Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 3·2-s + 4·3-s − 4-s + 7·5-s + 12·6-s + 4·7-s − 11·8-s − 3·9-s + 21·10-s + 17·11-s − 4·12-s − 11·13-s + 12·14-s + 28·15-s − 5·16-s + 6·17-s − 9·18-s − 4·19-s − 7·20-s + 16·21-s + 51·22-s + 36·23-s − 44·24-s − 7·25-s − 33·26-s − 33·27-s − 4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s + 2.30·3-s − 1/2·4-s + 3.13·5-s + 4.89·6-s + 1.51·7-s − 3.88·8-s − 9-s + 6.64·10-s + 5.12·11-s − 1.15·12-s − 3.05·13-s + 3.20·14-s + 7.22·15-s − 5/4·16-s + 1.45·17-s − 2.12·18-s − 0.917·19-s − 1.56·20-s + 3.49·21-s + 10.8·22-s + 7.50·23-s − 8.98·24-s − 7/5·25-s − 6.47·26-s − 6.35·27-s − 0.755·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(11^{17} \cdot 59^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(11^{17} \cdot 59^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(11^{17} \cdot 59^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.40239\times 10^{12}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.27646\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 11^{17} \cdot 59^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(88.89845136\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(88.89845136\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 11 | \( ( 1 - T )^{17} \) |
| 59 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 3 T + 5 p T^{2} - 11 p T^{3} + 3 p^{4} T^{4} - 87 T^{5} + 159 T^{6} - 127 p T^{7} + 415 T^{8} - 621 T^{9} + 117 p^{3} T^{10} - 651 p T^{11} + 919 p T^{12} - 2393 T^{13} + 3331 T^{14} - 2143 p T^{15} + 3053 p T^{16} - 1015 p^{3} T^{17} + 3053 p^{2} T^{18} - 2143 p^{3} T^{19} + 3331 p^{3} T^{20} - 2393 p^{4} T^{21} + 919 p^{6} T^{22} - 651 p^{7} T^{23} + 117 p^{10} T^{24} - 621 p^{8} T^{25} + 415 p^{9} T^{26} - 127 p^{11} T^{27} + 159 p^{11} T^{28} - 87 p^{12} T^{29} + 3 p^{17} T^{30} - 11 p^{15} T^{31} + 5 p^{16} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 - 4 T + 19 T^{2} - 55 T^{3} + 175 T^{4} - 140 p T^{5} + 1069 T^{6} - 2165 T^{7} + 4607 T^{8} - 7903 T^{9} + 14312 T^{10} - 19487 T^{11} + 3152 p^{2} T^{12} - 21772 T^{13} + 14450 T^{14} + 53611 T^{15} - 117757 T^{16} + 106274 p T^{17} - 117757 p T^{18} + 53611 p^{2} T^{19} + 14450 p^{3} T^{20} - 21772 p^{4} T^{21} + 3152 p^{7} T^{22} - 19487 p^{6} T^{23} + 14312 p^{7} T^{24} - 7903 p^{8} T^{25} + 4607 p^{9} T^{26} - 2165 p^{10} T^{27} + 1069 p^{11} T^{28} - 140 p^{13} T^{29} + 175 p^{13} T^{30} - 55 p^{14} T^{31} + 19 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 - 7 T + 56 T^{2} - 57 p T^{3} + 1458 T^{4} - 6087 T^{5} + 24742 T^{6} - 143 p^{4} T^{7} + 311452 T^{8} - 1001098 T^{9} + 3101026 T^{10} - 9023978 T^{11} + 25350227 T^{12} - 67527264 T^{13} + 6961149 p^{2} T^{14} - 17089877 p^{2} T^{15} + 203295044 p T^{16} - 2308180508 T^{17} + 203295044 p^{2} T^{18} - 17089877 p^{4} T^{19} + 6961149 p^{5} T^{20} - 67527264 p^{4} T^{21} + 25350227 p^{5} T^{22} - 9023978 