Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2-s + 10·3-s − 7·4-s + 10·5-s + 10·6-s + 20·7-s − 8·8-s + 37·9-s + 10·10-s + 17·11-s − 70·12-s + 13-s + 20·14-s + 100·15-s + 19·16-s + 2·17-s + 37·18-s + 13·19-s − 70·20-s + 200·21-s + 17·22-s + 16·23-s − 80·24-s + 24·25-s + 26-s + 33·27-s − 140·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.707·2-s + 5.77·3-s − 7/2·4-s + 4.47·5-s + 4.08·6-s + 7.55·7-s − 2.82·8-s + 37/3·9-s + 3.16·10-s + 5.12·11-s − 20.2·12-s + 0.277·13-s + 5.34·14-s + 25.8·15-s + 19/4·16-s + 0.485·17-s + 8.72·18-s + 2.98·19-s − 15.6·20-s + 43.6·21-s + 3.62·22-s + 3.33·23-s − 16.3·24-s + 24/5·25-s + 0.196·26-s + 6.35·27-s − 26.4·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(11^{17} \cdot 67^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(11^{17} \cdot 67^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(11^{17} \cdot 67^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.21803\times 10^{13}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.42589\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 11^{17} \cdot 67^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(5687.809816\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(5687.809816\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 11 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 67 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - T + p^{3} T^{2} - 7 T^{3} + 9 p^{2} T^{4} - 3 p^{3} T^{5} + 15 p^{3} T^{6} - 25 p T^{7} + 163 p T^{8} - 29 p T^{9} + 25 p^{5} T^{10} + 47 T^{11} + 1817 T^{12} + 469 T^{13} + 241 p^{4} T^{14} + 779 p T^{15} + 123 p^{6} T^{16} + 1839 p T^{17} + 123 p^{7} T^{18} + 779 p^{3} T^{19} + 241 p^{7} T^{20} + 469 p^{4} T^{21} + 1817 p^{5} T^{22} + 47 p^{6} T^{23} + 25 p^{12} T^{24} - 29 p^{9} T^{25} + 163 p^{10} T^{26} - 25 p^{11} T^{27} + 15 p^{14} T^{28} - 3 p^{15} T^{29} + 9 p^{15} T^{30} - 7 p^{14} T^{31} + p^{18} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 - 10 T + 7 p^{2} T^{2} - 293 T^{3} + 1124 T^{4} - 3709 T^{5} + 3652 p T^{6} - 9854 p T^{7} + 8258 p^{2} T^{8} - 175798 T^{9} + 395140 T^{10} - 847768 T^{11} + 1746961 T^{12} - 3468119 T^{13} + 2221193 p T^{14} - 4136381 p T^{15} + 22449836 T^{16} - 39438964 T^{17} + 22449836 p T^{18} - 4136381 p^{3} T^{19} + 2221193 p^{4} T^{20} - 3468119 p^{4} T^{21} + 1746961 p^{5} T^{22} - 847768 p^{6} T^{23} + 395140 p^{7} T^{24} - 175798 p^{8} T^{25} + 8258 p^{11} T^{26} - 9854 p^{11} T^{27} + 3652 p^{12} T^{28} - 3709 p^{12} T^{29} + 1124 p^{13} T^{30} - 293 p^{14} T^{31} + 7 p^{17} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 - 2 p T + 76 T^{2} - 426 T^{3} + 2103 T^{4} - 9048 T^{5} + 7169 p T^{6} - 130084 T^{7} + 88734 p T^{8} - 1419404 T^{9} + 4320232 T^{10} - 12492386 T^{11} + 1384449 p^{2} T^{12} - 91772544 T^{13} + 234166023 T^{14} - 114825712 p T^{15} + 271511109 p T^{16} - 3089955364 T^{17} + 271511109 p^{2} T^{18} - 114825712 