Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 5·2-s + 6·3-s + 5·4-s + 17·5-s + 30·6-s + 7·7-s − 15·8-s + 3·9-s + 85·10-s − 3·11-s + 30·12-s + 21·13-s + 35·14-s + 102·15-s − 36·16-s + 15·17-s + 15·18-s + 11·19-s + 85·20-s + 42·21-s − 15·22-s + 16·23-s − 90·24-s + 153·25-s + 105·26-s − 55·27-s + 35·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s + 3.46·3-s + 5/2·4-s + 7.60·5-s + 12.2·6-s + 2.64·7-s − 5.30·8-s + 9-s + 26.8·10-s − 0.904·11-s + 8.66·12-s + 5.82·13-s + 9.35·14-s + 26.3·15-s − 9·16-s + 3.63·17-s + 3.53·18-s + 2.52·19-s + 19.0·20-s + 9.16·21-s − 3.19·22-s + 3.33·23-s − 18.3·24-s + 30.5·25-s + 20.5·26-s − 10.5·27-s + 6.61·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{17} \cdot 139^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{17} \cdot 139^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(5^{17} \cdot 139^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.49213\times 10^{12}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.35575\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 5^{17} \cdot 139^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(12595.84384\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(12595.84384\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 139 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 5 T + 5 p^{2} T^{2} - 15 p^{2} T^{3} + 161 T^{4} - 189 p T^{5} + 823 T^{6} - 1651 T^{7} + 3143 T^{8} - 5665 T^{9} + 9865 T^{10} - 16561 T^{11} + 13571 p T^{12} - 675 p^{6} T^{13} + 67287 T^{14} - 101849 T^{15} + 18809 p^{3} T^{16} - 215571 T^{17} + 18809 p^{4} T^{18} - 101849 p^{2} T^{19} + 67287 p^{3} T^{20} - 675 p^{10} T^{21} + 13571 p^{6} T^{22} - 16561 p^{6} T^{23} + 9865 p^{7} T^{24} - 5665 p^{8} T^{25} + 3143 p^{9} T^{26} - 1651 p^{10} T^{27} + 823 p^{11} T^{28} - 189 p^{13} T^{29} + 161 p^{13} T^{30} - 15 p^{16} T^{31} + 5 p^{17} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 - 2 p T + 11 p T^{2} - 125 T^{3} + 148 p T^{4} - 1312 T^{5} + 3683 T^{6} - 1025 p^{2} T^{7} + 22216 T^{8} - 16466 p T^{9} + 11842 p^{2} T^{10} - 217066 T^{11} + 593 p^{6} T^{12} - 824788 T^{13} + 516125 p T^{14} - 2812202 T^{15} + 1680665 p T^{16} - 8784176 T^{17} + 1680665 p^{2} T^{18} - 2812202 p^{2} T^{19} + 516125 p^{4} T^{20} - 824788 p^{4} T^{21} + 593 p^{11} T^{22} - 217066 p^{6} T^{23} + 11842 p^{9} T^{24} - 16466 p^{9} T^{25} + 22216 p^{9} T^{26} - 1025 p^{12} T^{27} + 3683 p^{11} T^{28} - 1312 p^{12} T^{29} + 148 p^{14} T^{30} - 125 p^{14} T^{31} + 11 p^{16} T^{32} - 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - p T + 61 T^{2} - 270 T^{3} + 1369 T^{4} - 4243 T^{5} + 15298 T^{6} - 29278 T^{7} + 74555 T^{8} + 25862 T^{9} - 17133 p T^{10} + 1880142 T^{11} - 1981712 T^{12} + 8441123 T^{13} + 27934735 T^{14} - 77696098 T^{15} + 556493446 T^{16} - 1094820574 T^{17} + 556493446 p T^{18} - 77696098 p^{2} T^{19} + 27934735 p^{3} T^{20} + 8441123 p^{4} T^{21} - 1981712 p^{5} T^{22} + 1880142 p^{6} T^{23} - 17133 p^{8} T^{24} + 25862 p^{8} T^{25} + 74555 p^{9} T^{26} - 29278 p^{10} T^{27} + 15298 