p^{6} T^{23} + 3101026 p^{7} T^{24} - 1001098 p^{8} T^{25} + 311452 p^{9} T^{26} - 143 p^{14} T^{27} + 24742 p^{11} T^{28} - 6087 p^{12} T^{29} + 1458 p^{13} T^{30} - 57 p^{15} T^{31} + 56 p^{15} T^{32} - 7 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 - 4 T + 8 p T^{2} - 199 T^{3} + 1604 T^{4} - 5174 T^{5} + 31329 T^{6} - 93287 T^{7} + 67330 p T^{8} - 1308303 T^{9} + 5814048 T^{10} - 15136003 T^{11} + 8700667 p T^{12} - 149141562 T^{13} + 552578167 T^{14} - 1274016385 T^{15} + 4391797523 T^{16} - 1360110870 p T^{17} + 4391797523 p T^{18} - 1274016385 p^{2} T^{19} + 552578167 p^{3} T^{20} - 149141562 p^{4} T^{21} + 8700667 p^{6} T^{22} - 15136003 p^{6} T^{23} + 5814048 p^{7} T^{24} - 1308303 p^{8} T^{25} + 67330 p^{10} T^{26} - 93287 p^{10} T^{27} + 31329 p^{11} T^{28} - 5174 p^{12} T^{29} + 1604 p^{13} T^{30} - 199 p^{14} T^{31} + 8 p^{16} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 11 T + 155 T^{2} + 1293 T^{3} + 11085 T^{4} + 75358 T^{5} + 500284 T^{6} + 2905072 T^{7} + 16310995 T^{8} + 6431515 p T^{9} + 31930416 p T^{10} + 1922575760 T^{11} + 8656065709 T^{12} + 36785288478 T^{13} + 152319575990 T^{14} + 598970520267 T^{15} + 2296836774945 T^{16} + 8385761419060 T^{17} + 2296836774945 p T^{18} + 598970520267 p^{2} T^{19} + 152319575990 p^{3} T^{20} + 36785288478 p^{4} T^{21} + 8656065709 p^{5} T^{22} + 1922575760 p^{6} T^{23} + 31930416 p^{8} T^{24} + 6431515 p^{9} T^{25} + 16310995 p^{9} T^{26} + 2905072 p^{10} T^{27} + 500284 p^{11} T^{28} + 75358 p^{12} T^{29} + 11085 p^{13} T^{30} + 1293 p^{14} T^{31} + 155 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 - 6 T + 143 T^{2} - 596 T^{3} + 9278 T^{4} - 27089 T^{5} + 22921 p T^{6} - 767665 T^{7} + 12604541 T^{8} - 15856264 T^{9} + 345994657 T^{10} - 267354317 T^{11} + 8370949941 T^{12} - 3924294311 T^{13} + 179512610740 T^{14} - 52873071246 T^{15} + 3419743857826 T^{16} - 785446201844 T^{17} + 3419743857826 p T^{18} - 52873071246 p^{2} T^{19} + 179512610740 p^{3} T^{20} - 3924294311 p^{4} T^{21} + 8370949941 p^{5} T^{22} - 267354317 p^{6} T^{23} + 345994657 p^{7} T^{24} - 15856264 p^{8} T^{25} + 12604541 p^{9} T^{26} - 767665 p^{10} T^{27} + 22921 p^{12} T^{28} - 27089 p^{12} T^{29} + 9278 p^{13} T^{30} - 596 p^{14} T^{31} + 143 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 4 T + 122 T^{2} + 339 T^{3} + 7536 T^{4} + 16486 T^{5} + 335501 T^{6} + 660371 T^{7} + 633324 p T^{8} + 1207907 p T^{9} + 361616332 T^{10} + 695555717 T^{11} + 9421131989 T^{12} + 18616209822 T^{13} + 218237557537 T^{14} + 435934273927 T^{15} + 4555995452503 T^{16} + 8873083458082 T^{17} + 4555995452503 p T^{18} + 435934273927 p^{2} T^{19} + 218237557537 p^{3} T^{20} + 18616209822 p^{4} T^{21} + 9421131989 p^{5} T^{22} + 695555717 p^{6} T^{23} + 361616332 p^{7} T^{24} + 1207907 p^{9} T^{25} + 633324 p^{10} T^{26} + 660371 p^{10} T^{27} + 335501 p^{11} T^{28} + 16486 p^{12} T^{29} + 7536 