Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 8·2-s − 6·3-s + 23·4-s − 19·5-s + 48·6-s − 11·7-s − 15·8-s − 3·9-s + 152·10-s − 11·11-s − 138·12-s − 12·13-s + 88·14-s + 114·15-s − 66·16-s − 54·17-s + 24·18-s − 2·19-s − 437·20-s + 66·21-s + 88·22-s − 18·23-s + 90·24-s + 144·25-s + 96·26-s + 90·27-s − 253·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 5.65·2-s − 3.46·3-s + 23/2·4-s − 8.49·5-s + 19.5·6-s − 4.15·7-s − 5.30·8-s − 9-s + 48.0·10-s − 3.31·11-s − 39.8·12-s − 3.32·13-s + 23.5·14-s + 29.4·15-s − 16.5·16-s − 13.0·17-s + 5.65·18-s − 0.458·19-s − 97.7·20-s + 14.4·21-s + 18.7·22-s − 3.75·23-s + 18.3·24-s + 28.7·25-s + 18.8·26-s + 17.3·27-s − 47.8·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(487^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(487^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(487^{17}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(1.06341\times 10^{10}\) |
| Root analytic conductor: | \(1.97198\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(17\) |
| Selberg data: | \((34,\ 487^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 487 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| good | 2 | \( 1 + p^{3} T + 41 T^{2} + 159 T^{3} + 515 T^{4} + 1451 T^{5} + 1833 p T^{6} + 4225 p T^{7} + 4507 p^{2} T^{8} + 4493 p^{3} T^{9} + 67561 T^{10} + 15061 p^{3} T^{11} + 102577 p T^{12} + 335107 T^{13} + 65945 p^{3} T^{14} + 200793 p^{2} T^{15} + 18531 p^{6} T^{16} + 212637 p^{3} T^{17} + 18531 p^{7} T^{18} + 200793 p^{4} T^{19} + 65945 p^{6} T^{20} + 335107 p^{4} T^{21} + 102577 p^{6} T^{22} + 15061 p^{9} T^{23} + 67561 p^{7} T^{24} + 4493 p^{11} T^{25} + 4507 p^{11} T^{26} + 4225 p^{11} T^{27} + 1833 p^{12} T^{28} + 1451 p^{12} T^{29} + 515 p^{13} T^{30} + 159 p^{14} T^{31} + 41 p^{15} T^{32} + p^{19} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 + 2 p T + 13 p T^{2} + 2 p^{4} T^{3} + 656 T^{4} + 718 p T^{5} + 2257 p T^{6} + 18776 T^{7} + 16582 p T^{8} + 13471 p^{2} T^{9} + 282910 T^{10} + 622594 T^{11} + 438475 p T^{12} + 2663069 T^{13} + 5187191 T^{14} + 9775402 T^{15} + 1971749 p^{2} T^{16} + 31310987 T^{17} + 1971749 p^{3} T^{18} + 9775402 p^{2} T^{19} + 5187191 p^{3} T^{20} + 2663069 p^{4} T^{21} + 438475 p^{6} T^{22} + 622594 p^{6} T^{23} + 282910 p^{7} T^{24} + 13471 p^{10} T^{25} + 16582 p^{10} T^{26} + 18776 p^{10} T^{27} + 2257 p^{12} T^{28} + 718 p^{13} T^{29} + 656 p^{13} T^{30} + 2 p^{18} T^{31} + 13 p^{16} T^{32} + 2 p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 + 19 T + 217 T^{2} + 1817 T^{3} + 12299 T^{4} + 70509 T^{5} + 353198 T^{6} + 1577473 T^{7} + 6377944 T^{8} + 23610051 T^{9} + 80761689 T^{10} + 51435666 p T^{11} + 153445711 p T^{12} + 2155577707 T^{13} + 5729020583 T^{14} + 14454633181 T^{15} + 34712883534 T^{16} + 79474327629 T^{17} + 34712883534 p T^{18} + 14454633181 p^{2} T^{19} + 5729020583 p^{3} T^{20} + 2155577707 p^{4} T^{21} + 153445711 p^{6} T^{22} + 51435666 p^{7} T^{23} + 80761689 p^{7} T^{24} + 23610051 p^{8} T^{25} + 6377944 p^{9} T^{26} + 1577473 p^{10} T^{27} + 353198 p^{11} T^{28} + 70509 p^{12} T^{29} + 12299 p^{13} T^{30} + 1817 p^{14} T^{31} + 217 p^{15} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 