p^{11} T^{28} - 4243 p^{12} T^{29} + 1369 p^{13} T^{30} - 270 p^{14} T^{31} + 61 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 + 3 T + 87 T^{2} + 316 T^{3} + 3959 T^{4} + 16265 T^{5} + 127196 T^{6} + 546636 T^{7} + 3226280 T^{8} + 1237849 p T^{9} + 67501370 T^{10} + 270133432 T^{11} + 1185185389 T^{12} + 4448186090 T^{13} + 17651369293 T^{14} + 62040273016 T^{15} + 20471529651 p T^{16} + 738279583534 T^{17} + 20471529651 p^{2} T^{18} + 62040273016 p^{2} T^{19} + 17651369293 p^{3} T^{20} + 4448186090 p^{4} T^{21} + 1185185389 p^{5} T^{22} + 270133432 p^{6} T^{23} + 67501370 p^{7} T^{24} + 1237849 p^{9} T^{25} + 3226280 p^{9} T^{26} + 546636 p^{10} T^{27} + 127196 p^{11} T^{28} + 16265 p^{12} T^{29} + 3959 p^{13} T^{30} + 316 p^{14} T^{31} + 87 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 21 T + 302 T^{2} - 3136 T^{3} + 26893 T^{4} - 193199 T^{5} + 93446 p T^{6} - 6716782 T^{7} + 33380444 T^{8} - 149100262 T^{9} + 607287710 T^{10} - 2248294150 T^{11} + 7669782312 T^{12} - 24015234689 T^{13} + 70816700353 T^{14} - 199373362556 T^{15} + 584377997751 T^{16} - 1910683605706 T^{17} + 584377997751 p T^{18} - 199373362556 p^{2} T^{19} + 70816700353 p^{3} T^{20} - 24015234689 p^{4} T^{21} + 7669782312 p^{5} T^{22} - 2248294150 p^{6} T^{23} + 607287710 p^{7} T^{24} - 149100262 p^{8} T^{25} + 33380444 p^{9} T^{26} - 6716782 p^{10} T^{27} + 93446 p^{12} T^{28} - 193199 p^{12} T^{29} + 26893 p^{13} T^{30} - 3136 p^{14} T^{31} + 302 p^{15} T^{32} - 21 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 15 T + 207 T^{2} - 1918 T^{3} + 16481 T^{4} - 118491 T^{5} + 806566 T^{6} - 4974082 T^{7} + 29415347 T^{8} - 163235426 T^{9} + 874096199 T^{10} - 4461470742 T^{11} + 22065801636 T^{12} - 104784952949 T^{13} + 28466781669 p T^{14} - 2152383532330 T^{15} + 9328807787238 T^{16} - 38956210540862 T^{17} + 9328807787238 p T^{18} - 2152383532330 p^{2} T^{19} + 28466781669 p^{4} T^{20} - 104784952949 p^{4} T^{21} + 22065801636 p^{5} T^{22} - 4461470742 p^{6} T^{23} + 874096199 p^{7} T^{24} - 163235426 p^{8} T^{25} + 29415347 p^{9} T^{26} - 4974082 p^{10} T^{27} + 806566 p^{11} T^{28} - 118491 p^{12} T^{29} + 16481 p^{13} T^{30} - 1918 p^{14} T^{31} + 207 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 11 T + 203 T^{2} - 1772 T^{3} + 19115 T^{4} - 142751 T^{5} + 1165278 T^{6} - 7741856 T^{7} + 52738335 T^{8} - 318401186 T^{9} + 1901644489 T^{10} - 10568146008 T^{11} + 56911471792 T^{12} - 293443576449 T^{13} + 1448150388609 T^{14} - 6954833248444 T^{15} + 31747939590580 T^{16} - 142104124872326 T^{17} + 31747939590580 p T^{18} - 6954833248444 p^{2} T^{19} + 1448150388609 p^{3} T^{20} - 293443576449 p^{4} T^{21} + 56911471792 p^{5} T^{22} - 10568146008 p^{6} T^{23} + 1901644489 p^{7} T^{24} - 318401186 p^{8} T^{25} + 52738335 p^{9} T^{26} - 7741856 p^{10} T^{27} + 1165278 p^{11} T^{28} - 142751 p^{12} T^{29} + 19115 p^{13} T^{30} - 1772 p^{14} T^{31} + 203 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 16 T + 338 T^{2} - 3915 T^{3} + 50159 T^{4} - 20467 p T^{5} + 