p^{13} T^{30} + 339 p^{14} T^{31} + 122 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 36 T + 817 T^{2} - 13519 T^{3} + 181143 T^{4} - 2038879 T^{5} + 19891824 T^{6} - 170705292 T^{7} + 1305249785 T^{8} - 8942397428 T^{9} + 55146096538 T^{10} - 306066891764 T^{11} + 1527674691201 T^{12} - 6831789142981 T^{13} + 27400153442444 T^{14} - 4353112408519 p T^{15} + 359414023021597 T^{16} - 1500695200628424 T^{17} + 359414023021597 p T^{18} - 4353112408519 p^{3} T^{19} + 27400153442444 p^{3} T^{20} - 6831789142981 p^{4} T^{21} + 1527674691201 p^{5} T^{22} - 306066891764 p^{6} T^{23} + 55146096538 p^{7} T^{24} - 8942397428 p^{8} T^{25} + 1305249785 p^{9} T^{26} - 170705292 p^{10} T^{27} + 19891824 p^{11} T^{28} - 2038879 p^{12} T^{29} + 181143 p^{13} T^{30} - 13519 p^{14} T^{31} + 817 p^{15} T^{32} - 36 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 13 T + 329 T^{2} - 3311 T^{3} + 47594 T^{4} - 389372 T^{5} + 4115323 T^{6} - 28218491 T^{7} + 243575035 T^{8} - 1435297828 T^{9} + 10833161843 T^{10} - 56481534701 T^{11} + 395446400167 T^{12} - 1893633305316 T^{13} + 444008365560 p T^{14} - 58640892870953 T^{15} + 393470653431528 T^{16} - 1736413646125470 T^{17} + 393470653431528 p T^{18} - 58640892870953 p^{2} T^{19} + 444008365560 p^{4} T^{20} - 1893633305316 p^{4} T^{21} + 395446400167 p^{5} T^{22} - 56481534701 p^{6} T^{23} + 10833161843 p^{7} T^{24} - 1435297828 p^{8} T^{25} + 243575035 p^{9} T^{26} - 28218491 p^{10} T^{27} + 4115323 p^{11} T^{28} - 389372 p^{12} T^{29} + 47594 p^{13} T^{30} - 3311 p^{14} T^{31} + 329 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 6 T + 294 T^{2} - 1779 T^{3} + 1411 p T^{4} - 269400 T^{5} + 4369071 T^{6} - 883931 p T^{7} + 328062541 T^{8} - 2081974975 T^{9} + 19659921006 T^{10} - 124772961687 T^{11} + 974601154912 T^{12} - 6085300930096 T^{13} + 40867241565338 T^{14} - 245987751767841 T^{15} + 1468854141604914 T^{16} - 8322479788151046 T^{17} + 1468854141604914 p T^{18} - 245987751767841 p^{2} T^{19} + 40867241565338 p^{3} T^{20} - 6085300930096 p^{4} T^{21} + 974601154912 p^{5} T^{22} - 124772961687 p^{6} T^{23} + 19659921006 p^{7} T^{24} - 2081974975 p^{8} T^{25} + 328062541 p^{9} T^{26} - 883931 p^{11} T^{27} + 4369071 p^{11} T^{28} - 269400 p^{12} T^{29} + 1411 p^{14} T^{30} - 1779 p^{14} T^{31} + 294 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 14 T + 355 T^{2} - 4257 T^{3} + 65457 T^{4} - 689556 T^{5} + 8193777 T^{6} - 77235651 T^{7} + 772556860 T^{8} - 6600611024 T^{9} + 57931174160 T^{10} - 452514335033 T^{11} + 3565399341851 T^{12} - 25602106994860 T^{13} + 183541134905299 T^{14} - 1215196441822771 T^{15} + 7990191304939884 T^{16} - 48810350684282820 T^{17} + 7990191304939884 p T^{18} - 1215196441822771 p^{2} T^{19} + 183541134905299 p^{3} T^{20} - 25602106994860 p^{4} T^{21} + 3565399341851 p^{5} T^{22} - 452514335033 p^{6} T^{23} + 57931174160 p^{7} T^{24} - 6600611024 