7 | \( 1 + 11 T + 118 T^{2} + 820 T^{3} + 5393 T^{4} + 28452 T^{5} + 142557 T^{6} + 615444 T^{7} + 2541433 T^{8} + 9348526 T^{9} + 33178763 T^{10} + 106968786 T^{11} + 336727201 T^{12} + 978360226 T^{13} + 2824078394 T^{14} + 7652156284 T^{15} + 21018656903 T^{16} + 54956134643 T^{17} + 21018656903 p T^{18} + 7652156284 p^{2} T^{19} + 2824078394 p^{3} T^{20} + 978360226 p^{4} T^{21} + 336727201 p^{5} T^{22} + 106968786 p^{6} T^{23} + 33178763 p^{7} T^{24} + 9348526 p^{8} T^{25} + 2541433 p^{9} T^{26} + 615444 p^{10} T^{27} + 142557 p^{11} T^{28} + 28452 p^{12} T^{29} + 5393 p^{13} T^{30} + 820 p^{14} T^{31} + 118 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 + p T + 137 T^{2} + 997 T^{3} + 7760 T^{4} + 45011 T^{5} + 275294 T^{6} + 1365455 T^{7} + 7105808 T^{8} + 31220015 T^{9} + 144023290 T^{10} + 573527159 T^{11} + 2406638555 T^{12} + 8830198895 T^{13} + 34298223775 T^{14} + 117357778074 T^{15} + 38797867804 p T^{16} + 1371968239875 T^{17} + 38797867804 p^{2} T^{18} + 117357778074 p^{2} T^{19} + 34298223775 p^{3} T^{20} + 8830198895 p^{4} T^{21} + 2406638555 p^{5} T^{22} + 573527159 p^{6} T^{23} + 144023290 p^{7} T^{24} + 31220015 p^{8} T^{25} + 7105808 p^{9} T^{26} + 1365455 p^{10} T^{27} + 275294 p^{11} T^{28} + 45011 p^{12} T^{29} + 7760 p^{13} T^{30} + 997 p^{14} T^{31} + 137 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 + 12 T + 176 T^{2} + 1418 T^{3} + 12364 T^{4} + 76980 T^{5} + 510469 T^{6} + 2660839 T^{7} + 14896852 T^{8} + 68715667 T^{9} + 344220016 T^{10} + 1454009628 T^{11} + 6702216528 T^{12} + 26308815447 T^{13} + 112791075831 T^{14} + 413852261442 T^{15} + 1660848344001 T^{16} + 5722664229615 T^{17} + 1660848344001 p T^{18} + 413852261442 p^{2} T^{19} + 112791075831 p^{3} T^{20} + 26308815447 p^{4} T^{21} + 6702216528 p^{5} T^{22} + 1454009628 p^{6} T^{23} + 344220016 p^{7} T^{24} + 68715667 p^{8} T^{25} + 14896852 p^{9} T^{26} + 2660839 p^{10} T^{27} + 510469 p^{11} T^{28} + 76980 p^{12} T^{29} + 12364 p^{13} T^{30} + 1418 p^{14} T^{31} + 176 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 54 T + 1543 T^{2} + 30596 T^{3} + 469818 T^{4} + 5928565 T^{5} + 63816664 T^{6} + 601145391 T^{7} + 5047879248 T^{8} + 38310606990 T^{9} + 265572060601 T^{10} + 1695196732539 T^{11} + 10026528639800 T^{12} + 55215590670183 T^{13} + 284140436253807 T^{14} + 1370001152189393 T^{15} + 6200350601063664 T^{16} + 26368195032709571 T^{17} + 6200350601063664 p T^{18} + 1370001152189393 p^{2} T^{19} + 284140436253807 p^{3} T^{20} + 55215590670183 p^{4} T^{21} + 10026528639800 p^{5} T^{22} + 1695196732539 p^{6} T^{23} + 265572060601 p^{7} T^{24} + 38310606990 p^{8} T^{25} + 5047879248 p^{9} T^{26} + 601145391 p^{10} T^{27} + 63816664 p^{11} T^{28} + 5928565 p^{12} T^{29} + 469818 p^{13} T^{30} + 30596 p^{14} T^{31} + 1543 p^{15} T^{32} + 54 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 2 T + 172 T^{2} + 353 T^{3} + 14922 T^{4} + 31181 T^{5} + 872188 T^{6} + 1846253 T^{7} + 38610908 T^{8} + 82228068 T^{9} + 1376536516 T^{10} + 2917824269 T^{11} + 40953958869 T^{12} + 85146769147 T^{13} + 1038703184384 T^{14} + 2080143997508 T^{15} + 22736647245268 T^{16} + 