4621398 T^{6} - 37085875 T^{7} + 303763433 T^{8} - 2148400758 T^{9} + 15311006314 T^{10} - 97191460682 T^{11} + 617087625769 T^{12} - 3554551750890 T^{13} + 20390051108655 T^{14} - 107232530778750 T^{15} + 560283545801259 T^{16} - 2696793327484294 T^{17} + 560283545801259 p T^{18} - 107232530778750 p^{2} T^{19} + 20390051108655 p^{3} T^{20} - 3554551750890 p^{4} T^{21} + 617087625769 p^{5} T^{22} - 97191460682 p^{6} T^{23} + 15311006314 p^{7} T^{24} - 2148400758 p^{8} T^{25} + 303763433 p^{9} T^{26} - 37085875 p^{10} T^{27} + 4621398 p^{11} T^{28} - 20467 p^{13} T^{29} + 50159 p^{13} T^{30} - 3915 p^{14} T^{31} + 338 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 19 T + 349 T^{2} + 3781 T^{3} + 41549 T^{4} + 334146 T^{5} + 2932998 T^{6} + 20389383 T^{7} + 163044260 T^{8} + 1048832979 T^{9} + 7816006102 T^{10} + 46490551538 T^{11} + 321852965329 T^{12} + 1781287179350 T^{13} + 11644002930775 T^{14} + 60950681314336 T^{15} + 378458185900229 T^{16} + 1873423372809896 T^{17} + 378458185900229 p T^{18} + 60950681314336 p^{2} T^{19} + 11644002930775 p^{3} T^{20} + 1781287179350 p^{4} T^{21} + 321852965329 p^{5} T^{22} + 46490551538 p^{6} T^{23} + 7816006102 p^{7} T^{24} + 1048832979 p^{8} T^{25} + 163044260 p^{9} T^{26} + 20389383 p^{10} T^{27} + 2932998 p^{11} T^{28} + 334146 p^{12} T^{29} + 41549 p^{13} T^{30} + 3781 p^{14} T^{31} + 349 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 12 T + 295 T^{2} - 3034 T^{3} + 43616 T^{4} - 398971 T^{5} + 4347361 T^{6} - 35959486 T^{7} + 327273273 T^{8} - 2471856894 T^{9} + 19717847347 T^{10} - 136950227754 T^{11} + 983439366091 T^{12} - 6313072101749 T^{13} + 41447309280922 T^{14} - 246684295752510 T^{15} + 1493946996053136 T^{16} - 8252146980000524 T^{17} + 1493946996053136 p T^{18} - 246684295752510 p^{2} T^{19} + 41447309280922 p^{3} T^{20} - 6313072101749 p^{4} T^{21} + 983439366091 p^{5} T^{22} - 136950227754 p^{6} T^{23} + 19717847347 p^{7} T^{24} - 2471856894 p^{8} T^{25} + 327273273 p^{9} T^{26} - 35959486 p^{10} T^{27} + 4347361 p^{11} T^{28} - 398971 p^{12} T^{29} + 43616 p^{13} T^{30} - 3034 p^{14} T^{31} + 295 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 32 T + 796 T^{2} - 14147 T^{3} + 216185 T^{4} - 2800141 T^{5} + 32625080 T^{6} - 341343375 T^{7} + 3295713928 T^{8} - 29399636742 T^{9} + 246133286902 T^{10} - 1937577888809 T^{11} + 14499311305210 T^{12} - 103342432484611 T^{13} + 19125685019797 p T^{14} - 4661216877455493 T^{15} + 29731720732706173 T^{16} - 183500091824236532 T^{17} + 29731720732706173 p T^{18} - 4661216877455493 p^{2} T^{19} + 19125685019797 p^{4} T^{20} - 103342432484611 p^{4} T^{21} + 14499311305210 p^{5} T^{22} - 1937577888809 p^{6} T^{23} + 246133286902 p^{7} T^{24} - 29399636742 p^{8} T^{25} + 3295713928 p^{9} T^{26} - 341343375 p^{10} T^{27} + 32625080 p^{11} T^{28} - 2800141 p^{12} T^{29} + 216185 p^{13} T^{30} - 14147 p^{14} T^{31} + 796 p^{15} T^{32} - 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 2 T + 400 T^{2} - 703 T^{3} + 80049 T^{4} - 126985 T^{5} + 10685348 