p^{8} T^{25} + 772556860 p^{9} T^{26} - 77235651 p^{10} T^{27} + 8193777 p^{11} T^{28} - 689556 p^{12} T^{29} + 65457 p^{13} T^{30} - 4257 p^{14} T^{31} + 355 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 - 6 T + 280 T^{2} - 1221 T^{3} + 39203 T^{4} - 125809 T^{5} + 3767518 T^{6} - 8741299 T^{7} + 283181808 T^{8} - 455197484 T^{9} + 17827799251 T^{10} - 18509950301 T^{11} + 23855190615 p T^{12} - 591563033619 T^{13} + 47969496067572 T^{14} - 15657285742747 T^{15} + 2140922031867864 T^{16} - 483899381573332 T^{17} + 2140922031867864 p T^{18} - 15657285742747 p^{2} T^{19} + 47969496067572 p^{3} T^{20} - 591563033619 p^{4} T^{21} + 23855190615 p^{6} T^{22} - 18509950301 p^{6} T^{23} + 17827799251 p^{7} T^{24} - 455197484 p^{8} T^{25} + 283181808 p^{9} T^{26} - 8741299 p^{10} T^{27} + 3767518 p^{11} T^{28} - 125809 p^{12} T^{29} + 39203 p^{13} T^{30} - 1221 p^{14} T^{31} + 280 p^{15} T^{32} - 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 + 11 T + 327 T^{2} + 3624 T^{3} + 64173 T^{4} + 646556 T^{5} + 8782927 T^{6} + 81370376 T^{7} + 924203242 T^{8} + 7872024460 T^{9} + 78271236662 T^{10} + 615886221784 T^{11} + 5488931901715 T^{12} + 39985195127908 T^{13} + 324338927230385 T^{14} + 2189765843868408 T^{15} + 16310293448208638 T^{16} + 101967794244125586 T^{17} + 16310293448208638 p T^{18} + 2189765843868408 p^{2} T^{19} + 324338927230385 p^{3} T^{20} + 39985195127908 p^{4} T^{21} + 5488931901715 p^{5} T^{22} + 615886221784 p^{6} T^{23} + 78271236662 p^{7} T^{24} + 7872024460 p^{8} T^{25} + 924203242 p^{9} T^{26} + 81370376 p^{10} T^{27} + 8782927 p^{11} T^{28} + 646556 p^{12} T^{29} + 64173 p^{13} T^{30} + 3624 p^{14} T^{31} + 327 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 25 T + 640 T^{2} - 10002 T^{3} + 154238 T^{4} - 1818407 T^{5} + 21031091 T^{6} - 199209532 T^{7} + 1838057733 T^{8} - 14053346811 T^{9} + 102664910916 T^{10} - 584776879404 T^{11} + 2849954320464 T^{12} - 4322464185145 T^{13} - 68087951957857 T^{14} + 26005752927254 p T^{15} - 11277788432599198 T^{16} + 88600807002323272 T^{17} - 11277788432599198 p T^{18} + 26005752927254 p^{3} T^{19} - 68087951957857 p^{3} T^{20} - 4322464185145 p^{4} T^{21} + 2849954320464 p^{5} T^{22} - 584776879404 p^{6} T^{23} + 102664910916 p^{7} T^{24} - 14053346811 p^{8} T^{25} + 1838057733 p^{9} T^{26} - 199209532 p^{10} T^{27} + 21031091 p^{11} T^{28} - 1818407 p^{12} T^{29} + 154238 p^{13} T^{30} - 10002 p^{14} T^{31} + 640 p^{15} T^{32} - 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 225 T^{2} - 996 T^{3} + 23216 T^{4} - 200399 T^{5} + 2068575 T^{6} - 17503237 T^{7} + 189385330 T^{8} - 1106147849 T^{9} + 13927237311 T^{10} - 80393110192 T^{11} + 823184677386 T^{12} - 5950382028702 T^{13} + 50617695929138 T^{14} - 345657922232562 T^{15} + 3280640080459785 T^{16} - 17788787342154744 T^{17} + 3280640080459785 p T^{18} - 345657922232562 p^{2} T^{19} + 50617695929138 