42936415739399 T^{17} + 22736647245268 p T^{18} + 2080143997508 p^{2} T^{19} + 1038703184384 p^{3} T^{20} + 85146769147 p^{4} T^{21} + 40953958869 p^{5} T^{22} + 2917824269 p^{6} T^{23} + 1376536516 p^{7} T^{24} + 82228068 p^{8} T^{25} + 38610908 p^{9} T^{26} + 1846253 p^{10} T^{27} + 872188 p^{11} T^{28} + 31181 p^{12} T^{29} + 14922 p^{13} T^{30} + 353 p^{14} T^{31} + 172 p^{15} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 + 18 T + 14 p T^{2} + 3514 T^{3} + 38033 T^{4} + 312055 T^{5} + 2602480 T^{6} + 17775786 T^{7} + 126855130 T^{8} + 768007193 T^{9} + 4961299021 T^{10} + 27558197805 T^{11} + 165260612877 T^{12} + 854733374712 T^{13} + 4806152487223 T^{14} + 23325734093936 T^{15} + 123740222166632 T^{16} + 566977720496027 T^{17} + 123740222166632 p T^{18} + 23325734093936 p^{2} T^{19} + 4806152487223 p^{3} T^{20} + 854733374712 p^{4} T^{21} + 165260612877 p^{5} T^{22} + 27558197805 p^{6} T^{23} + 4961299021 p^{7} T^{24} + 768007193 p^{8} T^{25} + 126855130 p^{9} T^{26} + 17775786 p^{10} T^{27} + 2602480 p^{11} T^{28} + 312055 p^{12} T^{29} + 38033 p^{13} T^{30} + 3514 p^{14} T^{31} + 14 p^{16} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 11 T + 226 T^{2} + 2196 T^{3} + 26763 T^{4} + 231538 T^{5} + 2162720 T^{6} + 16916147 T^{7} + 133712343 T^{8} + 956597328 T^{9} + 6735008931 T^{10} + 44479293201 T^{11} + 287499000982 T^{12} + 1765602346285 T^{13} + 10660167963935 T^{14} + 61268789292132 T^{15} + 348389670530659 T^{16} + 1883577952234068 T^{17} + 348389670530659 p T^{18} + 61268789292132 p^{2} T^{19} + 10660167963935 p^{3} T^{20} + 1765602346285 p^{4} T^{21} + 287499000982 p^{5} T^{22} + 44479293201 p^{6} T^{23} + 6735008931 p^{7} T^{24} + 956597328 p^{8} T^{25} + 133712343 p^{9} T^{26} + 16916147 p^{10} T^{27} + 2162720 p^{11} T^{28} + 231538 p^{12} T^{29} + 26763 p^{13} T^{30} + 2196 p^{14} T^{31} + 226 p^{15} T^{32} + 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - T + 252 T^{2} - 70 T^{3} + 33877 T^{4} + 8178 T^{5} + 3172003 T^{6} + 1915036 T^{7} + 229264132 T^{8} + 194050924 T^{9} + 13460789544 T^{10} + 13359530299 T^{11} + 661081697446 T^{12} + 700377612709 T^{13} + 27628648805006 T^{14} + 29334513691795 T^{15} + 992248027282869 T^{16} + 1003267399477492 T^{17} + 992248027282869 p T^{18} + 29334513691795 p^{2} T^{19} + 27628648805006 p^{3} T^{20} + 700377612709 p^{4} T^{21} + 661081697446 p^{5} T^{22} + 13359530299 p^{6} T^{23} + 13460789544 p^{7} T^{24} + 194050924 p^{8} T^{25} + 229264132 p^{9} T^{26} + 1915036 p^{10} T^{27} + 3172003 p^{11} T^{28} + 8178 p^{12} T^{29} + 33877 p^{13} T^{30} - 70 p^{14} T^{31} + 252 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 6 T + 389 T^{2} + 2417 T^{3} + 76771 T^{4} + 479235 T^{5} + 10154600 T^{6} + 62168552 T^{7} + 1002421683 T^{8} + 5913018700 T^{9} + 77994132571 T^{10} + 437503459045 T^{11} + 4935241105804 T^{12} + 26053080634171 T^{13} + 258807203580101 T^{14} + 1273653772893456 T^{15} + 11371356421509555 T^{16} + 51654478363804223 T^{17} + 11371356421509555 p T^{18} + 1273653772893456 p^{2} T^{19} + 258807203580101 p^{3} T^{20} + 26053080634171 p^{4} T^{21} + 4935241105804 p^{5} T^{22} + 437503459045 p^{6} T^{23} + 