T^{6} - 15736923 T^{7} + 1068726104 T^{8} - 1494170118 T^{9} + 85161851398 T^{10} - 114347795301 T^{11} + 5606275781574 T^{12} - 7232652966743 T^{13} + 311778718083389 T^{14} - 9342268744217 p T^{15} + 14841729837089009 T^{16} - 17092124437823600 T^{17} + 14841729837089009 p T^{18} - 9342268744217 p^{3} T^{19} + 311778718083389 p^{3} T^{20} - 7232652966743 p^{4} T^{21} + 5606275781574 p^{5} T^{22} - 114347795301 p^{6} T^{23} + 85161851398 p^{7} T^{24} - 1494170118 p^{8} T^{25} + 1068726104 p^{9} T^{26} - 15736923 p^{10} T^{27} + 10685348 p^{11} T^{28} - 126985 p^{12} T^{29} + 80049 p^{13} T^{30} - 703 p^{14} T^{31} + 400 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 11 T + 414 T^{2} - 4148 T^{3} + 81754 T^{4} - 761220 T^{5} + 10457419 T^{6} - 92051946 T^{7} + 996426872 T^{8} - 8358137468 T^{9} + 1785038566 p T^{10} - 611305690178 T^{11} + 5003873714109 T^{12} - 37476218184476 T^{13} + 281994345863160 T^{14} - 1973108017636624 T^{15} + 13857590121336855 T^{16} - 90595577676038002 T^{17} + 13857590121336855 p T^{18} - 1973108017636624 p^{2} T^{19} + 281994345863160 p^{3} T^{20} - 37476218184476 p^{4} T^{21} + 5003873714109 p^{5} T^{22} - 611305690178 p^{6} T^{23} + 1785038566 p^{8} T^{24} - 8358137468 p^{8} T^{25} + 996426872 p^{9} T^{26} - 92051946 p^{10} T^{27} + 10457419 p^{11} T^{28} - 761220 p^{12} T^{29} + 81754 p^{13} T^{30} - 4148 p^{14} T^{31} + 414 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 5 T + 351 T^{2} + 2118 T^{3} + 67627 T^{4} + 431773 T^{5} + 9224772 T^{6} + 59250246 T^{7} + 978671221 T^{8} + 6169658630 T^{9} + 84909355663 T^{10} + 517377965642 T^{11} + 6200029776538 T^{12} + 36115481451219 T^{13} + 387752455857153 T^{14} + 2138203734063658 T^{15} + 20974524285747784 T^{16} + 108430687278145162 T^{17} + 20974524285747784 p T^{18} + 2138203734063658 p^{2} T^{19} + 387752455857153 p^{3} T^{20} + 36115481451219 p^{4} T^{21} + 6200029776538 p^{5} T^{22} + 517377965642 p^{6} T^{23} + 84909355663 p^{7} T^{24} + 6169658630 p^{8} T^{25} + 978671221 p^{9} T^{26} + 59250246 p^{10} T^{27} + 9224772 p^{11} T^{28} + 431773 p^{12} T^{29} + 67627 p^{13} T^{30} + 2118 p^{14} T^{31} + 351 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 46 T + 1351 T^{2} - 28704 T^{3} + 493145 T^{4} - 7054546 T^{5} + 86813726 T^{6} - 925859616 T^{7} + 8635714750 T^{8} - 69771139734 T^{9} + 479464913668 T^{10} - 2603483109664 T^{11} + 8376040135979 T^{12} + 33845264369236 T^{13} - 931006423822377 T^{14} + 10950647819906860 T^{15} - 99245379843681835 T^{16} + 773096955951993736 T^{17} - 99245379843681835 p T^{18} + 10950647819906860 p^{2} T^{19} - 931006423822377 p^{3} T^{20} + 33845264369236 p^{4} T^{21} + 8376040135979 p^{5} T^{22} - 2603483109664 p^{6} T^{23} + 479464913668 p^{7} T^{24} - 69771139734 p^{8} T^{25} + 8635714750 p^{9} T^{26} - 925859616 p^{10} T^{27} + 86813726 p^{11} T^{28} - 7054546 p^{12} T^{29} + 493145 p^{13} T^{30} - 28704 p^{14} T^{31} + 1351 p^{15} T^{32} - 46 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 11 T + 558 T^{2} - 5482 