p^{3} T^{19} + 234166023 p^{3} T^{20} - 91772544 p^{4} T^{21} + 1384449 p^{7} T^{22} - 12492386 p^{6} T^{23} + 4320232 p^{7} T^{24} - 1419404 p^{8} T^{25} + 88734 p^{10} T^{26} - 130084 p^{10} T^{27} + 7169 p^{12} T^{28} - 9048 p^{12} T^{29} + 2103 p^{13} T^{30} - 426 p^{14} T^{31} + 76 p^{15} T^{32} - 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - 20 T + 248 T^{2} - 2280 T^{3} + 17201 T^{4} - 111198 T^{5} + 635909 T^{6} - 3277074 T^{7} + 15443402 T^{8} - 67200338 T^{9} + 272160648 T^{10} - 1031609658 T^{11} + 3676670233 T^{12} - 12361088778 T^{13} + 39309145405 T^{14} - 118449817516 T^{15} + 338671692477 T^{16} - 131344946300 p T^{17} + 338671692477 p T^{18} - 118449817516 p^{2} T^{19} + 39309145405 p^{3} T^{20} - 12361088778 p^{4} T^{21} + 3676670233 p^{5} T^{22} - 1031609658 p^{6} T^{23} + 272160648 p^{7} T^{24} - 67200338 p^{8} T^{25} + 15443402 p^{9} T^{26} - 3277074 p^{10} T^{27} + 635909 p^{11} T^{28} - 111198 p^{12} T^{29} + 17201 p^{13} T^{30} - 2280 p^{14} T^{31} + 248 p^{15} T^{32} - 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - T + 111 T^{2} - 133 T^{3} + 6177 T^{4} - 8375 T^{5} + 231970 T^{6} - 339206 T^{7} + 511626 p T^{8} - 775379 p T^{9} + 155360838 T^{10} - 236452961 T^{11} + 3065978423 T^{12} - 4573310423 T^{13} + 52178276344 T^{14} - 5754036376 p T^{15} + 774257217892 T^{16} - 1048374311456 T^{17} + 774257217892 p T^{18} - 5754036376 p^{3} T^{19} + 52178276344 p^{3} T^{20} - 4573310423 p^{4} T^{21} + 3065978423 p^{5} T^{22} - 236452961 p^{6} T^{23} + 155360838 p^{7} T^{24} - 775379 p^{9} T^{25} + 511626 p^{10} T^{26} - 339206 p^{10} T^{27} + 231970 p^{11} T^{28} - 8375 p^{12} T^{29} + 6177 p^{13} T^{30} - 133 p^{14} T^{31} + 111 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 2 T + 141 T^{2} - 276 T^{3} + 9985 T^{4} - 19088 T^{5} + 474952 T^{6} - 903296 T^{7} + 17152702 T^{8} - 33203684 T^{9} + 503442645 T^{10} - 1003733630 T^{11} + 736256256 p T^{12} - 25533936186 T^{13} + 270505573933 T^{14} - 32437101614 p T^{15} + 5164199049897 T^{16} - 10148526686592 T^{17} + 5164199049897 p T^{18} - 32437101614 p^{3} T^{19} + 270505573933 p^{3} T^{20} - 25533936186 p^{4} T^{21} + 736256256 p^{6} T^{22} - 1003733630 p^{6} T^{23} + 503442645 p^{7} T^{24} - 33203684 p^{8} T^{25} + 17152702 p^{9} T^{26} - 903296 p^{10} T^{27} + 474952 p^{11} T^{28} - 19088 p^{12} T^{29} + 9985 p^{13} T^{30} - 276 p^{14} T^{31} + 141 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 13 T + 225 T^{2} - 2195 T^{3} + 22145 T^{4} - 173557 T^{5} + 68865 p T^{6} - 8604558 T^{7} + 53391304 T^{8} - 304930448 T^{9} + 1649814250 T^{10} - 8458611129 T^{11} + 41742165196 T^{12} - 198526393087 T^{13} + 925566919414 T^{14} - 4190865544163 T^{15} + 18825392939271 T^{16} - 82238092169988 T^{17} + 18825392939271 p T^{18} - 4190865544163 p^{2} T^{19} + 925566919414 p^{3} T^{20} - 198526393087 p^{4} T^{21} + 41742165196 p^{5} T^{22} - 8458611129 p^{6} T^{23} + 