77994132571 p^{7} T^{24} + 5913018700 p^{8} T^{25} + 1002421683 p^{9} T^{26} + 62168552 p^{10} T^{27} + 10154600 p^{11} T^{28} + 479235 p^{12} T^{29} + 76771 p^{13} T^{30} + 2417 p^{14} T^{31} + 389 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 49 T + 1532 T^{2} + 34614 T^{3} + 635440 T^{4} + 9807909 T^{5} + 132394697 T^{6} + 1589793814 T^{7} + 17340032505 T^{8} + 173648881958 T^{9} + 1618338768478 T^{10} + 14134965671720 T^{11} + 116732501857596 T^{12} + 914895968523208 T^{13} + 6840323898937307 T^{14} + 48835351272847160 T^{15} + 333823314182617228 T^{16} + 2183527709241780416 T^{17} + 333823314182617228 p T^{18} + 48835351272847160 p^{2} T^{19} + 6840323898937307 p^{3} T^{20} + 914895968523208 p^{4} T^{21} + 116732501857596 p^{5} T^{22} + 14134965671720 p^{6} T^{23} + 1618338768478 p^{7} T^{24} + 173648881958 p^{8} T^{25} + 17340032505 p^{9} T^{26} + 1589793814 p^{10} T^{27} + 132394697 p^{11} T^{28} + 9807909 p^{12} T^{29} + 635440 p^{13} T^{30} + 34614 p^{14} T^{31} + 1532 p^{15} T^{32} + 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 5 T + 281 T^{2} - 836 T^{3} + 39600 T^{4} - 60167 T^{5} + 91942 p T^{6} - 1359210 T^{7} + 315643501 T^{8} + 200435350 T^{9} + 21342742062 T^{10} + 29915826496 T^{11} + 1262563305849 T^{12} + 2442672670484 T^{13} + 66525735838538 T^{14} + 147616970645894 T^{15} + 3156117587212938 T^{16} + 7076659451212315 T^{17} + 3156117587212938 p T^{18} + 147616970645894 p^{2} T^{19} + 66525735838538 p^{3} T^{20} + 2442672670484 p^{4} T^{21} + 1262563305849 p^{5} T^{22} + 29915826496 p^{6} T^{23} + 21342742062 p^{7} T^{24} + 200435350 p^{8} T^{25} + 315643501 p^{9} T^{26} - 1359210 p^{10} T^{27} + 91942 p^{12} T^{28} - 60167 p^{12} T^{29} + 39600 p^{13} T^{30} - 836 p^{14} T^{31} + 281 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 28 T + 819 T^{2} + 14968 T^{3} + 268608 T^{4} + 3814161 T^{5} + 52765568 T^{6} + 627474003 T^{7} + 7269090040 T^{8} + 75278456237 T^{9} + 760494036351 T^{10} + 7015817945157 T^{11} + 63227719985417 T^{12} + 526757221378610 T^{13} + 4291724533869664 T^{14} + 32546823127460579 T^{15} + 241543852224041839 T^{16} + 1673750920054165957 T^{17} + 241543852224041839 p T^{18} + 32546823127460579 p^{2} T^{19} + 4291724533869664 p^{3} T^{20} + 526757221378610 p^{4} T^{21} + 63227719985417 p^{5} T^{22} + 7015817945157 p^{6} T^{23} + 760494036351 p^{7} T^{24} + 75278456237 p^{8} T^{25} + 7269090040 p^{9} T^{26} + 627474003 p^{10} T^{27} + 52765568 p^{11} T^{28} + 3814161 p^{12} T^{29} + 268608 p^{13} T^{30} + 14968 p^{14} T^{31} + 819 p^{15} T^{32} + 28 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 23 T + 801 T^{2} + 13705 T^{3} + 279378 T^{4} + 3854404 T^{5} + 58788664 T^{6} + 684756707 T^{7} + 8570988919 T^{8} + 86871382038 T^{9} + 937193993513 T^{10} + 8454096856083 T^{11} + 81160169551097 T^{12} + 663870126275630 T^{13} + 5805233185395644 T^{14} + 43739378120704273 T^{15} + 354154268065755271 T^{16} + 2484277308083840449 T^{17} + 354154268065755271 p T^{18} + 43739378120704273 p^{2} T^{19} + 5805233185395644 p^{3} T^{20} + 663870126275630 p^{4} T^{21} + 81160169551097 p^{5} T^{22} + 8454096856083 p^{6} T^{23} + 937193993513 p^{7} T^{24} + 