T^{26} - 20537144 p^{10} T^{27} + 24112144 p^{11} T^{28} - 272793 p^{12} T^{29} + 136388 p^{13} T^{30} - 1692 p^{14} T^{31} + 522 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 7 T + 634 T^{2} - 3645 T^{3} + 197781 T^{4} - 889886 T^{5} + 41107741 T^{6} - 133026758 T^{7} + 6478055234 T^{8} - 12834255186 T^{9} + 833560885223 T^{10} - 663140679948 T^{11} + 92076947200764 T^{12} + 19150109306814 T^{13} + 9053473372235692 T^{14} + 7948853327512423 T^{15} + 812444150178681934 T^{16} + 10639644969070278 p T^{17} + 812444150178681934 p T^{18} + 7948853327512423 p^{2} T^{19} + 9053473372235692 p^{3} T^{20} + 19150109306814 p^{4} T^{21} + 92076947200764 p^{5} T^{22} - 663140679948 p^{6} T^{23} + 833560885223 p^{7} T^{24} - 12834255186 p^{8} T^{25} + 6478055234 p^{9} T^{26} - 133026758 p^{10} T^{27} + 41107741 p^{11} T^{28} - 889886 p^{12} T^{29} + 197781 p^{13} T^{30} - 3645 p^{14} T^{31} + 634 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 13 T + 703 T^{2} - 7407 T^{3} + 238107 T^{4} - 2123997 T^{5} + 53832117 T^{6} - 424962032 T^{7} + 9422961806 T^{8} - 68688886890 T^{9} + 1381905419731 T^{10} - 9552890654874 T^{11} + 175685253698789 T^{12} - 1159127985571761 T^{13} + 19615396207237369 T^{14} - 123255790642039503 T^{15} + 1945422025932635377 T^{16} - 11613893139831553606 T^{17} + 1945422025932635377 p T^{18} - 123255790642039503 p^{2} T^{19} + 19615396207237369 p^{3} T^{20} - 1159127985571761 p^{4} T^{21} + 175685253698789 p^{5} T^{22} - 9552890654874 p^{6} T^{23} + 1381905419731 p^{7} T^{24} - 68688886890 p^{8} T^{25} + 9422961806 p^{9} T^{26} - 424962032 p^{10} T^{27} + 53832117 p^{11} T^{28} - 2123997 p^{12} T^{29} + 238107 p^{13} T^{30} - 7407 p^{14} T^{31} + 703 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 23 T + 924 T^{2} + 16425 T^{3} + 398503 T^{4} + 5905159 T^{5} + 110838652 T^{6} + 1433123322 T^{7} + 22880761679 T^{8} + 266188643254 T^{9} + 3798283045094 T^{10} + 40611746279208 T^{11} + 532962164746660 T^{12} + 5312590371453989 T^{13} + 65184934898120643 T^{14} + 611220037807888533 T^{15} + 7072152648450528676 T^{16} + 62673367314824101646 T^{17} + 7072152648450528676 p T^{18} + 611220037807888533 p^{2} T^{19} + 65184934898120643 p^{3} T^{20} + 5312590371453989 p^{4} T^{21} + 532962164746660 p^{5} T^{22} + 40611746279208 p^{6} T^{23} + 3798283045094 p^{7} T^{24} + 266188643254 p^{8} T^{25} + 22880761679 p^{9} T^{26} + 1433123322 p^{10} T^{27} + 110838652 p^{11} T^{28} + 5905159 p^{12} T^{29} + 398503 p^{13} T^{30} + 16425 p^{14} T^{31} + 924 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.70826912929940290944933859815, −2.53743661628370092839280958732, −2.45135421112660987989824765611, −2.44602031033864056074261628397, −2.32772817507887364146615788451, −2.26879752085241440621949472823, −2.11660488067455660791550212669, −2.11164618490488446560979168207, −2.01220798921881321433587248935, −1.98682478148810322780316916900, −1.84688560970133789021225366849, −1.71778285516311587309315632302, −1.61816331432887435071746931354, −1.61579359603558403737198676934, −1.52231761538201069263290607625, −1.47279848632940313657394453991, −1.36868685513300590978375603124, −1.17474791895681810688742023391, −1.12371503193475522349940242709, −1.02420112682506721334625481420, −0.996094573008344945028663296816, −0.963078091396381534179857814326, −0.950011085339187205917596741903, −0.63688886107595929164403162879, −0.62154434024679729506026626659, 0.62154434024679729506026626659, 0.63688886107595929164403162879, 0.950011085339187205917596741903, 0.963078091396381534179857814326, 0.996094573008344945028663296816, 1.02420112682506721334625481420, 1.12371503193475522349940242709, 1.17474791895681810688742023391, 1.36868685513300590978375603124, 1.47279848632940313657394453991, 1.52231761538201069263290607625, 1.61579359603558403737198676934, 1.61816331432887435071746931354, 1.71778285516311587309315632302, 1.84688560970133789021225366849, 1.98682478148810322780316916900, 2.01220798921881321433587248935, 2.11164618490488446560979168207, 2.11660488067455660791550212669, 2.26879752085241440621949472823, 2.32772817507887364146615788451, 2.44602031033864056074261628397, 2.45135421112660987989824765611, 2.53743661628370092839280958732, 2.70826912929940290944933859815
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.