p^{3} T^{20} - 5950382028702 p^{4} T^{21} + 823184677386 p^{5} T^{22} - 80393110192 p^{6} T^{23} + 13927237311 p^{7} T^{24} - 1106147849 p^{8} T^{25} + 189385330 p^{9} T^{26} - 17503237 p^{10} T^{27} + 2068575 p^{11} T^{28} - 200399 p^{12} T^{29} + 23216 p^{13} T^{30} - 996 p^{14} T^{31} + 225 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 38 T + 1161 T^{2} + 24643 T^{3} + 462823 T^{4} + 7248741 T^{5} + 104765378 T^{6} + 1346264964 T^{7} + 16345330271 T^{8} + 182101144536 T^{9} + 1945280415224 T^{10} + 19414534519454 T^{11} + 187605188198031 T^{12} + 1712364687525395 T^{13} + 15230777674101860 T^{14} + 128807209096628739 T^{15} + 1065642316952530647 T^{16} + 8409368889669127988 T^{17} + 1065642316952530647 p T^{18} + 128807209096628739 p^{2} T^{19} + 15230777674101860 p^{3} T^{20} + 1712364687525395 p^{4} T^{21} + 187605188198031 p^{5} T^{22} + 19414534519454 p^{6} T^{23} + 1945280415224 p^{7} T^{24} + 182101144536 p^{8} T^{25} + 16345330271 p^{9} T^{26} + 1346264964 p^{10} T^{27} + 104765378 p^{11} T^{28} + 7248741 p^{12} T^{29} + 462823 p^{13} T^{30} + 24643 p^{14} T^{31} + 1161 p^{15} T^{32} + 38 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - T + 509 T^{2} + 863 T^{3} + 133947 T^{4} + 469828 T^{5} + 25193592 T^{6} + 114830422 T^{7} + 3743935445 T^{8} + 19084199447 T^{9} + 459585795362 T^{10} + 2428260796662 T^{11} + 47752091547533 T^{12} + 250642408844232 T^{13} + 4254048124919660 T^{14} + 21587545150915181 T^{15} + 327977071287713313 T^{16} + 1570280915697102524 T^{17} + 327977071287713313 p T^{18} + 21587545150915181 p^{2} T^{19} + 4254048124919660 p^{3} T^{20} + 250642408844232 p^{4} T^{21} + 47752091547533 p^{5} T^{22} + 2428260796662 p^{6} T^{23} + 459585795362 p^{7} T^{24} + 19084199447 p^{8} T^{25} + 3743935445 p^{9} T^{26} + 114830422 p^{10} T^{27} + 25193592 p^{11} T^{28} + 469828 p^{12} T^{29} + 133947 p^{13} T^{30} + 863 p^{14} T^{31} + 509 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 89 T + 4404 T^{2} - 156289 T^{3} + 4404740 T^{4} - 104031433 T^{5} + 2128455125 T^{6} - 38574647282 T^{7} + 629237853286 T^{8} - 9349403512460 T^{9} + 127703144159720 T^{10} - 1615115389399412 T^{11} + 19022980612986595 T^{12} - 209603464019005215 T^{13} + 2168216474082606842 T^{14} - 21112987283919314121 T^{15} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!86\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( p T^{18} - 21112987283919314121 p^{2} T^{19} + 2168216474082606842 p^{3} T^{20} - 209603464019005215 p^{4} T^{21} + 19022980612986595 p^{5} T^{22} - 1615115389399412 p^{6} T^{23} + 127703144159720 p^{7} T^{24} - 9349403512460 p^{8} T^{25} + 629237853286 p^{9} T^{26} - 38574647282 p^{10} T^{27} + 2128455125 p^{11} T^{28} - 104031433 p^{12} T^{29} + 4404740 p^{13} T^{30} - 156289 p^{14} T^{31} + 4404 p^{15} T^{32} - 89 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 16 T + 547 T^{2} + 7315 T^{3} + 