1649814250 p^{7} T^{24} - 304930448 p^{8} T^{25} + 53391304 p^{9} T^{26} - 8604558 p^{10} T^{27} + 68865 p^{12} T^{28} - 173557 p^{12} T^{29} + 22145 p^{13} T^{30} - 2195 p^{14} T^{31} + 225 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 16 T + 360 T^{2} - 4197 T^{3} + 55494 T^{4} - 517042 T^{5} + 5128554 T^{6} - 40252508 T^{7} + 328741320 T^{8} - 2250337944 T^{9} + 15900044891 T^{10} - 97280941262 T^{11} + 613014763958 T^{12} - 3410163915078 T^{13} + 19536766789452 T^{14} - 99896222163233 T^{15} + 526204965359884 T^{16} - 2486184086052672 T^{17} + 526204965359884 p T^{18} - 99896222163233 p^{2} T^{19} + 19536766789452 p^{3} T^{20} - 3410163915078 p^{4} T^{21} + 613014763958 p^{5} T^{22} - 97280941262 p^{6} T^{23} + 15900044891 p^{7} T^{24} - 2250337944 p^{8} T^{25} + 328741320 p^{9} T^{26} - 40252508 p^{10} T^{27} + 5128554 p^{11} T^{28} - 517042 p^{12} T^{29} + 55494 p^{13} T^{30} - 4197 p^{14} T^{31} + 360 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 5 T + 253 T^{2} + 968 T^{3} + 31805 T^{4} + 94386 T^{5} + 2701863 T^{6} + 6276109 T^{7} + 6059699 p T^{8} + 323460391 T^{9} + 9317096785 T^{10} + 13866251674 T^{11} + 416395301212 T^{12} + 516086497762 T^{13} + 15977309361670 T^{14} + 17161897399457 T^{15} + 531723534896488 T^{16} + 519713548442912 T^{17} + 531723534896488 p T^{18} + 17161897399457 p^{2} T^{19} + 15977309361670 p^{3} T^{20} + 516086497762 p^{4} T^{21} + 416395301212 p^{5} T^{22} + 13866251674 p^{6} T^{23} + 9317096785 p^{7} T^{24} + 323460391 p^{8} T^{25} + 6059699 p^{10} T^{26} + 6276109 p^{10} T^{27} + 2701863 p^{11} T^{28} + 94386 p^{12} T^{29} + 31805 p^{13} T^{30} + 968 p^{14} T^{31} + 253 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 16 T + 370 T^{2} - 148 p T^{3} + 65301 T^{4} - 679088 T^{5} + 7488128 T^{6} - 67822712 T^{7} + 629708040 T^{8} - 5081163432 T^{9} + 41343453697 T^{10} - 301397016628 T^{11} + 2197064775962 T^{12} - 14598447121904 T^{13} + 96567946289005 T^{14} - 587795675004904 T^{15} + 3554423118817384 T^{16} - 19861574744810576 T^{17} + 3554423118817384 p T^{18} - 587795675004904 p^{2} T^{19} + 96567946289005 p^{3} T^{20} - 14598447121904 p^{4} T^{21} + 2197064775962 p^{5} T^{22} - 301397016628 p^{6} T^{23} + 41343453697 p^{7} T^{24} - 5081163432 p^{8} T^{25} + 629708040 p^{9} T^{26} - 67822712 p^{10} T^{27} + 7488128 p^{11} T^{28} - 679088 p^{12} T^{29} + 65301 p^{13} T^{30} - 148 p^{15} T^{31} + 370 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 29 T + 670 T^{2} - 11269 T^{3} + 163662 T^{4} - 2043197 T^{5} + 23035925 T^{6} - 235796888 T^{7} + 2240261017 T^{8} - 19853654236 T^{9} + 166230530183 T^{10} - 1318865948753 T^{11} + 9995746160061 T^{12} - 72438289771409 T^{13} + 504428058397158 T^{14} - 3373504104555039 T^{15} + 21730605415585622 T^{16} - 134647867896560002 T^{17} + 21730605415585622 p T^{18} - 3373504104555039 p^{2} T^{19} + 504428058397158 p^{3} T^{20} - 72438289771409 