86871382038 p^{8} T^{25} + 8570988919 p^{9} T^{26} + 684756707 p^{10} T^{27} + 58788664 p^{11} T^{28} + 3854404 p^{12} T^{29} + 279378 p^{13} T^{30} + 13705 p^{14} T^{31} + 801 p^{15} T^{32} + 23 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 + 13 T + 789 T^{2} + 8939 T^{3} + 297521 T^{4} + 2993704 T^{5} + 71741244 T^{6} + 649310422 T^{7} + 12450871454 T^{8} + 102227810208 T^{9} + 1656225430190 T^{10} + 12402639414490 T^{11} + 175282829328646 T^{12} + 20348427022143 p T^{13} + 15100693142768442 T^{14} + 94642912083653935 T^{15} + 1073254599707484748 T^{16} + 6143143302129177145 T^{17} + 1073254599707484748 p T^{18} + 94642912083653935 p^{2} T^{19} + 15100693142768442 p^{3} T^{20} + 20348427022143 p^{5} T^{21} + 175282829328646 p^{5} T^{22} + 12402639414490 p^{6} T^{23} + 1656225430190 p^{7} T^{24} + 102227810208 p^{8} T^{25} + 12450871454 p^{9} T^{26} + 649310422 p^{10} T^{27} + 71741244 p^{11} T^{28} + 2993704 p^{12} T^{29} + 297521 p^{13} T^{30} + 8939 p^{14} T^{31} + 789 p^{15} T^{32} + 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 8 T + 657 T^{2} + 5591 T^{3} + 218644 T^{4} + 1866798 T^{5} + 48532697 T^{6} + 401851169 T^{7} + 7983639242 T^{8} + 62939121482 T^{9} + 1028445082826 T^{10} + 7638426134306 T^{11} + 107287601150786 T^{12} + 745284449713710 T^{13} + 9259331221929451 T^{14} + 59778426725881581 T^{15} + 669740358622508265 T^{16} + 3989749188275735591 T^{17} + 669740358622508265 p T^{18} + 59778426725881581 p^{2} T^{19} + 9259331221929451 p^{3} T^{20} + 745284449713710 p^{4} T^{21} + 107287601150786 p^{5} T^{22} + 7638426134306 p^{6} T^{23} + 1028445082826 p^{7} T^{24} + 62939121482 p^{8} T^{25} + 7983639242 p^{9} T^{26} + 401851169 p^{10} T^{27} + 48532697 p^{11} T^{28} + 1866798 p^{12} T^{29} + 218644 p^{13} T^{30} + 5591 p^{14} T^{31} + 657 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 17 T + 570 T^{2} - 8201 T^{3} + 167982 T^{4} - 2090916 T^{5} + 33171039 T^{6} - 366202137 T^{7} + 4904697884 T^{8} - 48883653169 T^{9} + 578555002895 T^{10} - 5279538920557 T^{11} + 56848496939690 T^{12} - 481156359534605 T^{13} + 4811230647116360 T^{14} - 38204356221308552 T^{15} + 359720540373116117 T^{16} - 2701435892330088295 T^{17} + 359720540373116117 p T^{18} - 38204356221308552 p^{2} T^{19} + 4811230647116360 p^{3} T^{20} - 481156359534605 p^{4} T^{21} + 56848496939690 p^{5} T^{22} - 5279538920557 p^{6} T^{23} + 578555002895 p^{7} T^{24} - 48883653169 p^{8} T^{25} + 4904697884 p^{9} T^{26} - 366202137 p^{10} T^{27} + 33171039 p^{11} T^{28} - 2090916 p^{12} T^{29} + 167982 p^{13} T^{30} - 8201 p^{14} T^{31} + 570 p^{15} T^{32} - 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 17 T + 513 T^{2} - 6113 T^{3} + 112987 T^{4} - 1000305 T^{5} + 14948574 T^{6} - 99812379 T^{7} + 1437447340 T^{8} - 7021526700 T^{9} + 116495497611 T^{10} - 379748438339 T^{11} + 8675724419663 T^{12} - 14444247257960 T^{13} + 605223777341530 T^{14} - 118751864859340 T^{15} + 40941394511425904 T^{16} + 20675386134497451 T^{17} + 40941394511425904 p T^{18} - 118751864859340 p^{2} T^{19} + 605223777341530 p^{3} T^{20} - 14444247257960 p^{4} T^{21} + 8675724419663 p^{5} T^{22} - 379748438339 p^{6} T^{23} + 