142683 T^{4} + 1695121 T^{5} + 25166782 T^{6} + 275593620 T^{7} + 3484495551 T^{8} + 35597541400 T^{9} + 402673207836 T^{10} + 3848007313020 T^{11} + 40051645952763 T^{12} + 360757550313679 T^{13} + 3531687566321344 T^{14} + 30281078654188493 T^{15} + 282333907684236021 T^{16} + 2313556160485076720 T^{17} + 282333907684236021 p T^{18} + 30281078654188493 p^{2} T^{19} + 3531687566321344 p^{3} T^{20} + 360757550313679 p^{4} T^{21} + 40051645952763 p^{5} T^{22} + 3848007313020 p^{6} T^{23} + 402673207836 p^{7} T^{24} + 35597541400 p^{8} T^{25} + 3484495551 p^{9} T^{26} + 275593620 p^{10} T^{27} + 25166782 p^{11} T^{28} + 1695121 p^{12} T^{29} + 142683 p^{13} T^{30} + 7315 p^{14} T^{31} + 547 p^{15} T^{32} + 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 34 T + 1252 T^{2} - 29001 T^{3} + 663827 T^{4} - 12085095 T^{5} + 214139484 T^{6} - 3272517707 T^{7} + 48596737034 T^{8} - 646726239396 T^{9} + 8377436146499 T^{10} - 99329793652263 T^{11} + 1149112187047369 T^{12} - 12321510403273161 T^{13} + 129186129995170148 T^{14} - 1264564502221847749 T^{15} + 12121450437941232864 T^{16} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{17} + 12121450437941232864 p T^{18} - 1264564502221847749 p^{2} T^{19} + 129186129995170148 p^{3} T^{20} - 12321510403273161 p^{4} T^{21} + 1149112187047369 p^{5} T^{22} - 99329793652263 p^{6} T^{23} + 8377436146499 p^{7} T^{24} - 646726239396 p^{8} T^{25} + 48596737034 p^{9} T^{26} - 3272517707 p^{10} T^{27} + 214139484 p^{11} T^{28} - 12085095 p^{12} T^{29} + 663827 p^{13} T^{30} - 29001 p^{14} T^{31} + 1252 p^{15} T^{32} - 34 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 12 T + 633 T^{2} + 5509 T^{3} + 187607 T^{4} + 1241192 T^{5} + 36875605 T^{6} + 188443915 T^{7} + 5553966800 T^{8} + 21601106712 T^{9} + 686519515396 T^{10} + 1944803735001 T^{11} + 72831318621993 T^{12} + 142777654764024 T^{13} + 6912237572408363 T^{14} + 9440297414121703 T^{15} + 607597099785206176 T^{16} + 691440176028560376 T^{17} + 607597099785206176 p T^{18} + 9440297414121703 p^{2} T^{19} + 6912237572408363 p^{3} T^{20} + 142777654764024 p^{4} T^{21} + 72831318621993 p^{5} T^{22} + 1944803735001 p^{6} T^{23} + 686519515396 p^{7} T^{24} + 21601106712 p^{8} T^{25} + 5553966800 p^{9} T^{26} + 188443915 p^{10} T^{27} + 36875605 p^{11} T^{28} + 1241192 p^{12} T^{29} + 187607 p^{13} T^{30} + 5509 p^{14} T^{31} + 633 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 5 T + 955 T^{2} + 4518 T^{3} + 453043 T^{4} + 2055980 T^{5} + 142283443 T^{6} + 623023646 T^{7} + 33170569424 T^{8} + 140089120860 T^{9} + 6091533681708 T^{10} + 24690185758370 T^{11} + 912128599999157 T^{12} + 3518383725812660 T^{13} + 113705569834579781 T^{14} + 412729582688437914 T^{15} + 11943567131969126928 T^{16} + 40234992982889494014 T^{17} + 11943567131969126928 p T^{18} + 412729582688437914 p^{2} T^{19} + 113705569834579781 p^{3} T^{20} + 3518383725812660 