p^{4} T^{21} + 9995746160061 p^{5} T^{22} - 1318865948753 p^{6} T^{23} + 166230530183 p^{7} T^{24} - 19853654236 p^{8} T^{25} + 2240261017 p^{9} T^{26} - 235796888 p^{10} T^{27} + 23035925 p^{11} T^{28} - 2043197 p^{12} T^{29} + 163662 p^{13} T^{30} - 11269 p^{14} T^{31} + 670 p^{15} T^{32} - 29 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 6 T + 379 T^{2} + 1840 T^{3} + 69260 T^{4} + 281364 T^{5} + 8354155 T^{6} + 29387044 T^{7} + 18555044 p T^{8} + 2387615006 T^{9} + 56140744763 T^{10} + 160584332510 T^{11} + 3492809801799 T^{12} + 9225982713264 T^{13} + 187339371785812 T^{14} + 460591789296432 T^{15} + 8764437783265085 T^{16} + 20149595899643264 T^{17} + 8764437783265085 p T^{18} + 460591789296432 p^{2} T^{19} + 187339371785812 p^{3} T^{20} + 9225982713264 p^{4} T^{21} + 3492809801799 p^{5} T^{22} + 160584332510 p^{6} T^{23} + 56140744763 p^{7} T^{24} + 2387615006 p^{8} T^{25} + 18555044 p^{10} T^{26} + 29387044 p^{10} T^{27} + 8354155 p^{11} T^{28} + 281364 p^{12} T^{29} + 69260 p^{13} T^{30} + 1840 p^{14} T^{31} + 379 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 19 T + 639 T^{2} - 10375 T^{3} + 197103 T^{4} - 2737819 T^{5} + 38643570 T^{6} - 463895189 T^{7} + 5377333306 T^{8} - 56490200442 T^{9} + 563531484326 T^{10} - 5240318755785 T^{11} + 46101637255282 T^{12} - 382919499246545 T^{13} + 70018101793781 p T^{14} - 22477017392718587 T^{15} + 159056813850871450 T^{16} - 1070989334572480494 T^{17} + 159056813850871450 p T^{18} - 22477017392718587 p^{2} T^{19} + 70018101793781 p^{4} T^{20} - 382919499246545 p^{4} T^{21} + 46101637255282 p^{5} T^{22} - 5240318755785 p^{6} T^{23} + 563531484326 p^{7} T^{24} - 56490200442 p^{8} T^{25} + 5377333306 p^{9} T^{26} - 463895189 p^{10} T^{27} + 38643570 p^{11} T^{28} - 2737819 p^{12} T^{29} + 197103 p^{13} T^{30} - 10375 p^{14} T^{31} + 639 p^{15} T^{32} - 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 40 T + 997 T^{2} - 17829 T^{3} + 265379 T^{4} - 3415553 T^{5} + 40030295 T^{6} - 429721023 T^{7} + 4320658605 T^{8} - 40725584721 T^{9} + 365945840951 T^{10} - 3131954059130 T^{11} + 25816485355746 T^{12} - 204295355825641 T^{13} + 1566085158444264 T^{14} - 11585224844528434 T^{15} + 83299129633229960 T^{16} - 579071722066655066 T^{17} + 83299129633229960 p T^{18} - 11585224844528434 p^{2} T^{19} + 1566085158444264 p^{3} T^{20} - 204295355825641 p^{4} T^{21} + 25816485355746 p^{5} T^{22} - 3131954059130 p^{6} T^{23} + 365945840951 p^{7} T^{24} - 40725584721 p^{8} T^{25} + 4320658605 p^{9} T^{26} - 429721023 p^{10} T^{27} + 40030295 p^{11} T^{28} - 3415553 p^{12} T^{29} + 265379 p^{13} T^{30} - 17829 p^{14} T^{31} + 997 p^{15} T^{32} - 40 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 15 T + 592 T^{2} - 7475 T^{3} + 166138 T^{4} - 1839514 T^{5} + 29980095 T^{6} - 298587043 T^{7} + 3957406389 T^{8} - 36060485476 T^{9} + 410730101529 T^{10} - 3461278514663 T^{11} + 35033428187219 