116495497611 p^{7} T^{24} - 7021526700 p^{8} T^{25} + 1437447340 p^{9} T^{26} - 99812379 p^{10} T^{27} + 14948574 p^{11} T^{28} - 1000305 p^{12} T^{29} + 112987 p^{13} T^{30} - 6113 p^{14} T^{31} + 513 p^{15} T^{32} - 17 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 47 T + 1876 T^{2} + 52395 T^{3} + 1292065 T^{4} + 26780698 T^{5} + 504032684 T^{6} + 8464224567 T^{7} + 131361277951 T^{8} + 1869900606585 T^{9} + 24879357747019 T^{10} + 308193569864822 T^{11} + 3594719561106181 T^{12} + 39375319206083371 T^{13} + 407980460268244386 T^{14} + 3989225359087309936 T^{15} + 36991087997638815516 T^{16} + \)\(32\!\cdots\!73\)\( T^{17} + 36991087997638815516 p T^{18} + 3989225359087309936 p^{2} T^{19} + 407980460268244386 p^{3} T^{20} + 39375319206083371 p^{4} T^{21} + 3594719561106181 p^{5} T^{22} + 308193569864822 p^{6} T^{23} + 24879357747019 p^{7} T^{24} + 1869900606585 p^{8} T^{25} + 131361277951 p^{9} T^{26} + 8464224567 p^{10} T^{27} + 504032684 p^{11} T^{28} + 26780698 p^{12} T^{29} + 1292065 p^{13} T^{30} + 52395 p^{14} T^{31} + 1876 p^{15} T^{32} + 47 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 11 T + 795 T^{2} - 8045 T^{3} + 300180 T^{4} - 2788020 T^{5} + 72103793 T^{6} - 617843570 T^{7} + 12548593064 T^{8} - 100573104042 T^{9} + 1722341396261 T^{10} - 13158084352411 T^{11} + 198499801312405 T^{12} - 1465714214332092 T^{13} + 19979110010210448 T^{14} - 142379622990102239 T^{15} + 1781362500218823533 T^{16} - 12063600131505119903 T^{17} + 1781362500218823533 p T^{18} - 142379622990102239 p^{2} T^{19} + 19979110010210448 p^{3} T^{20} - 1465714214332092 p^{4} T^{21} + 198499801312405 p^{5} T^{22} - 13158084352411 p^{6} T^{23} + 1722341396261 p^{7} T^{24} - 100573104042 p^{8} T^{25} + 12548593064 p^{9} T^{26} - 617843570 p^{10} T^{27} + 72103793 p^{11} T^{28} - 2788020 p^{12} T^{29} + 300180 p^{13} T^{30} - 8045 p^{14} T^{31} + 795 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 50 T + 1989 T^{2} + 54509 T^{3} + 1294064 T^{4} + 25265285 T^{5} + 445106482 T^{6} + 6867362028 T^{7} + 98312919861 T^{8} + 1277977523639 T^{9} + 15799218186128 T^{10} + 182227599575582 T^{11} + 2040836773407965 T^{12} + 21697931736622284 T^{13} + 226139489687934507 T^{14} + 2245626699268829359 T^{15} + 21814188966788781247 T^{16} + \)\(20\!\cdots\!37\)\( T^{17} + 21814188966788781247 p T^{18} + 2245626699268829359 p^{2} T^{19} + 226139489687934507 p^{3} T^{20} + 21697931736622284 p^{4} T^{21} + 2040836773407965 p^{5} T^{22} + 182227599575582 p^{6} T^{23} + 15799218186128 p^{7} T^{24} + 1277977523639 p^{8} T^{25} + 98312919861 p^{9} T^{26} + 6867362028 p^{10} T^{27} + 445106482 p^{11} T^{28} + 25265285 p^{12} T^{29} + 1294064 p^{13} T^{30} + 54509 p^{14} T^{31} + 1989 p^{15} T^{32} + 50 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 49 T + 2072 T^{2} + 61015 T^{3} + 1588978 T^{4} + 34766814 T^{5} + 690624465 T^{6} + 12261099099 T^{7} + 201302296517 T^{8} + 3041616382189 T^{9} + 43044258768363 T^{10} + 569892984580679 T^{11} + 7127680262982091 T^{12} + 84210258744714056 T^{13} + 944897686996133824 T^{14} + 10069360108721396558 T^{15} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( T^{16} + \)\(98\!