p^{4} T^{21} + 912128599999157 p^{5} T^{22} + 24690185758370 p^{6} T^{23} + 6091533681708 p^{7} T^{24} + 140089120860 p^{8} T^{25} + 33170569424 p^{9} T^{26} + 623023646 p^{10} T^{27} + 142283443 p^{11} T^{28} + 2055980 p^{12} T^{29} + 453043 p^{13} T^{30} + 4518 p^{14} T^{31} + 955 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 15 T + 924 T^{2} + 11273 T^{3} + 382074 T^{4} + 3940562 T^{5} + 98357576 T^{6} + 901195515 T^{7} + 18795181947 T^{8} + 161577686392 T^{9} + 2985208868501 T^{10} + 24825769694745 T^{11} + 413202454203764 T^{12} + 3313601213304014 T^{13} + 50175129202951146 T^{14} + 383985863352192867 T^{15} + 5398391146184658515 T^{16} + 39344360891533595058 T^{17} + 5398391146184658515 p T^{18} + 383985863352192867 p^{2} T^{19} + 50175129202951146 p^{3} T^{20} + 3313601213304014 p^{4} T^{21} + 413202454203764 p^{5} T^{22} + 24825769694745 p^{6} T^{23} + 2985208868501 p^{7} T^{24} + 161577686392 p^{8} T^{25} + 18795181947 p^{9} T^{26} + 901195515 p^{10} T^{27} + 98357576 p^{11} T^{28} + 3940562 p^{12} T^{29} + 382074 p^{13} T^{30} + 11273 p^{14} T^{31} + 924 p^{15} T^{32} + 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.78960170365103107499924785697, −2.76086359955363547885891862873, −2.65504768135188988668398496978, −2.64706905922557680308806503616, −2.35248824884875309173151390406, −2.34731711890320549744369984365, −2.32642289652973537411121339587, −2.09767433427703940377852994481, −2.03765982172834107529284567169, −2.02770741220904129040616853178, −2.00675419465289917164185823663, −1.86310460889139337633349843980, −1.71156926443365569631008034304, −1.52848663258328827971688378162, −1.49997399384583233238423261656, −1.49704130911134994023537811489, −1.42689054199967976418207664674, −1.30461335107612682487583957671, −1.21229353259098319864981891035, −1.03889989450550167097289756589, −0.850614770475531832671537096693, −0.836833961389659511752713503368, −0.59152739130440746842480859286, −0.46091044310205768537178957806, −0.17751432862009289739628203172, 0.17751432862009289739628203172, 0.46091044310205768537178957806, 0.59152739130440746842480859286, 0.836833961389659511752713503368, 0.850614770475531832671537096693, 1.03889989450550167097289756589, 1.21229353259098319864981891035, 1.30461335107612682487583957671, 1.42689054199967976418207664674, 1.49704130911134994023537811489, 1.49997399384583233238423261656, 1.52848663258328827971688378162, 1.71156926443365569631008034304, 1.86310460889139337633349843980, 2.00675419465289917164185823663, 2.02770741220904129040616853178, 2.03765982172834107529284567169, 2.09767433427703940377852994481, 2.32642289652973537411121339587, 2.34731711890320549744369984365, 2.35248824884875309173151390406, 2.64706905922557680308806503616, 2.65504768135188988668398496978, 2.76086359955363547885891862873, 2.78960170365103107499924785697
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.