T^{12} - 274559884147382 T^{13} + 2521459534610260 T^{14} - 18402231896563331 T^{15} + 155287084223298497 T^{16} - 1053587176823539866 T^{17} + 155287084223298497 p T^{18} - 18402231896563331 p^{2} T^{19} + 2521459534610260 p^{3} T^{20} - 274559884147382 p^{4} T^{21} + 35033428187219 p^{5} T^{22} - 3461278514663 p^{6} T^{23} + 410730101529 p^{7} T^{24} - 36060485476 p^{8} T^{25} + 3957406389 p^{9} T^{26} - 298587043 p^{10} T^{27} + 29980095 p^{11} T^{28} - 1839514 p^{12} T^{29} + 166138 p^{13} T^{30} - 7475 p^{14} T^{31} + 592 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 2 T + 473 T^{2} + 753 T^{3} + 111079 T^{4} + 135153 T^{5} + 17245537 T^{6} + 15508399 T^{7} + 1990429715 T^{8} + 1295888579 T^{9} + 182740355259 T^{10} + 86859800490 T^{11} + 14042966119278 T^{12} + 5155845857101 T^{13} + 947638865964190 T^{14} + 296600076116766 T^{15} + 58835699976458446 T^{16} + 17310229338913274 T^{17} + 58835699976458446 p T^{18} + 296600076116766 p^{2} T^{19} + 947638865964190 p^{3} T^{20} + 5155845857101 p^{4} T^{21} + 14042966119278 p^{5} T^{22} + 86859800490 p^{6} T^{23} + 182740355259 p^{7} T^{24} + 1295888579 p^{8} T^{25} + 1990429715 p^{9} T^{26} + 15508399 p^{10} T^{27} + 17245537 p^{11} T^{28} + 135153 p^{12} T^{29} + 111079 p^{13} T^{30} + 753 p^{14} T^{31} + 473 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 6 T + 656 T^{2} + 3830 T^{3} + 208289 T^{4} + 1164991 T^{5} + 42802585 T^{6} + 226051479 T^{7} + 6428286748 T^{8} + 31673562421 T^{9} + 755836448316 T^{10} + 3446977930897 T^{11} + 72773858151244 T^{12} + 306395322500247 T^{13} + 5917567780365992 T^{14} + 23066630296985314 T^{15} + 414656429983306101 T^{16} + 1505213530032779502 T^{17} + 414656429983306101 p T^{18} + 23066630296985314 p^{2} T^{19} + 5917567780365992 p^{3} T^{20} + 306395322500247 p^{4} T^{21} + 72773858151244 p^{5} T^{22} + 3446977930897 p^{6} T^{23} + 755836448316 p^{7} T^{24} + 31673562421 p^{8} T^{25} + 6428286748 p^{9} T^{26} + 226051479 p^{10} T^{27} + 42802585 p^{11} T^{28} + 1164991 p^{12} T^{29} + 208289 p^{13} T^{30} + 3830 p^{14} T^{31} + 656 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 2 T + 664 T^{2} - 1611 T^{3} + 219208 T^{4} - 604451 T^{5} + 48561528 T^{6} - 143927496 T^{7} + 8152588796 T^{8} - 24867204008 T^{9} + 1102216216298 T^{10} - 3354588887462 T^{11} + 124093236111060 T^{12} - 368384078328421 T^{13} + 11868433618921404 T^{14} - 33707221419065207 T^{15} + 975473836362659661 T^{16} - 2601047965749291868 T^{17} + 975473836362659661 p T^{18} - 33707221419065207 p^{2} T^{19} + 11868433618921404 p^{3} T^{20} - 368384078328421 p^{4} T^{21} + 124093236111060 p^{5} T^{22} - 3354588887462 p^{6} T^{23} + 1102216216298 p^{7} T^{24} - 24867204008 p^{8} T^{25} + 8152588796 p^{9} T^{26} - 143927496 p^{10} T^{27} + 48561528 p^{11} T^{28} - 604451 p^{12} T^{29} + 219208 p^{13} T^{30} - 1611 p^{14} T^{31} + 664 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 