T^{3} + 153291 T^{4} - 1356433 T^{5} + 27722522 T^{6} - 222602122 T^{7} + 3725601830 T^{8} - 27368905638 T^{9} + 398746626112 T^{10} - 2703596795606 T^{11} + 35563661211612 T^{12} - 224387133928431 T^{13} + 2723461538198953 T^{14} - 16088599893026422 T^{15} + 182317701390747135 T^{16} - 1011430304389315390 T^{17} + 182317701390747135 p T^{18} - 16088599893026422 p^{2} T^{19} + 2723461538198953 p^{3} T^{20} - 224387133928431 p^{4} T^{21} + 35563661211612 p^{5} T^{22} - 2703596795606 p^{6} T^{23} + 398746626112 p^{7} T^{24} - 27368905638 p^{8} T^{25} + 3725601830 p^{9} T^{26} - 222602122 p^{10} T^{27} + 27722522 p^{11} T^{28} - 1356433 p^{12} T^{29} + 153291 p^{13} T^{30} - 5482 p^{14} T^{31} + 558 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 387 T^{2} - 550 T^{3} + 77412 T^{4} - 195337 T^{5} + 10939735 T^{6} - 35793180 T^{7} + 1240060623 T^{8} - 4576724246 T^{9} + 119546870971 T^{10} - 465142379784 T^{11} + 10082631433063 T^{12} - 39978018597511 T^{13} + 756645883096714 T^{14} - 2979910818409894 T^{15} + 51064949918847818 T^{16} - 194218670581574484 T^{17} + 51064949918847818 p T^{18} - 2979910818409894 p^{2} T^{19} + 756645883096714 p^{3} T^{20} - 39978018597511 p^{4} T^{21} + 10082631433063 p^{5} T^{22} - 465142379784 p^{6} T^{23} + 119546870971 p^{7} T^{24} - 4576724246 p^{8} T^{25} + 1240060623 p^{9} T^{26} - 35793180 p^{10} T^{27} + 10939735 p^{11} T^{28} - 195337 p^{12} T^{29} + 77412 p^{13} T^{30} - 550 p^{14} T^{31} + 387 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 12 T + 631 T^{2} - 6465 T^{3} + 192358 T^{4} - 1724622 T^{5} + 38413307 T^{6} - 307530279 T^{7} + 5733616733 T^{8} - 41732398052 T^{9} + 689509888171 T^{10} - 4632409762429 T^{11} + 69879403919337 T^{12} - 437853575034770 T^{13} + 6116725983723128 T^{14} - 35912219197812779 T^{15} + 467569485989464892 T^{16} - 2572808746626031904 T^{17} + 467569485989464892 p T^{18} - 35912219197812779 p^{2} T^{19} + 6116725983723128 p^{3} T^{20} - 437853575034770 p^{4} T^{21} + 69879403919337 p^{5} T^{22} - 4632409762429 p^{6} T^{23} + 689509888171 p^{7} T^{24} - 41732398052 p^{8} T^{25} + 5733616733 p^{9} T^{26} - 307530279 p^{10} T^{27} + 38413307 p^{11} T^{28} - 1724622 p^{12} T^{29} + 192358 p^{13} T^{30} - 6465 p^{14} T^{31} + 631 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 + 37 T + 1374 T^{2} + 33520 T^{3} + 767266 T^{4} + 14419612 T^{5} + 253592569 T^{6} + 3941054324 T^{7} + 57658105345 T^{8} + 770616840669 T^{9} + 9756919198486 T^{10} + 114857812419364 T^{11} + 1287279640692297 T^{12} + 13549198406352566 T^{13} + 136249810802243015 T^{14} + 1293986106683138180 T^{15} + 11765053794929689443 T^{16} + \)\(10\!