\cdots\!31\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p T^{18} + 10069360108721396558 p^{2} T^{19} + 944897686996133824 p^{3} T^{20} + 84210258744714056 p^{4} T^{21} + 7127680262982091 p^{5} T^{22} + 569892984580679 p^{6} T^{23} + 43044258768363 p^{7} T^{24} + 3041616382189 p^{8} T^{25} + 201302296517 p^{9} T^{26} + 12261099099 p^{10} T^{27} + 690624465 p^{11} T^{28} + 34766814 p^{12} T^{29} + 1588978 p^{13} T^{30} + 61015 p^{14} T^{31} + 2072 p^{15} T^{32} + 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 33 T + 1356 T^{2} + 30176 T^{3} + 742755 T^{4} + 12810606 T^{5} + 239455489 T^{6} + 3430098419 T^{7} + 53604973313 T^{8} + 668479701153 T^{9} + 9260069282452 T^{10} + 104393941641854 T^{11} + 1332317623054852 T^{12} + 13943514181991454 T^{13} + 166979258279747650 T^{14} + 1639464423320477168 T^{15} + 18447665536846440650 T^{16} + \)\(16\!\cdots\!35\)\( T^{17} + 18447665536846440650 p T^{18} + 1639464423320477168 p^{2} T^{19} + 166979258279747650 p^{3} T^{20} + 13943514181991454 p^{4} T^{21} + 1332317623054852 p^{5} T^{22} + 104393941641854 p^{6} T^{23} + 9260069282452 p^{7} T^{24} + 668479701153 p^{8} T^{25} + 53604973313 p^{9} T^{26} + 3430098419 p^{10} T^{27} + 239455489 p^{11} T^{28} + 12810606 p^{12} T^{29} + 742755 p^{13} T^{30} + 30176 p^{14} T^{31} + 1356 p^{15} T^{32} + 33 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.52890240387066539394500871034, −3.49506831854747226081905377627, −3.48777558389222552650845820395, −3.31069061170298380963299329756, −3.28850342558284806522127109230, −3.20372795314912260087777873863, −2.92856345050332399042876022046, −2.89508549423485505637347311104, −2.84315744641562201608463204167, −2.82460224243502804059072965393, −2.76309945498518863237095565562, −2.72717068012859244252480370328, −2.61385984272836400490881069227, −2.47138024472464208882115251399, −2.36629849695857415090171836629, −2.35858331693281606517970130847, −2.25721183909357554401723543523, −2.15239252328713936335237440001, −1.95934468813956577131223911055, −1.86881556762198763327001046595, −1.70082078155837260831448460922, −1.68860498272274084620696050001, −1.66221441444326627642726824955, −1.37430422199637703887494163384, −1.14048292116546385183205560742, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.14048292116546385183205560742, 1.37430422199637703887494163384, 1.66221441444326627642726824955, 1.68860498272274084620696050001, 1.70082078155837260831448460922, 1.86881556762198763327001046595, 1.95934468813956577131223911055, 2.15239252328713936335237440001, 2.25721183909357554401723543523, 2.35858331693281606517970130847, 2.36629849695857415090171836629, 2.47138024472464208882115251399, 2.61385984272836400490881069227, 2.72717068012859244252480370328, 2.76309945498518863237095565562, 2.82460224243502804059072965393, 2.84315744641562201608463204167, 2.89508549423485505637347311104, 2.92856345050332399042876022046, 3.20372795314912260087777873863, 3.28850342558284806522127109230, 3.31069061170298380963299329756, 3.48777558389222552650845820395, 3.49506831854747226081905377627, 3.52890240387066539394500871034
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.