41 T + 1345 T^{2} - 31948 T^{3} + 666124 T^{4} - 11896112 T^{5} + 193795731 T^{6} - 2856939441 T^{7} + 39243278635 T^{8} - 500664429427 T^{9} + 6030651450840 T^{10} - 68474635326596 T^{11} + 740592985384889 T^{12} - 7620805169886056 T^{13} + 75146343716675586 T^{14} - 709041787803804335 T^{15} + 6433952374458666977 T^{16} - 56021791315593410712 T^{17} + 6433952374458666977 p T^{18} - 709041787803804335 p^{2} T^{19} + 75146343716675586 p^{3} T^{20} - 7620805169886056 p^{4} T^{21} + 740592985384889 p^{5} T^{22} - 68474635326596 p^{6} T^{23} + 6030651450840 p^{7} T^{24} - 500664429427 p^{8} T^{25} + 39243278635 p^{9} T^{26} - 2856939441 p^{10} T^{27} + 193795731 p^{11} T^{28} - 11896112 p^{12} T^{29} + 666124 p^{13} T^{30} - 31948 p^{14} T^{31} + 1345 p^{15} T^{32} - 41 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 41 T + 1766 T^{2} - 47710 T^{3} + 1239154 T^{4} - 25590044 T^{5} + 502023715 T^{6} - 8497615415 T^{7} + 136797409491 T^{8} - 1974762922694 T^{9} + 27210412767179 T^{10} - 343395132484263 T^{11} + 4151122441687257 T^{12} - 46530358961718620 T^{13} + 500936800255051488 T^{14} - 5035840186487573540 T^{15} + 48701709691261784085 T^{16} - \)\(44\!\cdots\!10\)\( T^{17} + 48701709691261784085 p T^{18} - 5035840186487573540 p^{2} T^{19} + 500936800255051488 p^{3} T^{20} - 46530358961718620 p^{4} T^{21} + 4151122441687257 p^{5} T^{22} - 343395132484263 p^{6} T^{23} + 27210412767179 p^{7} T^{24} - 1974762922694 p^{8} T^{25} + 136797409491 p^{9} T^{26} - 8497615415 p^{10} T^{27} + 502023715 p^{11} T^{28} - 25590044 p^{12} T^{29} + 1239154 p^{13} T^{30} - 47710 p^{14} T^{31} + 1766 p^{15} T^{32} - 41 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 2 T + 866 T^{2} - 935 T^{3} + 348830 T^{4} - 1626 p T^{5} + 1047146 p T^{6} + 1689845 T^{7} + 14989536050 T^{8} + 921464808 T^{9} + 1894560221468 T^{10} - 678790598509 T^{11} + 182200852518950 T^{12} - 246332981460354 T^{13} + 14090623788672350 T^{14} - 40904254222094881 T^{15} + 1010747193030921707 T^{16} - 4200016081289145900 T^{17} + 1010747193030921707 p T^{18} - 40904254222094881 p^{2} T^{19} + 14090623788672350 p^{3} T^{20} - 246332981460354 p^{4} T^{21} + 182200852518950 p^{5} T^{22} - 678790598509 p^{6} T^{23} + 1894560221468 p^{7} T^{24} + 921464808 p^{8} T^{25} + 14989536050 p^{9} T^{26} + 1689845 p^{10} T^{27} + 1047146 p^{12} T^{28} - 1626 p^{13} T^{29} + 348830 p^{13} T^{30} - 935 p^{14} T^{31} + 866 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - T + 701 T^{2} + 24 T^{3} + 254122 T^{4} + 177567 T^{5} + 62928050 T^{6} + 68149852 T^{7} + 11907421941 T^{8} + 14711496269 T^{9} + 1831049877470 T^{10} + 2222415465331 T^{11} + 238073235612126 T^{12} + 260054213210838 T^{13} + 26887264873668203 T^{14} + 25724813403340872 T^{15} + 2683897243393017029 T^{16} + 2340224830766710306 T^{17} + 2683897243393017029 p T^{18} + 25724813403340872 p^{2} T^{19} + 