\cdots\!24\)\( T^{17} + 11765053794929689443 p T^{18} + 1293986106683138180 p^{2} T^{19} + 136249810802243015 p^{3} T^{20} + 13549198406352566 p^{4} T^{21} + 1287279640692297 p^{5} T^{22} + 114857812419364 p^{6} T^{23} + 9756919198486 p^{7} T^{24} + 770616840669 p^{8} T^{25} + 57658105345 p^{9} T^{26} + 3941054324 p^{10} T^{27} + 253592569 p^{11} T^{28} + 14419612 p^{12} T^{29} + 767266 p^{13} T^{30} + 33520 p^{14} T^{31} + 1374 p^{15} T^{32} + 37 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 56 T + 2283 T^{2} - 67155 T^{3} + 1667944 T^{4} - 35057664 T^{5} + 656759467 T^{6} - 10995327229 T^{7} + 168696991626 T^{8} - 2376011829920 T^{9} + 31176810607632 T^{10} - 381376453241748 T^{11} + 4391251721564519 T^{12} - 47579419156722860 T^{13} + 488356821411621563 T^{14} - 4742728063095574940 T^{15} + 43786916728007612149 T^{16} - \)\(38\!\cdots\!36\)\( T^{17} + 43786916728007612149 p T^{18} - 4742728063095574940 p^{2} T^{19} + 488356821411621563 p^{3} T^{20} - 47579419156722860 p^{4} T^{21} + 4391251721564519 p^{5} T^{22} - 381376453241748 p^{6} T^{23} + 31176810607632 p^{7} T^{24} - 2376011829920 p^{8} T^{25} + 168696991626 p^{9} T^{26} - 10995327229 p^{10} T^{27} + 656759467 p^{11} T^{28} - 35057664 p^{12} T^{29} + 1667944 p^{13} T^{30} - 67155 p^{14} T^{31} + 2283 p^{15} T^{32} - 56 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 5 T + 731 T^{2} + 3677 T^{3} + 270725 T^{4} + 1401926 T^{5} + 67952692 T^{6} + 360178497 T^{7} + 12951943826 T^{8} + 69039893357 T^{9} + 1984954281692 T^{10} + 10437247085340 T^{11} + 252544797718599 T^{12} + 1286500172833702 T^{13} + 27174847649372635 T^{14} + 131836007706402778 T^{15} + 2499370798986142603 T^{16} + 11346765381397725516 T^{17} + 2499370798986142603 p T^{18} + 131836007706402778 p^{2} T^{19} + 27174847649372635 p^{3} T^{20} + 1286500172833702 p^{4} T^{21} + 252544797718599 p^{5} T^{22} + 10437247085340 p^{6} T^{23} + 1984954281692 p^{7} T^{24} + 69039893357 p^{8} T^{25} + 12951943826 p^{9} T^{26} + 360178497 p^{10} T^{27} + 67952692 p^{11} T^{28} + 1401926 p^{12} T^{29} + 270725 p^{13} T^{30} + 3677 p^{14} T^{31} + 731 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 25 T + 1061 T^{2} + 20344 T^{3} + 507104 T^{4} + 8020878 T^{5} + 150932543 T^{6} + 2058414580 T^{7} + 32161422605 T^{8} + 389501177952 T^{9} + 5308508223335 T^{10} + 58260854497460 T^{11} + 8591234133587 p T^{12} + 7187950205985042 T^{13} + 80406000920087926 T^{14} + 750244297362789184 T^{15} + 7747820286736369182 T^{16} + 67123585649403254734 T^{17} + 7747820286736369182 p T^{18} + 750244297362789184 p^{2} T^{19} + 80406000920087926 p^{3} T^{20} + 7187950205985042 p^{4} T^{21} + 8591234133587 p^{6} T^{22} + 58260854497460 p^{6} T^{23} + 5308508223335 p^{7} T^{24} + 389501177952 p^{8} T^{25} + 32161422605 p^{9} T^{26} + 2058414580 p^{10} T^{27} + 150932543 p^{11} T^{28} + 8020878 p^{12} T^{29} + 507104 p^{13} T^{30} + 20344 p^{14} T^{31} + 1061 p^{15} T^{32} + 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 - 20 T + 746 T^{2} - 11082 T^{3} + 258638 T^{4} - 3199027 T^{5} + 59597289 T^{6} - 641724844 T^{7} + 10424525279 T^{8} - 100362656880 T^{9} + 1492587040644 T^{10} - 13110412179566 T^{11} + 183517727989307 T^{12} - 1493919686724544 T^{13} + 19971698285683263 T^{14} - 152710838923718214 T^{15} + 1958012818566290177 T^{16} - 14212022124312509966 T^{17} + 1958012818566290177 p T^{18} - 152710838923718214 p^{2} T^{19} + 