26887264873668203 p^{3} T^{20} + 260054213210838 p^{4} T^{21} + 238073235612126 p^{5} T^{22} + 2222415465331 p^{6} T^{23} + 1831049877470 p^{7} T^{24} + 14711496269 p^{8} T^{25} + 11907421941 p^{9} T^{26} + 68149852 p^{10} T^{27} + 62928050 p^{11} T^{28} + 177567 p^{12} T^{29} + 254122 p^{13} T^{30} + 24 p^{14} T^{31} + 701 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 3 T + 689 T^{2} - 2968 T^{3} + 242620 T^{4} - 1348689 T^{5} + 59711426 T^{6} - 392315893 T^{7} + 11640299825 T^{8} - 84516620460 T^{9} + 1898792845829 T^{10} - 14550795603537 T^{11} + 266507861440210 T^{12} - 2082577000907095 T^{13} + 32794620832563608 T^{14} - 253064213986484450 T^{15} + 3576659211533491120 T^{16} - 26424036832519691090 T^{17} + 3576659211533491120 p T^{18} - 253064213986484450 p^{2} T^{19} + 32794620832563608 p^{3} T^{20} - 2082577000907095 p^{4} T^{21} + 266507861440210 p^{5} T^{22} - 14550795603537 p^{6} T^{23} + 1898792845829 p^{7} T^{24} - 84516620460 p^{8} T^{25} + 11640299825 p^{9} T^{26} - 392315893 p^{10} T^{27} + 59711426 p^{11} T^{28} - 1348689 p^{12} T^{29} + 242620 p^{13} T^{30} - 2968 p^{14} T^{31} + 689 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.48349743954856029304992335244, −2.42766909290912856669888610765, −2.42672661190435017052918211070, −2.33879962168914834756169079993, −2.33208420654473883526256424862, −2.26738545121729532184158367118, −2.22782328289707579902591977296, −2.13832720171546299174951282372, −2.00105888022366345459772104945, −1.99854763545306536977681949518, −1.92470257620563153928077038556, −1.78077785237262160927774791401, −1.73201154468400872511194169023, −1.60521252483613629656659882803, −1.43338425700027552315292971985, −1.39433830170990603880337897781, −1.34228108669116788633609180429, −1.31313489014455852025878562828, −1.24515229650190452409700945450, −1.06637554544297482534698483028, −1.03929251425556676251941648580, −0.804420958866149104029271951245, −0.67354431518882367591223400040, −0.65049883031765696794775657357, −0.59371262325581306127107974809, 0.59371262325581306127107974809, 0.65049883031765696794775657357, 0.67354431518882367591223400040, 0.804420958866149104029271951245, 1.03929251425556676251941648580, 1.06637554544297482534698483028, 1.24515229650190452409700945450, 1.31313489014455852025878562828, 1.34228108669116788633609180429, 1.39433830170990603880337897781, 1.43338425700027552315292971985, 1.60521252483613629656659882803, 1.73201154468400872511194169023, 1.78077785237262160927774791401, 1.92470257620563153928077038556, 1.99854763545306536977681949518, 2.00105888022366345459772104945, 2.13832720171546299174951282372, 2.22782328289707579902591977296, 2.26738545121729532184158367118, 2.33208420654473883526256424862, 2.33879962168914834756169079993, 2.42672661190435017052918211070, 2.42766909290912856669888610765, 2.48349743954856029304992335244
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.