19971698285683263 p^{3} T^{20} - 1493919686724544 p^{4} T^{21} + 183517727989307 p^{5} T^{22} - 13110412179566 p^{6} T^{23} + 1492587040644 p^{7} T^{24} - 100362656880 p^{8} T^{25} + 10424525279 p^{9} T^{26} - 641724844 p^{10} T^{27} + 59597289 p^{11} T^{28} - 3199027 p^{12} T^{29} + 258638 p^{13} T^{30} - 11082 p^{14} T^{31} + 746 p^{15} T^{32} - 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 66 T + 2811 T^{2} - 88470 T^{3} + 2304389 T^{4} - 51537340 T^{5} + 1025766028 T^{6} - 18472595630 T^{7} + 306009381828 T^{8} - 4704468861826 T^{9} + 67728739430746 T^{10} - 917766501063112 T^{11} + 11767838218399277 T^{12} - 143192671371373772 T^{13} + 1658696247244707645 T^{14} - 18316878442248625368 T^{15} + \)\(19\!\cdots\!23\)\( T^{16} - \)\(19\!\cdots\!76\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!23\)\( p T^{18} - 18316878442248625368 p^{2} T^{19} + 1658696247244707645 p^{3} T^{20} - 143192671371373772 p^{4} T^{21} + 11767838218399277 p^{5} T^{22} - 917766501063112 p^{6} T^{23} + 67728739430746 p^{7} T^{24} - 4704468861826 p^{8} T^{25} + 306009381828 p^{9} T^{26} - 18472595630 p^{10} T^{27} + 1025766028 p^{11} T^{28} - 51537340 p^{12} T^{29} + 2304389 p^{13} T^{30} - 88470 p^{14} T^{31} + 2811 p^{15} T^{32} - 66 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.81593522183640235820195131987, −2.63902940767858820713670328294, −2.62387507667778544203368587544, −2.46934017825726410821564847962, −2.36946685794647710507138067740, −2.34152804745812482765830709280, −2.28320848267703987270623275696, −2.11485273857470517213150294855, −2.10673814809286074457564019186, −2.02090586958656314291791102924, −1.98250192397831291320642798034, −1.96879575065777469368079974809, −1.85198035236115151408497913407, −1.48401984187875314878534289380, −1.41804729806176967491044564851, −1.39178728190764452823892096695, −1.36894595424050834070197353288, −1.35617338897808080700664527342, −1.22271883348683725496506597155, −1.02410942293976257422350995559, −0.963015362994586954692100957219, −0.943715548256098312211327184962, −0.78111371346235419596485305605, −0.64960037781705380723046935814, −0.64238898038883106859429361599, 0.64238898038883106859429361599, 0.64960037781705380723046935814, 0.78111371346235419596485305605, 0.943715548256098312211327184962, 0.963015362994586954692100957219, 1.02410942293976257422350995559, 1.22271883348683725496506597155, 1.35617338897808080700664527342, 1.36894595424050834070197353288, 1.39178728190764452823892096695, 1.41804729806176967491044564851, 1.48401984187875314878534289380, 1.85198035236115151408497913407, 1.96879575065777469368079974809, 1.98250192397831291320642798034, 2.02090586958656314291791102924, 2.10673814809286074457564019186, 2.11485273857470517213150294855, 2.28320848267703987270623275696, 2.34152804745812482765830709280, 2.36946685794647710507138067740, 2.46934017825726410821564847962, 2.62387507667778544203368587544, 2.63902940767858820713670328294, 2.81593522183640235820195131987
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.